閆寶偉，李正坤，霍 磊，張 俊，楊文發(fā)

（1.華中科技大學(xué) 水電與數(shù)字化工程學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.長江水利委員會 水文局，湖北 武漢 430010）

Nash 瞬時單位線作為流域匯流的經(jīng)典理論，在水文學(xué)發(fā)展歷程上具有里程碑意義［1］，極大地推動了流域匯流理論的發(fā)展，是目前應(yīng)用最為廣泛的匯流計算方法之一。作為地表匯流的通用方法，Nash 瞬時單位線同樣適用于河道匯流，閆寶偉等［2］基于Nash 瞬時單位線推導(dǎo)了河道洪水演算的完整公式，將河槽初始蓄水量的退水過程包含進來，創(chuàng)建了廣義Nash 匯流理論［3］，并進一步建立了離散廣義Nash 匯流模型，將下游河道出流表達為時段初、末入流量與當(dāng)前及之前若干時刻出流量的線性組合，系數(shù)由S 曲線唯一確定［4］。S 曲線是Nash 瞬時單位線的積分函數(shù)，表征的是單位持續(xù)入流經(jīng)過n 個相同線性水庫的連續(xù)調(diào)節(jié)，在出口斷面形成的出流過程［5］。調(diào)蓄參數(shù)K 是反映河道洪水傳播時間的參數(shù)，與河道地形（坡降和斷面形狀）有關(guān)，這n 個水庫具有相同的參數(shù)K，意味著河道的地形變化比較均勻，當(dāng)?shù)匦巫兓^大時，各個水庫的參數(shù)K 也將不同，此時宜采用異參瞬時單位線及其形成的異參S 曲線［6］，相應(yīng)的，離散廣義Nash 匯流模型將演化為異參離散廣義Nash 匯流模型。非零初始條件下，高階異參Nash 匯流系統(tǒng)微分方程的求解將變得非常困難，致使異參情形下廣義Nash 匯流公式難以通過求解微分方程的方式直接獲得。本文將另辟新徑，通過對離散廣義Nash 匯流模型的概念解析和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，構(gòu)建異參離散廣義Nash 匯流模型，并分析其應(yīng)用效果。

1 離散廣義Nash 匯流模型的概念解析

根據(jù)閆寶偉等［4］的研究，離散廣義Nash 匯流模型的計算公式為：

式中：為組合數(shù)計算公式；Ot±i為河段在t±iΔt 時刻的出流； Δt 為計算時段長； It為河段在t 時刻的入流； ΔIt+1為時段［t，t+Δt］內(nèi)的入流增量；n、K 為模型參數(shù)；Si由下式計算：

根據(jù)S 曲線的定義，Si表示持續(xù)單位入流經(jīng)過i 個水庫的連續(xù)調(diào)節(jié)在時段末形成的出流。離散廣義Nash 匯流模型的計算公式表明，下游斷面的出流是由式（1）右邊三項組成，其中第一項表示河槽當(dāng)前蓄水量的退水流量，是由每個水庫的初始蓄水量經(jīng)由后面水庫調(diào)蓄后形成流量的疊加；第二項表示當(dāng)前入流經(jīng)河槽調(diào)蓄形成的出流，由Si的定義知，其表示當(dāng)前入流It持續(xù)不變時經(jīng)過n 個水庫的連續(xù)調(diào)節(jié)在時段末形成的出流；第三項表示時段初、末的入流增量經(jīng)河槽調(diào)蓄形成的出流，由Si的定義和線性水庫的蓄泄關(guān)系知，KSi表示持續(xù)單位入流時每個水庫在Δt 時段內(nèi)的蓄水量，則表示單位入流形成的槽蓄量的比例，則表示流出河槽水量的比例。概括來講，下游斷面的出流是由留在河槽中的“舊水”和上游入流的“新水”產(chǎn)生的?！靶滤币徊糠至鞒鱿掠螖嗝?，成為出流的一部分，另一部分則留在河槽中補充“舊水”，“舊水”消退，成為出流的另一組成部分，如此循環(huán)往復(fù)，則形成了下游斷面的出流過程。

2 異參瞬時單位線及其S 曲線

流域的調(diào)蓄性能受地理特征的影響，具有空間異質(zhì)性。Nash 瞬時單位線將流域的調(diào)蓄作用等效為多個相同線性水庫的連續(xù)調(diào)節(jié)，對于地形變化較均勻的流域，這種概化有一定的合理性，而對于地形變化比較大的流域，調(diào)蓄作用的空間差異受地形地貌影響將更加顯著。為考慮流域調(diào)蓄作用的空間異質(zhì)性，Singh［7］提出了兩個線性水庫調(diào)蓄作用不同，即參數(shù)K 相異時的瞬時單位線。Bhunya 等［8］提出了兩個水庫的K 成比例時的瞬時單位線。張文華等［6］則進一步推導(dǎo)了n 個水庫相異情形下的異參瞬時單位線：

