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        概率的特點(diǎn)與求解策略

        2019-08-14 02:43:56
        數(shù)理化解題研究 2019年20期
        關(guān)鍵詞:中考游戲

        王 暉

        (安徽省靈璧縣黃灣中學(xué) 234213)

        一、概率題的特點(diǎn)

        1. 考查的類型

        從近年來(lái)各地的中考試題來(lái)看,有關(guān)概率的試題主要考查的知識(shí)點(diǎn):隨機(jī)事件,頻率與概率的關(guān)系,通過(guò)計(jì)算預(yù)測(cè)隨機(jī)事件的概率,以及概率的應(yīng)用.

        2. 試題特點(diǎn)

        (1)概率試題的題量大致為1~2題,約占全卷的10%左右,試題難度多為容易題或中等題.

        (2)概率試題的背景,大多貼近日常生活實(shí)際,讓人感到親切、真實(shí),充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文教育精神.

        (3)概率試題具有一定的應(yīng)用性和趣味性,充分體現(xiàn)了在玩樂(lè)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)這一理念.

        二、考題類型舉例分析

        1. 判斷事件的可能性

        例1 4個(gè)紅球、3個(gè)白球、2個(gè)黑球放入一個(gè)不透明的袋子里,從中摸出8個(gè)球,恰好紅球、白球、黑球都能摸到,這件事情( ).

        A. 可能發(fā)生 B. 不可能發(fā)生

        C. 很可能發(fā)生 D. 必然發(fā)生

        解析 因?yàn)槿N球共有9個(gè),而且沒(méi)有一種球有8個(gè),也沒(méi)有2種球的和為8個(gè),所以若摸出8個(gè)球,三種球都能摸到是必然事件.應(yīng)選D.

        例2 (2018沈陽(yáng))下列事件中,是必然事件的是( ).

        A. 任意買(mǎi)一張電影票,座位號(hào)是2的倍數(shù)

        B. 13人中至少有兩個(gè)人生肖相同

        C. 車(chē)輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口,遇到紅燈

        D. 明天一定會(huì)下雨

        解析 座位號(hào)有奇數(shù)和偶數(shù),故“任意買(mǎi)一張電影票,座位號(hào)是2的倍數(shù)”是隨機(jī)事件;一共12生肖,故“13人中至少有兩人生肖相同”是必然事件;車(chē)輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口,可能遇到紅燈,也可能遇到綠燈,還可能遇到黃燈,故C中的事件是隨機(jī)事件;明天可能下雨,也可能下雨,則選項(xiàng)D中的事件是隨機(jī)事件.故應(yīng)選B.

        例3 (2018襄陽(yáng))下列語(yǔ)句所描述的事件是隨機(jī)事件的是( ).

        A. 任意畫(huà)一個(gè)四邊形,其內(nèi)角和為180°

        B. 經(jīng)過(guò)任意兩點(diǎn)畫(huà)一條直線

        C. 任意畫(huà)一個(gè)菱形,是中心對(duì)稱圖形

        D. 過(guò)平面內(nèi)任意三點(diǎn)畫(huà)一個(gè)圓

        解析 任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和都為360°,故選項(xiàng)A中的事件是不可能事件;兩點(diǎn)確定一條直線,故選項(xiàng)B中的事件是必然事件;菱形都是中心對(duì)稱圖形,故選項(xiàng)C中的事件是必然事件;即A、B、C中的事件都是確定事件.不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓,而在同一條直線上的三點(diǎn)無(wú)法確定一個(gè)圓,故選項(xiàng)D中的事件是隨機(jī)事件.所以應(yīng)選D.

        2. 研究頻率與概率的關(guān)系

        概率被我們用來(lái)表示一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小,對(duì)事件可能性的大小的感覺(jué)通常來(lái)自觀察這個(gè)事件發(fā)生頻率,即該事件實(shí)際發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值.但是在相同的條件下,在進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)后,事件出現(xiàn)的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定,穩(wěn)定后的頻率可以作為概率的估計(jì)值.

        例4 為了調(diào)查宿州市今年有多少名考生參加中考,小聰從全市所有家庭中抽查了200個(gè)家庭,發(fā)現(xiàn)其中10個(gè)家庭有子女參加中考.

        (1)本次抽查的200個(gè)家庭中,有子女參加中考的頻率是多少?

        (2)如果你隨機(jī)調(diào)查一個(gè)家庭,估計(jì)家庭有子女參加中考的概率是多少?

        (3)已知宿州市約有1.3×106個(gè)家庭,假設(shè)有子女參加中考的每個(gè)家庭中只有一名考生,請(qǐng)你估計(jì)今年全市有多少名考生參加中考?

