張 鵬，楊 坤, 儲恒超, 王章銘

(安徽工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032)

0 引言

雙滾柱少齒差行星傳動是一種新型傳動，其采用少齒差行星傳動的基本結(jié)構(gòu)，具有傳動比大、 功率密度高等優(yōu)點. 該傳動采用圓柱形滾柱作為輪齒進行嚙合傳動，因此較之一般少齒差行星傳動，還具備齒形簡單、 制造方便、 精度易于控制等優(yōu)點. 若輔以合理的齒形優(yōu)化設(shè)計，可實現(xiàn)0.017°～0.067°[1]的高精度傳動，在機器人、 數(shù)控機床、 精密檢測裝備等領(lǐng)域具備良好的應(yīng)用前景.

目前，國內(nèi)外學(xué)者針對雙滾柱少齒差行星傳動進行了一些基礎(chǔ)研究，Lai[2-3]、 陳兵奎等[4]針對雙滾柱等少齒差行星傳動進行了嚙合理論研究，Tsukada等[5]構(gòu)建了該傳動的誤差分析模型，劉景亞等[6]分析了該傳動結(jié)構(gòu)參數(shù)對傳動精度的影響. 針對雙滾柱少齒差行星傳動，目前仍缺乏完善的齒形綜合研究，尚未建立有效的精度控制及其參數(shù)優(yōu)化設(shè)計方法，限制了該傳動的有效設(shè)計和技術(shù)應(yīng)用.

針對上述問題，基于雙滾柱少齒差行星傳動的嚙合原理，構(gòu)建了該傳動齒形方程； 結(jié)合曲率分析，提出了滾柱齒形的替代方法，并利用粒子群優(yōu)化算法，對齒形參數(shù)進行了優(yōu)化設(shè)計，實現(xiàn)了對傳動精度的有效控制； 最后通過傳動誤差分析驗證了優(yōu)化結(jié)果的有效性.

1 結(jié)構(gòu)與傳動原理

圖1 雙滾柱少齒差行星傳動結(jié)構(gòu)原理圖 Fig.1 Structural of double rollers planetary transmission with small tooth number difference

雙滾柱少齒差行星傳動由行星輪、 中心輪所組成，行星輪外圈均布有圓柱形的行星輪齒，中心輪內(nèi)圈也均布有圓柱形的中心輪齒，如圖1所示. 圖1中Oa為行星輪的幾何中心，Ob為中心輪的幾何中心，Oa與Ob之間的距離等于偏心軸的偏心距e.

行星輪安裝于偏心軸上，在傳動過程中行星輪隨偏心軸以O(shè)b為中心做公轉(zhuǎn)運動，同時行星輪上的行星輪齒與中心輪上的中心輪齒相互嚙合，反推行星輪以O(shè)a為中心作低速自轉(zhuǎn)運動，并實現(xiàn)動力輸出.

2 齒形綜合分析

2.1 雙滾柱少齒差行星傳動的齒形原理

2.1.1共軛齒形分析

圖2 定坐標(biāo)系與動坐標(biāo)系 Fig.2 Fixed coordinate system and dynamic coordinate system

以行星輪幾何中心Oa和中心輪幾何中心Ob為坐標(biāo)原點，建立定坐標(biāo)系Oaxayaza和Obxbybzb，如圖2所示. 軸xa與xb平行，xa與xb之間的距離為偏心距e； 同時以O(shè)a和Ob為坐標(biāo)原點，分別建立動坐標(biāo)系Oaxaiyaizai和Obxbiybizbi，動坐標(biāo)系Oaxaiyaizai與行星輪固連，動坐標(biāo)系Obxbiybizbi與中心輪固連，兩動坐標(biāo)系Oaxaiyaizai和Obxbiybizbi分別隨行星輪和中心輪作同步轉(zhuǎn)動. 圖2中，θa為行星輪在Oaxaya平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角，θb是中心輪在Obxbyb平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角，采用偏心軸固定法，當(dāng)行星輪繞其中心Oa逆時針旋轉(zhuǎn)θa角度時，中心輪繞其中心Ob逆時針旋轉(zhuǎn)θb角度.

在動坐標(biāo)系Obxbiybizbi中，中心輪齒的第i個齒廓的位置向量Pbi可表示為

Pbi=[rbcosθrbsinθ+Rbμ]

(1)

式中：rb為中心輪齒的半徑；Rb為中心輪齒在中心輪上的分布圓半徑；θ為角參量；μ為中心輪齒寬.

(2)

式中：Maibi為從動坐標(biāo)系Obxbiybizbi到動坐標(biāo)系Oaxaiyaizai的變換矩陣，Maibi=MaibMbbi.

