雍恩米，劉深深，程艷青，錢煒祺,2

1. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心 空氣動力學(xué)國家重點實驗室，綿陽 621000 2. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心 計算空氣動力研究所，綿陽 621000

升力式再入飛行器以高超聲速再入地球大氣層時，面臨著復(fù)雜的臨近空間力熱環(huán)境，各類大氣環(huán)境參數(shù)以及氣動參數(shù)的不確定性對其再入運動具有較大影響，較小的擾動可使其偏離預(yù)定軌跡較大甚至逸出大氣層，導(dǎo)致航天任務(wù)的失敗。飛行器自由擾動運動的穩(wěn)定性分析，可為飛行器總體設(shè)計、控制律研究等方面提供重要參考。已開展的穩(wěn)定性研究工作主要集中在航空器的動力學(xué)穩(wěn)定性分析以及航天器中彈道式再入飛行器如導(dǎo)彈、返回飛船的姿態(tài)穩(wěn)定性分析[1-3]，而對于升力式高超聲速再入飛行器在臨近空間的動力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究相當(dāng)有限。

從公開發(fā)表的文獻看，關(guān)于升力體飛行器的高超聲速動力學(xué)穩(wěn)定性研究最早出現(xiàn)在20世紀中葉。Etkin研究了再入航天器的動力學(xué)穩(wěn)定性問題,將經(jīng)典的飛行器縱向動力學(xué)理論擴展到高速軌道飛行，研究了有動力升力體飛行器在大氣層邊緣的圓軌道上的攝動運動,該項研究中保留了運動方程中的行星曲率、引力梯度和以高度為自變量的大氣密度項，這些項在低速低高度飛行器的動力學(xué)穩(wěn)定性研究中通常被忽略[4]。Vinh和Laitone研究了航天飛機滑翔再入的縱向動力學(xué)穩(wěn)定性問題，引入無量綱時間變量，推導(dǎo)出了迎角的二階線性微分方程，針對兩種特殊情況，一是彈道式再入，二是小彈道傾角滑翔再入，求得了近似解，分析得出俯仰力矩導(dǎo)數(shù)是影響穩(wěn)定性的主要因素[5]。文獻[6]研究了帶動力的吸氣式高超聲速飛行器長周期動力學(xué)穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)推力-馬赫數(shù)曲線的斜率對長周期模態(tài)的影響較大，另外還提出了基本反饋控制策略，即采用速度和高度反饋回路來改善不穩(wěn)定特性。Stich等研究了高超聲速巡航飛行器的長周期特性和相關(guān)的飛行品質(zhì)問題，在NASA的飛行仿真器上分析了馬赫數(shù)10條件下的長周期模態(tài)的不穩(wěn)定特性和發(fā)動機時間延遲對操縱品質(zhì)的影響。針對不穩(wěn)定的長周期動力學(xué)特性，推導(dǎo)了新的操縱品質(zhì)判斷準則[7-9]。Robert研究了超聲速巡航縱向動力學(xué)穩(wěn)定性，分析得出推力和氣動外形對超聲速巡航飛行穩(wěn)定性影響較大，采用高度和速度反饋有利于巡航高度保持[10]。Lael和Darryll針對上升、穩(wěn)定巡航和周期性巡航3種任務(wù)，研究了乘波體高超聲速巡航飛行器縱向穩(wěn)定性[11]。

國內(nèi)關(guān)于升力式高超聲速飛行器模態(tài)穩(wěn)定性分析的研究較少。賈子安等研究了乘波體飛行器縱向靜穩(wěn)定特性，給出了有利于縱向靜穩(wěn)定的乘波體形狀特征[12]。陳琛等針對升力體構(gòu)型的高超聲速飛行器穩(wěn)定性問題，在高超聲速飛行器的建模、靜穩(wěn)定性分析、自由擾動模態(tài)穩(wěn)定性3個方面進行較深入的研究，其中模態(tài)穩(wěn)定性分析針對特征點，且縱向運動主要關(guān)注短周期模態(tài)特性[13]。李銳研究了高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化方法以及橫航向穩(wěn)定性判據(jù)，分析了給定外形高超聲速飛行器在整個速度范圍內(nèi)的橫航向穩(wěn)定性[14]。蘇二龍和羅建軍研究了滑翔式高超聲速飛行器大迎角橫側(cè)向失穩(wěn)問題，采用延拓算法和分岔理論求解，對平衡分支的穩(wěn)定性和突變點進行了分析[15]。高清和李潛對美國典型高超聲速飛行器橫側(cè)向穩(wěn)定性進行了分析[16]。葉友達等研究了類HTV-2高超聲速飛行器滾轉(zhuǎn)運動的穩(wěn)定性以及滾轉(zhuǎn)運動的失穩(wěn)判據(jù)[17]。