        3. 通過(guò)計(jì)算預(yù)測(cè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率

        (1) 通過(guò)計(jì)數(shù)計(jì)算概率

        例5 若從一副撲克牌中取出的兩組牌,分別是黑桃1、2、3、4和方塊1、2、3、4、,將它們背面朝上,分別重新洗牌后,從兩組牌中各摸出一張,那么摸出的兩張牌的牌面的數(shù)字之和等于5的概率是多少?請(qǐng)你用列舉法(列表或畫(huà)樹(shù)狀圖)加以分析說(shuō)明.

        解析 可用列表法列出所有的可能得到的牌面數(shù)字之和:

        黑桃1黑桃2黑桃3黑桃4方塊11+1=22+1=33+1=44+1=5方塊21+2=32+2=43+2=54+2=6方塊31+3=42+3=53+3=64+3=7方塊41+4=52+4=63+4=74+4=8

        (2)通過(guò)長(zhǎng)度、面積、體積公式求概率

        例6 某商場(chǎng)進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng),活動(dòng)規(guī)則:購(gòu)買(mǎi)500元商品就可以獲得一次轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)(轉(zhuǎn)盤(pán)分為5個(gè)扇形區(qū)域,分別是特獎(jiǎng)彩電一臺(tái),一等獎(jiǎng)自行車(chē)一輛,二等獎(jiǎng)圓珠筆一只,三等獎(jiǎng)卡通畫(huà)一張及不獲獎(jiǎng))轉(zhuǎn)盤(pán)指針停在哪個(gè)獲獎(jiǎng)區(qū)域就可以獲得該區(qū)域相應(yīng)等級(jí)獎(jiǎng)品一件.商場(chǎng)工作人員在制作轉(zhuǎn)盤(pán)時(shí),將獲獎(jiǎng)扇形區(qū)域圓心角分配如下表:

        獎(jiǎng)次特等獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)圓心角1°10°30°90°

        ①獲得圓珠筆的概率是多少?

        ②如果不用轉(zhuǎn)盤(pán),請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種等效實(shí)驗(yàn)方案(要寫(xiě)清楚替代工具和實(shí)驗(yàn)細(xì)則).

        ②可采用“抓鬮”或“抽簽”的方法代替.規(guī)則如下:在一個(gè)不透明的箱子里放入360個(gè)除標(biāo)號(hào)不同外,其它都一樣的乒乓球,其中一個(gè)標(biāo)“特”,10個(gè)標(biāo)“一”,30個(gè)標(biāo)“二”,90個(gè)標(biāo)“三”,其余的不標(biāo)數(shù)字,摸出標(biāo)有哪個(gè)獎(jiǎng)次的乒乓球,則獲獎(jiǎng)相應(yīng)等次的獎(jiǎng)品.

        4.隨機(jī)事件概率的應(yīng)用

        了解事件發(fā)生的概率,有利于決策者對(duì)問(wèn)題的解決作出合理的選擇.解決這類問(wèn)題的一般方法是:從實(shí)際問(wèn)題中抽象出概率的模型計(jì)算概率,然后根據(jù)概率的大小作出合理的決策.

        例7 有一個(gè)拋兩面硬幣的游戲,規(guī)則是:若出現(xiàn)兩個(gè)正面,則甲贏;若出現(xiàn)一正一反,則乙贏;若出現(xiàn)兩個(gè)反面,則甲、乙都不贏.

        (1)這個(gè)游戲是否公平?請(qǐng)說(shuō)明理由.

        (2)如果你認(rèn)為這個(gè)游戲不公平,那么請(qǐng)你改變游戲規(guī)則,設(shè)計(jì)一個(gè)公平的游戲;如果你認(rèn)為這個(gè)游戲公平,那么請(qǐng)你改變游戲規(guī)則,設(shè)計(jì)一個(gè)不公平的游戲.

        (2)游戲規(guī)則一:若出現(xiàn)兩個(gè)相同面,則甲贏;若出現(xiàn)一正一反,則乙贏;

        游戲規(guī)則二:若出現(xiàn)兩個(gè)正面,則甲贏;若出現(xiàn)兩個(gè)反面,則乙贏;若出現(xiàn)一正一反,則甲、乙都不贏.

        例8 (2018黃岡)在-4,-2,1,2四個(gè)數(shù)中,隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別作為函數(shù)y=ax2+bx+1中a,b的值,則該二次函數(shù)圖象恰好經(jīng)過(guò)第一、二、四象限的概率為_(kāi)___.

        點(diǎn)評(píng) 二次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)第一、二、四象限需滿足:(1)開(kāi)口向上;(2)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);(3)與y軸交于正半軸;(4)對(duì)稱軸在y軸右側(cè).

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