其中，從定坐標(biāo)系Obxbybzb到動坐標(biāo)系Oaxaiyaizai的變換矩陣Maib為

(3)

從動坐標(biāo)系Obxbiybizbi到定坐標(biāo)系Obxbybzb的變換矩陣Mbbi為

(4)

(5)

式中：m=θa/θb=Zb/Za；Za為行星輪齒數(shù)；Zb為中心輪齒數(shù).

根據(jù)曲面單參數(shù)的包絡(luò)方法[3]，可得

(6)

將式(5)代入式(6)，化簡后可得角參量θ的表達式為

(7)

則與中心輪共軛的行星輪齒廓方程的一般表達式為

(8)

式(8)的行星輪齒廓方程還可以表示為

(9)

式中：ρ1為行星輪齒廓任一點的極坐標(biāo)向徑.

2.1.2齒廓曲率半徑

利用微分中曲率半徑公式，求得式(8)對應(yīng)的行星輪齒廓曲率半徑ρ為

(10)

式中：K1為短幅系數(shù)；K1=eZb/Rb.

式(10)中，令行星輪齒廓曲率半徑的一階導(dǎo)ρ′=0，可知當(dāng)θb=-180° 時, 對應(yīng)行星輪齒廓曲率半徑的極值點.

取算例參數(shù)K1=0.69，Rb=44 mm，rb=5 mm，Zb=16，代入式(10)繪制出行星輪齒廓曲率半徑ρ隨轉(zhuǎn)角θb的變化曲線，如圖3所示. 行星輪齒廓曲率半徑在極值點(θb=180° )附近的變化曲線如圖4所示.

圖3 行星輪齒廓曲率半徑Fig.3 Radius of curvature of planetary gear tooth profile

圖4 極值點附近的行星輪齒廓曲率半徑Fig.4 Curvature radius of planetary gear profile near extreme point

由圖3、 圖4可知，算例中在極值點(θb=180°) 附近，行星輪齒廓曲率半徑的變化幅度僅為0.05 mm，行星輪齒廓曲線可近似于圓，因此可采用圓形滾柱作為行星輪齒.

2.2 雙滾柱少齒差行星傳動的齒形建模

2.2.1圓形滾柱行星輪齒的建模方法

由2.1.2的分析可得行星輪可以采用圓形滾柱作為輪齒，由于行星輪齒廓曲率半徑在極值點(θb=180°) 附近變化很小，且曲率半徑以θb=180°位置呈對稱式分布，因此宜選取θb=180°對應(yīng)的齒廓點

圖5 圓形滾柱行星輪齒及其坐標(biāo)系 Fig.5 Circular roller planetary gear and its coordinate system

作為圓形滾柱行星輪齒的齒頂點. 同時，為防止干涉，圓形滾柱行星輪齒半徑應(yīng)小于等于θb=180° 對應(yīng)的齒廓曲率半徑值. 為進一步減小齒形替代誤差，優(yōu)先選取圓形滾柱行星輪齒半徑等于θb=180° 對應(yīng)的齒廓曲率半徑，將θb=180°代入式(10)，可得行星輪齒的半徑ra為

(11)

圓形滾柱行星輪齒及其坐標(biāo)系如圖5所示，圓形滾柱行星輪齒與行星輪齒廓在θb=180° 處相切，切點坐標(biāo)為(xA，yA). 由式(8)可得(xA，yA)的表達式為

(12)

由于圓形滾柱行星輪齒的圓心(xa，ya)與(xA，yA)距離為ra，可得圓形滾柱行星輪齒的圓心(xa，ya)表達式為

(13)

2.2.2圓形滾柱行星輪齒的齒形方程

由式(11)～(13)可得極坐標(biāo)形式的圓形滾柱行星輪齒的齒形方程為

(14)

3 齒形精度優(yōu)化

用圓形滾柱替代行星輪齒廓進行嚙合傳動，仍然存在一定的齒形誤差與傳動誤差，需進行齒形參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，以減小齒形誤差，從而實現(xiàn)齒形的精度控制，達到精密傳動的要求.

3.1 設(shè)計變量

選取對傳動精度有顯著影響的齒形參數(shù)作為設(shè)計變量，相應(yīng)齒形參數(shù)包括短幅系數(shù)K1、 偏心距e、 中心輪齒數(shù)Zb、 中心輪齒半徑rb、 行星輪齒半徑ra、 中心輪齒分布圓半徑Rb和行星輪齒分布圓半徑Ra.