其中，Ki（i=1，…， n）為第i 個水庫的調(diào)蓄參數(shù)（此處為正向編號，即最上游水庫編號為1，最下游水庫編號為n）。相應(yīng)的，由異參瞬時單位線形成的異參S 曲線為：

則Sn(t)表示1 個單位的持續(xù)入流經(jīng)過n 個不同調(diào)節(jié)性能水庫的連續(xù)調(diào)節(jié)，在出口斷面形成的出流過程。若進一步定義滯蓄曲線，有：

則Rn′(t)=1-Sn(t)，表示1 個單位持續(xù)入流在流經(jīng)這n 個水庫時，滯留在這些水庫或流域的流量過程。

異參瞬時單位線是對流域調(diào)蓄作用的更精確的概化，是Nash 瞬時單位線在理論上的進一步拓展，由于其考慮了調(diào)蓄性能的空間異質(zhì)性，對于地形變化較大的流域，尤其適用。離散廣義Nash 匯流模型是在Nash 瞬時單位線的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，致使其在河道地形變化較大河段應(yīng)用時有其理論局限性，異參瞬時單位線的引入可以反映各子河段對洪水調(diào)節(jié)性能的差異，從而提高整個河段洪水的模擬精度。

3 異參離散廣義Nash 匯流模型

離散廣義Nash 匯流模型的概念解析表明，下游斷面的出流是由留在河槽中的“舊水”和上游入流的“新水”產(chǎn)生的，分別用Oold和Onew表示，則：

對于異參線性水庫系統(tǒng)，由于Sn（t）表示單位持續(xù)入流經(jīng)過n 個不同調(diào)節(jié)性能水庫的連續(xù)調(diào)節(jié)，在出口斷面形成的出流過程，則由線性水庫的蓄泄關(guān)系可知，KiSi表示持續(xù)單位入流時第i 個水庫在△t 時段內(nèi)的蓄水量，則表示流出河槽水量的比例。因此，異參情形下上游入流，即“新水”產(chǎn)生的出流為：

由此，通過離散廣義Nash 匯流模型的概念解析，即可演繹出“新水”形成的出流Onew，下面繼續(xù)分析河槽中的“舊水”產(chǎn)生的出流Oold。簡便起見，假設(shè)最下游水庫編號為1，最上游水庫編號為n，即對這n 個水庫進行逆向編號，則由水量平衡方程可得第i 個水庫的調(diào)蓄方程為：

基于廣義Nash 匯流理論，河槽當(dāng)前蓄水量的消退過程是各水庫當(dāng)前蓄水量經(jīng)后面水庫連續(xù)調(diào)節(jié)后疊加而成。由式（9）可知，各水庫當(dāng)前時刻的出流量分別為：

由線性水庫的概念可知，第j 個水庫當(dāng)前時刻的蓄水量為KjOj(t)，將其作為瞬時入流注入河道，形成的時段末出流為KjOj(t)uj(Δt)，則所有水庫當(dāng)前蓄水量形成的時段末出流為：

式（11）表明，該退水過程最終可以表達為當(dāng)前時刻O(t) 的0～（n-1）階導(dǎo)數(shù)的線性組合，即

式中， Ap(p=0，…，n-1) 分別為O(t)各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)，則：

同理，可得：

Ap是在逆向編號的情形下推導(dǎo)得出的，其計算公式表明，Ki具有對稱性，因此，正向編號情形下，Ap的計算公式同式（15）相同，由此保證了Oold與Onew是在同一編號系統(tǒng)下進行計算的。采用前向差分近似計算O（t）的各階導(dǎo)數(shù)，即：

若進一步定義無量綱參數(shù)：

則當(dāng)p=0 時，結(jié)合式（5）滯蓄曲線的定義，可知R0=Rn′(Δt)，表示1 個單位的持續(xù)入流流經(jīng)n 個水庫時在Δt 時刻的滯蓄流量。當(dāng)p＞0 時， Rp的物理含義尚需進一步研究。

