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        指數(shù)運(yùn)算中常用的方法與技巧

        2019-08-14 07:20:44杜紅全
        數(shù)理化解題研究 2019年19期
        關(guān)鍵詞:帶分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)底數(shù)

        杜紅全

        (甘肅省康縣教育局教研室 746500)

        在指數(shù)運(yùn)算中,若能根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征選擇適當(dāng)?shù)姆椒?,則可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.下面舉例說(shuō)明.

        一、利用整體代換

        二、把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)、把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)

        若底數(shù)(或指數(shù))是小數(shù)時(shí),則可化為分?jǐn)?shù);若底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí),則可化為假分?jǐn)?shù).

        三、利用或

        在指數(shù)運(yùn)算中,把指數(shù)式進(jìn)行因式分解或約分,可以使運(yùn)算簡(jiǎn)化.

        分析根據(jù)本題特點(diǎn),應(yīng)注意到

        x-1=(x1/3)3-13=(x1/3-1)(x2/3+x1/3+1),

        x+1=(x1/3)3+13=(x1/3+1)(x2/3-x1/3+1),

        x-x1/3=x1/3[(x1/3)2-1]=x1/3(x1/3+1)(x1/3-1).

        =x1/3-1+x2/3-x1/3+1-x2/3-x1/3=-x1/3.

        評(píng)注解此類問(wèn)題,還要注意運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算中的乘法公式:

        (a1/2+b1/2)(a1/2-b1/2)=a-b;(a1/2±b1/2)2=a±2a1/2b1/2+b;

        (a1/3±b1/3)(a2/3?a1/3b1/3+b2/3)=a±b.

        四、利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化

        若底數(shù)是根式時(shí),一般將根式統(tǒng)一寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,然后進(jìn)行運(yùn)算化簡(jiǎn);有時(shí)也可根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)把分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式較為方便.

        解原式=(a3/2·a3/2)1/3·[(a-5)-1/2·(a-1/2)13]1/2=(a0)1/3·(a5/2·a-13/2)1/2=(a-4)1/2=a-2.

        五、利用ap·a-p=1(a≠0,p是正整數(shù))

        在指數(shù)運(yùn)算中,若靈活運(yùn)用ap·a-p=1進(jìn)行代換,則可以化難為易.

        =a-1/2-a-1/2=0.

        六、利用乘法公式

        學(xué)習(xí)了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪以后,應(yīng)習(xí)慣對(duì)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪直接應(yīng)用乘法公式來(lái)計(jì)算,例如a-2-b-2=(a-1-b-1)(a-1+b-1),a2-2+a-2=(a-a-1)2,a-b=(a1/2+b1/2)(a1/2-b1/2)等.

        七、利用

        利用這個(gè)性質(zhì),顛倒底數(shù)的分子分母的位置,直接把負(fù)指數(shù)化為正指數(shù),反之亦然.

        八、利用換元法

        解設(shè)m1/3=x,m-1/3=y,則xy=1.

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