本文研究了面向彈道優(yōu)化問題的高超聲速飛行器縱向模態(tài)穩(wěn)定性，即針對無動力再入的高超聲速飛行器，考慮大氣密度隨高度的變化和引力梯度，分析高超聲速飛行器自由擾動運動的縱向穩(wěn)定性，即縱向模態(tài)穩(wěn)定性，并基于不同最優(yōu)彈道的穩(wěn)定性分析結(jié)果，提出對高超聲速飛行器彈道優(yōu)化設(shè)計的建議。

1 高超聲速飛行器再入縱向運動模型

針對再入高超聲速飛行器運動特性和彈道穩(wěn)定性分析的需求，考慮地球為非旋轉(zhuǎn)圓球時，飛行器無動力再入縱向動力學(xué)方程為[5]

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

θ=γ+α

(6)

式中：V、γ、q、r、θ、α分別為飛行器速度、航跡角、俯仰角速率、地心距、俯仰角和迎角；m為飛行器質(zhì)量；Ix、Iy、Iz為主慣量矩；S為氣動參考面積；l為參考長度。主要運動參數(shù)如圖1所示，其中L、D、W分別為飛行器所受升力、阻力和重力，x軸為飛行器體軸縱向?qū)ΨQ軸。大氣密度ρ、引力加速度g是隨高度變化的函數(shù)。氣動力系數(shù)包括升力系數(shù)CL、阻力系數(shù)CD和俯仰力矩系數(shù)Cm。上述氣動系數(shù)是高度h、馬赫數(shù)Ma和迎角α的函數(shù),即

(7)

圖1 縱向運動主要參數(shù)示意圖Fig.1 Sketch map of main parameters of longitudinal motion

2 縱向動力學(xué)方程小擾動線性化

為分析高超聲速飛行器的模態(tài)穩(wěn)定性，即自由擾動運動的穩(wěn)定性，引入基準運動和小擾動運動的概念，建立小擾動運動方程，使運動方程線性化，然后獲得狀態(tài)方程和轉(zhuǎn)移矩陣，在此基礎(chǔ)上進行沿彈道的縱向模態(tài)分析。

首先根據(jù)式(2)、式(5)、式(6)得到關(guān)于迎角的微分方程，即

(8)

對式(1)～式(4)和式(8)進行小擾動線性化，得到

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

縱向運動方程小擾動線性化過程中采用的大氣密度模型為指數(shù)模型，即

ρ=ρ0e[-β(r-R0)]

(14)

式中：β為指數(shù)大氣密度常數(shù)；R0為地球平均半徑。因而有大氣密度對地心距的導(dǎo)數(shù)為

(15)

引力模型采用平方反比模型，即

(16)

從而得到引力對地心距的導(dǎo)數(shù)為

(17)

(18)

(19)

那么縱向擾動運動的穩(wěn)定性可以由求解特征方程D(s)=|sI-A|的特征根進行分析。

3 高超聲速飛行器氣動特性分析

為開展高超聲速飛行器模態(tài)穩(wěn)定性分析，還需要獲得飛行器氣動力數(shù)據(jù)。本文以美國高超聲速飛行器HX(Hypersonic X-plane)為背景，進行類HX氣動布局設(shè)計，利用二次曲線及基于類型函數(shù)和形狀函數(shù)的CST(Class function and Shape function Transformation technique)方法[18-19]，提出類HX升力體飛行器氣動外形布局，其計算網(wǎng)格如圖2所示。最后采用工程估算方法獲得飛行器的氣動力特性數(shù)據(jù)。

