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        多步法阿當姆斯方法的穩(wěn)定性分析

        2019-08-16 01:10:18李凱
        關鍵詞:步數(shù)步法常數(shù)

        李凱

        (中國傳媒大學信息科學與技術學部,北京 100024)

        1 引言

        在以往對微分方程初值問題的研究中,我們對一個數(shù)值方法進行理論分析優(yōu)劣時,常常對相容性、收斂性等有關方面進行分析,考查一個方法對舍入偏差的敏感性,這便是數(shù)值穩(wěn)定性問題,這不單與計算公式有關,并且與微分方程性質有關。

        2 線性多步法的構造——數(shù)值積分法

        討論常微分方程初值問題

        (1)

        的數(shù)值求解,其中f為t和u的已知函數(shù),u0為給定的初值。易知

        (2)

        我們用被積函數(shù)f(t,u(t))的q次Lagrange插值多項式

        用來近似代替式(2)中的被積函數(shù),這里{ti}為等距的插值點列,h=ti+1-ti,而

        于是得到近似公式

        (3)

        其中

        (4)

        在式(3)中,用un代替u(tn),仍用fn表示f(tn,un),用等號代替≈,則得到線性多步方法公式

        (5)

        3 阿當姆斯顯式方法

        對k,j和q的差別選擇,得到不同類型的公式。對k=1,j=0和q=0,1,2,…,可以得到阿當姆斯顯式方法:

        un+1=un+h(βq0fn+βq1fn-1+…+βqqfn-q),

        (6)

        其中,公式系數(shù)如表1,最常用的是q=3的情形。

        表1 阿當姆斯顯式方法系數(shù)表

        4 阿當姆斯隱式方法

        對k=0,j=1和q=0,1,2,…,可以得到阿當姆斯隱式方法(用n+1代替n)

        un+1=un+h(βq0fn+1+βq1fn+…+βqqfn-q+1)

        (7)

        其中,公式系數(shù)如表2,最常用的是q=3的情形。

        表2 阿當姆斯隱式方法系數(shù)表

        顯然,公式(7)不是n+1的一個明顯表達式,而是以n+1為未知量的非線性方程。

        5 兩種多步法的穩(wěn)定性以及穩(wěn)定區(qū)間

        易得知兩種公式不同步數(shù)不同階數(shù)情況下的誤差常數(shù)如表3、表4,其中q為階數(shù),cq+1為誤差常數(shù)。

        表3 阿當姆斯顯式方法不同階下的誤差常數(shù)

        表4 阿當姆斯隱式方法不同階下的誤差常數(shù)

        對于k步阿當姆斯顯式及隱式方法的絕對穩(wěn)定域較為復雜,通常采用根軌跡法,暫且不作討論,把它們的絕對穩(wěn)定區(qū)間分別記為(θA,0)及(θB,0),則其中θA及θB之值可列表如下。

        k1234θA-2-1-116-310θB-∞-6-3-9049

        6 總結

        通過利用Matlab編程計算分析及以上表格得出:同階的隱式方法與顯示方法相比,步數(shù)少1,誤差常數(shù)的絕對值小5-13倍,絕對穩(wěn)定區(qū)間又大過10倍以上;總的來講,阿當姆斯隱式方法優(yōu)于顯式方法。

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