聯(lián)立式（12）、式（16）與式（17），可得：

根據(jù)離散廣義Nash 匯流模型的概念解析，下游斷面的出流是由留在河槽中的“舊水”和上游入流的“新水”共同產(chǎn)生的，則有：

該式即為異參離散廣義Nash 匯流模型的計算公式，可以看出，它與離散廣義Nash 匯流模型具有相同的結(jié)構(gòu)。

4 實例分析

由模型的結(jié)構(gòu)可知，異參離散廣義Nash 匯流模型更加適用于河道地形變化較大的河段，選取漢江中游黃家港-襄陽河段進行模型的應(yīng)用研究。黃家港水文站位于丹江口水利樞紐壩址下游6 km 處，為丹江口水庫出庫控制站，集水面積為95 217 km2；襄陽水文站位于丹江口水庫下游111 km 處，是漢江中游的重要控制站，集水面積為103 261 km2，地理位置及河道形勢如圖1所示［9］。黃家港-襄陽河段地處丘陵平原區(qū)，山丘階地及人工束窄段與平原寬谷段相間分布，在平面上呈明顯的藕節(jié)狀，寬段主泓擺動較大，洲灘較多，窄段較單一［9］，斷面形狀沿程變化較大。圖2進一步給出了該河段的高程變化。從圖2可以看出，山丘階地段河道坡降較大，而平原寬谷段河道坡降較小，束窄段與寬谷段相間分布的特點使得該河段坡降呈現(xiàn)出起伏變化的規(guī)律?？傊摵佣蔚臄嗝嫘螤詈推陆笛爻套兓^大，宜采用異參離散廣義Nash 匯流模型進行河道洪水演算。

圖1 研究河段地理位置及河道形勢

根據(jù)黃家港、襄陽水文站1970—1989年的洪水摘錄資料，選取該河段區(qū)間來水所占比重較小的6 場洪水過程（計算時段△t=3 h）進行模擬。為了保持水量平衡，將區(qū)間來水按比例均勻分?jǐn)偟缴嫌螖嗝鎭硭?。為了展示異參離散廣義Nash 匯流模型的模擬效果，檢驗其預(yù)報能力，選取離散廣義Nash 匯流模型進行對比。SCE-UA 算法具有全局收斂性、魯棒性和通用性等優(yōu)點，已成為水文模型參數(shù)率定常用的優(yōu)化方法［10］。SCE-UA 算法的參數(shù)較多，但大都可以采用已有研究成果的默認(rèn)值，只有復(fù)合形個數(shù)需要根據(jù)具體問題確定，根據(jù)文獻［10］的研究，本文復(fù)合形個數(shù)取為5。以均方根誤差最小為目標(biāo)函數(shù)，采用SCE-UA 算法進行模型的參數(shù)率定，得到離散廣義Nash 匯流模型的參數(shù)n=3，K=3.63 h，異參離散廣義Nash 匯流模型的參數(shù)n=3，K1=1.52 h，K2=9.26 h，K3=1.53 h。參數(shù)K 反映了線性水庫調(diào)蓄性能的差異，離散廣義Nash 匯流模型的3 個線性水庫具有等效性，實質(zhì)是對河段的地形差異做了均化處理。而異參離散廣義Nash 匯流模型的3 個線性水庫中有兩個近似相同，而另一個與這兩個相差較大，因此能夠更加客觀地反映地形差異對河槽調(diào)蓄性能的影響，理論上可以提高河道洪水的模擬精度。

圖2 黃家港-襄陽河段高程變化

兩種不同方法的精度評價結(jié)果見表1，離散廣義Nash 匯流模型的洪峰相對誤差基本在8%以內(nèi)，均值為4.34%，而異參離散廣義Nash 匯流模型的洪峰相對誤差有所減小，均值為2.59%。洪水過程的模擬結(jié)果如圖3所示，較之離散廣義Nash 匯流模型，異參離散廣義Nash 匯流模型均有不同程度的提高，模擬結(jié)果與實測過程線也更為接近，尤其是洪峰附近，6 場洪水的平均確定性系數(shù)達到0.9766，較離散廣義Nash 匯流模型的平均確定性系數(shù)0.9672 有一定程度提高。模擬結(jié)果表明，較之離散廣義Nash 匯流模型，由于考慮了參數(shù)K 的空間異質(zhì)性，使得異參離散廣義Nash 匯流模型具有更強的適用性，在河道地形變化較大的河段尤其適用。

表1 河道洪水演算精度評價結(jié)果

圖3 洪水過程模擬結(jié)果

5 結(jié)論

根據(jù)離散廣義Nash 匯流模型的概念解析，下游斷面的出流是由留在河槽中的“舊水”和上游入流的“新水”共同產(chǎn)生的。其中，“舊水”產(chǎn)生部分可看作是河槽當(dāng)前蓄水量的退水過程，將各線性水庫的當(dāng)前蓄水量作為瞬時入流，借由瞬時單位線的概念疊加各水庫瞬時入流在出口斷面的出流過程，即可得到相應(yīng)的退水過程；“新水”產(chǎn)生部分是上游當(dāng)前入流及其增量經(jīng)由各線性水庫連續(xù)調(diào)節(jié)而得。離散廣義Nash 匯流模型中各水庫的調(diào)蓄參數(shù)K 是相同的，表明該模型主要適用于河道地形變化較小的河段，對于河道地形變化較大的河段，引入異參瞬時單位線及其S 曲線，在離散廣義Nash 匯流模型概念解析的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)得出了異參離散廣義Nash 匯流模型，從而豐富了現(xiàn)有廣義Nash 匯流理論，擴大了離散廣義Nash 匯流模型的適用范圍，實例分析也表明，一定程度上還可以提高模型的模擬精度。