3.2 目標(biāo)函數(shù)

圖6 目標(biāo)函數(shù)的幾何表達Fig.6 Geometric representation of objective function

為使齒形替代誤差盡可能小，以圓形滾柱行星輪齒與行星輪齒廓的徑向差值的積分為目標(biāo)函數(shù)進行優(yōu)化，選任一對輪齒建立分析模型, 如圖6所示. 為將優(yōu)化范圍控制在有效嚙合區(qū)內(nèi)，積分區(qū)間上限為圓心(xa，ya)與原點Oa連線，積分區(qū)間下限為過原點Oa的圓形滾柱行星輪齒的切線，即圖6所示的陰影區(qū)域.

目標(biāo)函數(shù)F的表達式為

(15)

式中：c為積分區(qū)間上限對應(yīng)的相位角，c=nπ/Za，(n=0，1，2，…,Za)；d為積分區(qū)間下限對應(yīng)的相位角，d=c+Zaarcsin[ra/(Rbe-ra)] .

3.3 約束條件

表1 短幅系數(shù)K1的優(yōu)選范圍

目標(biāo)函數(shù)中設(shè)計變量需滿足一定的約束條件，考慮齒形根切[7]、 接觸應(yīng)力[8]、 傳動結(jié)構(gòu)等因素，得到如下約束條件為：

1) 短幅系數(shù)K1隨齒數(shù)Za的優(yōu)選范圍[9]如表1所示.

2) 為盡量減小接觸應(yīng)力，ra、rb取值為

(16)

3) 根據(jù)少齒差行星傳動結(jié)構(gòu)尺寸關(guān)系，可得

Ra=Rb-ra-rb+e

(17)

(18)

3.4 優(yōu)化計算

粒子群優(yōu)化算法[10]在求解優(yōu)化函數(shù)時，表現(xiàn)出較好的尋優(yōu)能力，特別是針對復(fù)雜的工程問題，通過迭代尋優(yōu)計算，能夠迅速找到近似解，因此粒子群算法在工程計算中應(yīng)用廣泛.

選取Zb=24，Zb=60，Zb=88，以式(15)為目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合式(16)～(18)及表1的約束條件，運用粒子群優(yōu)化算法，求得使目標(biāo)函數(shù)F→min時的齒形參數(shù)優(yōu)化結(jié)果，如表2所示.

表2 齒形參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

4 誤差分析

4.1 誤差公式

將表2所得優(yōu)化結(jié)果代入傳動誤差公式進行分析. 建立雙滾柱少齒差行星傳動嚙合過程中幾何尺寸關(guān)系圖，如圖7所示.

圖7 雙滾柱少齒差行星傳動幾何關(guān)系Fig.7 Geometric relationship of double roller planetary transmission with few teeth difference

θai為行星輪上的第i個齒與其中心連線和偏心軸之間的夾角，θbi為中心輪上的第i個齒與其中心連線和偏心軸之間的夾角；Oai為行星輪上的第i個滾柱的圓心，其坐標(biāo)可表示為(Rasinθai，Racosθai+e)，Obi為中心輪上第i個滾柱的圓心，其坐標(biāo)可表示為(Rbsinθbi，Rbcosθbi)；d為OaiObi之間的距離.

根據(jù)文[5]，可得雙滾柱少齒差行星傳動的傳動誤差Δθ為

(19)

式中：

4.2 實例計算

將表2中的三組齒形參數(shù)優(yōu)化結(jié)果代入式(19)，分別得到誤差分析結(jié)果如圖8所示.

圖8 傳動誤差Fig.8 Transmission error of data

由圖8可知，當(dāng)Zb=88，K1=0.8，e=1時，Δθ可控制在0.060 6°以下，一般擺線針輪減速器的傳動精度為0.050°～0.067°[11]，即雙滾柱少齒差行星傳動能夠滿足精密傳動的要求. 根據(jù)文[1]，同等設(shè)計參數(shù)下，滾柱式減速器的傳動誤差值約為0.06°，與數(shù)據(jù)組Ⅲ計算的理論傳動誤差值基本一致. 與同等條件下的一般漸開線齒輪減速機傳動誤差[12]相比，數(shù)據(jù)組Ⅲ計算的傳動誤差值降低了約50%.

5 結(jié)語

1) 建立中心輪和行星輪的共軛齒廓方程，對齒廓方程進行曲率分析，確立圓形滾柱行星輪齒的齒形方程，并進行精度優(yōu)化設(shè)計，驗證了雙滾柱少齒差行星傳動作為精密傳動的可行性.

2) 由于行星輪齒廓曲率半徑變化小，可以使用圓形滾柱替代行星輪齒廓，再結(jié)合優(yōu)化設(shè)計，可實現(xiàn)0.067°以內(nèi)的精密傳動，因此雙滾柱少齒差行星傳動能夠適用于精密傳動場合.

3) 中心輪齒數(shù)Zb較大時，傳動誤差Δθ相對較小，可以實現(xiàn)精密傳動，因此雙滾柱少齒差行星傳動更適宜較大傳動比的傳動場合.