圖2 飛行器計算網(wǎng)格Fig.2 Computational grid for vehicle

由于高超聲速飛行器飛行空域范圍較大，因此對于不同流區(qū)，采用了不同氣動力工程計算方法。其中連續(xù)流區(qū)采用了修正牛頓理論。背風(fēng)面修正利用Prandtl-Meyer公式，該類方法已經(jīng)在高超聲速飛行器計算中得到了廣泛應(yīng)用[20-21]，其精度基本滿足彈道設(shè)計與穩(wěn)定性分析的精度要求。自由分子流區(qū)的氣動特性則采用碰撞模型進行計算，而稀薄流區(qū)氣動特性則采用當(dāng)?shù)鼗椒?，連續(xù)流和自由分子流氣動力系數(shù)通過橋函數(shù)得到。

基于上述方法，得到了高超聲速飛行器在不同高度、馬赫數(shù)、迎角和側(cè)滑角下的氣動特性。本文研究高超聲速飛行器的彈道穩(wěn)定性，因此主要考慮縱向氣動力特性，圖3給出了典型狀態(tài)下的升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)隨迎角和舵偏角的變化曲面。

基于工程估算方法獲得飛行器的氣動力特性數(shù)據(jù)，進行縱向氣動數(shù)據(jù)配平，可以進一步分析該高超聲速飛行器的升阻特性。圖4為給定迎角為10°，不同高度條件下升阻比隨馬赫數(shù)的變化曲線。圖5為給定馬赫數(shù)條件下，不同高度升阻比隨迎角的變化曲線。分析圖4、圖5的結(jié)果可知：① 該飛行器在典型狀態(tài)下，最大升阻比在2.4～2.5左右，屬于高升阻比高超聲速飛行器；② 該飛行器的最大升阻比迎角約為10°,在第4節(jié)模態(tài)分析設(shè)計典型彈道的標(biāo)準迎角剖面時，可以此為依據(jù)，即給定標(biāo)準迎角剖面應(yīng)盡量發(fā)揮升阻比的優(yōu)勢；③ 在 給定高度條件下，該布局的高超聲速飛行器升阻特性隨迎角變化較大，而隨馬赫數(shù)變化較小，特別是飛行速度在馬赫數(shù)10～20這個范圍內(nèi)。在設(shè)計高超聲速飛行器再入典型彈道時，可以利用該特性，對所采用的氣動力模型進行簡化和建模，即主要考慮迎角變量對升阻特性的影響。

圖3 典型狀態(tài)縱向氣動力特性Fig.3 Longitude aerodynamic characteristic on typical states

圖4 升阻比隨馬赫數(shù)的變化Fig.4 Variation of lift-to-drag ratio with Mach number

圖5 升阻比隨迎角變化Fig.5 Variation of lift-to-drag ratio with angle of attack

4 典型彈道模態(tài)穩(wěn)定性分析

4.1 優(yōu)化彈道模態(tài)

優(yōu)化計算得到最大射程彈道高度和馬赫數(shù)變化曲線如圖6(a)所示，其飛行時間為3 423 s，射程為18 343 km。最小射程彈道如圖6(b)所示，其飛行時間為1 500 s，射程為7 606 km。

為從穩(wěn)定性角度分析不同極限彈道的特性，這里分別計算了最大、最小射程彈道的模態(tài)特性，即沿彈道求解特征方程的特征根。早期關(guān)于高超聲速飛行器縱向長周期運動的研究表明，當(dāng)考慮大氣密度隨高度的變化時，高超聲速飛行器相較于一般速域的飛行器，增加了一個長周期模態(tài)，即高度模態(tài)，同時也存在兩個常規(guī)模態(tài)，即沉浮模態(tài)和短周期模態(tài)。本文通過模態(tài)分析，同樣也得到3種模態(tài)和對應(yīng)的5個特征根。

