李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學(xué) 114012)

函數(shù)的零點是高中數(shù)學(xué)重要概念之一，也是近幾年高考命題的熱點，所以，很有必要針對函數(shù)零點問題做一梳理和總結(jié).下面是按解決函數(shù)零點問題的方法和手段進行分類，概括性地給出高考試題中函數(shù)零點問題的解題策略.

一、解方程法

分析函數(shù)f(x)零點的概念就是方程f(x)=0的解，所以，最基本的求零點的方法實質(zhì)上就是解方程.本題的解決就是基于這樣的思考.

點評函數(shù)零點是通過方程的根來定義的，所以解方程求根是解決函數(shù)零點問題的基本方法.但當(dāng)面對有些不可解的方程時，需要通過觀察法等手段尋找方程的根，這是需要解決零點問題要注意到的事情，特別是對于超越方程尋求其解時顯得更重要.

二、數(shù)形結(jié)合法

分析第一個空略.

對于第二個空，函數(shù)f(x)零點的概念就是方程f(x)=0的解，也可以表述為函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).由于函數(shù)f(x)是分段函數(shù)，我們可采取分別在兩個直角坐標(biāo)系中作出f(x)=x-4,x≥λ，f(x)=x2-4x+3,x<λ的圖象.

通過函數(shù)圖象和題中條件要求對比，即可得到結(jié)論.

略解在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)f(x)=x-4,x≥λ，f(x)=x2-4x+3,x<λ. 由圖象對比可知：1<λ≤3或λ>4.

點評數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中最重要的解題思想方法之一.利用數(shù)形結(jié)合解決問題關(guān)鍵變式構(gòu)造函數(shù)，其核心是通過變式的目的是為構(gòu)造函數(shù)打下伏筆，構(gòu)造函數(shù)式為把復(fù)雜問題、不便于畫圖形的問題簡單化.利用數(shù)形結(jié)合解決問題另一關(guān)鍵之處是要有運動變化的思想，在圖象相對位置、不同情況充分考慮到，不留漏洞，這樣能確保問題順利解決.

三、奇偶函數(shù)性質(zhì)法

(2018年全國2卷，理11)已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(x+1).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)的值為( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

分析f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以x=0是f(x)的一個零點.又借助枚舉法得到f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，且在一個周期內(nèi)其函數(shù)值的和為0.整合上述結(jié)論可得答案.

略解因為f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以x=0是f(x)的一個零點.即f(0)=0 .

又注意到f(1-x)=f(x+1)，f(1)=2,所以f(2)=f(0)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-2，f(4)=f(-2)=-f(2)=0，f(5)=f(-3)=-f(3)=2，f(6)=f(-4)=-f(4)=0，f(7)=f(-5)=-f(5)=-2，…，所以f(x)是周期為4的周期函數(shù),且一個周期內(nèi)函數(shù)值的和為0.

又f(49)=f(48+1)=f(1)=2，f(50)=f(48+2)=f(2)=0，所以選C.

點評具有奇(偶)性的函數(shù)有著關(guān)于原點(y軸)對稱的性質(zhì)，這樣既可以幫助找到特殊零點，也可把問題轉(zhuǎn)化到x軸的半軸上解決.周期性的作用在于把自變量取值范圍簡化到在一個周期內(nèi)問題得到解決，則自變量取值范圍的問題即可全部得到解決.在此要強調(diào)的是借助“點、軸對稱”、“軸、軸對稱”確定函數(shù)周期性的小結(jié)論是要掌握的.

四、單調(diào)函數(shù)法

(2016年江蘇卷,19)已知f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1，b≠1).

①求方程f(x)=2的根；

②若對于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立，求實數(shù)m的最大值；

(2)若01，函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個零點，求ab的值.

分析(1)略.

對于問題(2)解決，條件是g(x)=f(x)-2有且只有1個零點，結(jié)論是求ab的值.是已知零點求參數(shù)問題.注意到：函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個零點等價于函數(shù)g(x)具有單調(diào)性，并且g(x)=0有一根.所以，問題的解決分為兩步進行，一是考察單調(diào)性，二是零點存在.

略解(1)略.

點評由函數(shù)的單調(diào)性來研究函數(shù)的零點，主要針對零點唯一.題型為：一類是直接判斷函數(shù)式結(jié)構(gòu)特點直接判斷單調(diào)性；一類是借助導(dǎo)數(shù)來判斷單調(diào)性.要注意的是單調(diào)函數(shù)未必有零點(如：y=2x是增函數(shù)，但沒有零點)，所以，用單調(diào)性判斷零點存在性，還要附加：存在實數(shù)a、b，使得f(a)f(b)<0.

五、極(最)值法

(2017年全國理科一卷，21)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

分析(1)略.

對于問題(2)，條件中函數(shù)f(x)有兩個零點等價于函數(shù)y=f(x)圖象與x軸有兩個交點；這樣問題就轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)極小值小(大)于零，且在取得極小值的之變量值兩側(cè)存在a、b，使得f(a)>0，同時f(b)>0(或小于零).

略解(1)略.

點評函數(shù)有兩個(甚至更多)零點問題，從數(shù)形結(jié)合角度看，是觀察圖象與x軸的交點個數(shù)；從代數(shù)角度看，可從極值的正負(fù)角度來分析.這樣就把零點問題，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)極值問題.

以上是就近幾年高考試題中關(guān)于零點問題解題策略的提煉與概括，就試題而言，還有很多題目，在此不可能，也沒有必要逐一列舉.縱觀函數(shù)零點問題可分為求零點、判斷零點和已知零點存在否求參數(shù)問題，對于這三種題型，上述問題中都有所體現(xiàn).可以說，如果對于零點問題我們能認(rèn)識到如此程度，高考中的零點問題必然迎刃而解.