武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2，記過點(diǎn)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2)) 的直線的斜率為k.問：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

時(shí)隔二年，試題2與試題1如出一轍；時(shí)隔九年，試題3與試題1又如出一轍.

②若a-1<1，而a>1，故10.故f(x)在(a-1，1)上單調(diào)遞減，在(0，a-1)，(1，+∞)上單調(diào)遞增.

③若a-1>1，即a>2，同理可得f(x)在(1，a-1)上單調(diào)遞減，在(0，1)，(a-1，+∞)上單調(diào)遞增.

令g(x)=x2-ax+1，其判別式Δ=a2-4.

①當(dāng)|a|≤2時(shí)，Δ≤0，f′(x)≥0.

故f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)a<-2時(shí)，Δ>0，g(x)=0的兩根都小于0.在(0，+∞)上，f′(x)>0.故f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

故不存在a，使得k=2-a.

①若a≤2，則f′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，x=1時(shí)，f′(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減.

(2)由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.

由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨設(shè)x11.

上述試題的第(1)問都是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想求解，第(2)問都是首先運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想探尋求解思路，然后運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的方法求解.