首先，分析最大射程彈道模態(tài)穩(wěn)定性。由于5個特征根中的一個實根與其他4個根的數(shù)量級相差較大，因此模態(tài)圖分別在兩幅圖中畫出，分別對應(yīng)一個實根與其他4個根。最大射程彈道對應(yīng)的根軌跡如圖6(c)和圖6(e)所示。圖6(e)為一個大實根對應(yīng)的模態(tài)，即高度模態(tài)，根軌跡基本位于負實軸上，這表明高度模態(tài)是穩(wěn)定的且呈現(xiàn)非周期、快速衰減特性。圖6(c)中一對位于復(fù)平面左半平面的共軛復(fù)根對應(yīng)短周期模態(tài)，即表征迎角和俯仰角速率的自由擾動穩(wěn)定性變化。該短周期模態(tài)頻率沿彈道呈現(xiàn)由低到高變化的趨勢，且在再入初始階段，由于動壓較低，短周期模態(tài)的頻率與長周期模態(tài)頻率相當(dāng)。圖6(c)中位于復(fù)平面實軸附近的兩個根為沉浮模態(tài)，該模態(tài)對應(yīng)的根軌跡在實軸附近。在再入初段，沉浮模態(tài)為一對穩(wěn)定的共軛復(fù)根，進入中段和末段，沉浮模態(tài)變?yōu)閮蓚€實根，且趨于不穩(wěn)定。圖6(d)和圖6(f) 為最小射程彈道模態(tài)分析圖。類似的，圖6(f)為最小射程彈道高度模態(tài)圖，與最大射程高度模態(tài)相比最大射程具有更大的負實根，說明對應(yīng)的狀態(tài)衰減更快。圖6(d)為最小射程彈道短周期模態(tài)和沉浮模態(tài)圖：其中短周期模態(tài)也是穩(wěn)定的，其頻率由小變大再變小；最小射程彈道的沉浮模態(tài)與最大射程彈道有相似特性，不同之處在于其位于左半平面的實根數(shù)目明顯增多，即沿最小射程彈道，穩(wěn)定的沉浮模態(tài)特征根增多。

表1 彈道條件和過程約束Table 1 Conditions and process constraints of trajectory

圖6 優(yōu)化彈道模態(tài)分析Fig.6 Modal analysis of optimal trajectories

4.2 無約束跳躍彈道模態(tài)

前面分析了考慮過程約束的最大、最小射程彈道的模態(tài)特性，為了對比分析更多形式的高超聲速再入彈道模態(tài)特性，本節(jié)計算了不考慮路徑約束的最大射程彈道和無約束跳躍彈道，并進行模態(tài)穩(wěn)定性分析。

上述兩種彈道的計算方法為：不考慮過程約束的最大射程彈道仍采用文獻[22]的優(yōu)化方法，只是無動壓等過程約束，初始條件和終端約束同表1，計算得到該彈道飛行時間為3 926 s，射程為22 144 km，其高度、馬赫數(shù)曲線如圖7(a)所示。而無約束跳躍彈道直接生成，初始高度速度同表1，初始彈道傾角由0°改為5°，以實現(xiàn)彈道在高度空間的大幅度跳躍，其側(cè)傾角為取0°，即升力朝上，迎角仍采用標(biāo)準彈道迎角剖面，結(jié)束條件為高度下降到30 km。跳躍彈道高度、馬赫數(shù)曲線如圖7(b)所示，飛行時間為4 859 s，射程為27 732 km。

兩種彈道的模態(tài)特性如圖7(c)～圖7(f)所示。兩種彈道的高度模態(tài)均為負的大實根，且跳躍彈道的高度模態(tài)衰減更快。無過程約束最大射程彈道與考慮約束的最大射程彈道相比較，射程增大了約18%，但沉浮模態(tài)的不穩(wěn)定狀態(tài)增多。跳躍彈道與考慮約束的最大射程彈道相比，射程增加了約33%，但短周期模態(tài)出現(xiàn)了不穩(wěn)定點，位于正實軸上，對應(yīng)彈道為初始上升段。跳躍彈道的沉浮模態(tài)沒有出現(xiàn)共軛復(fù)根，均位于實軸上，且大部分都位于復(fù)平面右平面不穩(wěn)定區(qū)域。

圖7 兩種無約束彈道模態(tài)分析Fig.7 Modal analysis of two types of unconstrained trajectories

綜合分析4條典型彈道(圖6、圖7)的模態(tài)特性可以得出以下結(jié)論：① 當(dāng)考慮大氣密度隨高度變化時，高超聲速再入飛行器具有兩個長周期模態(tài)，即高度模態(tài)和沉浮模態(tài)，且高度模態(tài)為穩(wěn)定的非周期模態(tài);② 考慮過程約束的最大射程彈道和最小射程彈道都具有穩(wěn)定的短周模態(tài)，且最小射程彈道穩(wěn)定的沉浮模態(tài)特征根更多。

從無約束最大射程彈道和跳躍彈道的模態(tài)分析結(jié)果來看，高超聲速再入飛行器，在高度范圍內(nèi)跳躍變化雖然能夠在很大程度上增大射程，但同時會使短周期模態(tài)和沉浮模態(tài)產(chǎn)生更多不穩(wěn)定特征根。因此，從穩(wěn)定性的角度，可以對彈道設(shè)計提出建議：應(yīng)避免所設(shè)計的彈道產(chǎn)生太大的跳躍，即使是犧牲一些射程上的性能。

4.3 最大射程彈道典型狀態(tài)

前面分析了典型彈道的模態(tài)特性，現(xiàn)選取其中最大射程彈道上的再入初段、滑翔段和再入末段的3個狀態(tài)點作為典型狀態(tài)(見表2)，給出具體的特征根并進行穩(wěn)定性分析。典型狀態(tài)點對應(yīng)的模態(tài)特征根和無阻尼自振頻率見表3。分析表3 可知：再入初段短周期和長周期模態(tài)的頻率都比較低，沒有明顯的短周期和長周期區(qū)別；滑翔段短周期模態(tài)頻率明顯增大，沉浮模態(tài)由穩(wěn)定的復(fù)根變?yōu)閮蓚€實根，且有一個為不穩(wěn)定實根，高度模態(tài)變?yōu)榇蟮呢搶嵏?；再入末段，短周期模態(tài)和高度模態(tài)無阻尼自振頻率繼續(xù)增大，且都是穩(wěn)定的。

表2 典型飛行時刻狀態(tài)參數(shù)Table 2 State parameters of typical flight time

表3 典型飛行時刻特征根及頻率Table 3 Eigen values and frequencies of typical flight time

5 結(jié) 論

本文分析了高超聲速再入飛行器的縱向模態(tài)穩(wěn)定性。引入基準運動和小擾動運動概念，建立無動力再入縱向動力學(xué)小擾動運動方程，然后獲得狀態(tài)方程和轉(zhuǎn)移矩陣，在此基礎(chǔ)上進行沿彈道的縱向模態(tài)分析。針對最大射程彈道、最小射程彈道和跳躍彈道以及最大射程彈道典型狀態(tài)的模態(tài)分析，得出以下結(jié)論：

1) 再入初段短周期模態(tài)和長周期模態(tài)的頻率都比較低，沒有明顯的短周期和長周期區(qū)別。

2) 高超聲速再入飛行器具有兩個長周期模態(tài)，即高度模態(tài)和沉浮模態(tài)，且高度模態(tài)為穩(wěn)定的非周期模態(tài)。

3) 考慮過程約束的最大射程彈道和最小射程彈道都具有穩(wěn)定的短周模態(tài)，且最小射程彈道穩(wěn)定的沉浮模態(tài)特征根更多。

4) 高超聲速再入飛行器，在高度范圍內(nèi)跳躍變化雖然能夠在很大程度上增大射程但同時會使短周期模態(tài)和沉浮模態(tài)產(chǎn)生更多不穩(wěn)定特征根。

高超聲速飛行器縱向模態(tài)分析，即自由擾動運動的穩(wěn)定性分析可為飛行器總體設(shè)計、制導(dǎo)控制律研究等方面提供重要參考。