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        基于CPML的FDTD法礦山地質(zhì)災(zāi)害應(yīng)急數(shù)值模擬

        2019-08-14 07:56:08尤雙雙謝杰文彭谷香
        世界有色金屬 2019年12期
        關(guān)鍵詞:平均功率平面波邊界條件

        尤雙雙,謝杰文,彭谷香

        (湖北省核工業(yè)地質(zhì)局,湖北 孝感 432000)

        PML是由Berenger[1]于1994年針對(duì)電磁波提出的一種非物理吸收邊界條件。因其在截?cái)嗝嫔暇哂袑?duì)任意方向及任何頻率的波都不產(chǎn)生反射[2]的優(yōu)勢(shì)而備受關(guān)注與運(yùn)用。比如Chen等[3]在1997年采用PML吸收邊界條件求解電磁波方程,取得了不錯(cuò)的成效;朱章虎等[4]學(xué)者于2006實(shí)現(xiàn)了PML-FDTD的編程;在礦震等方面也頗受好評(píng),2007年,單啟銅等[5]研究了PML吸收邊界條件下的彈性介質(zhì)波,取得了一系列的成果。但是需要分裂計(jì)算場(chǎng)使得其方程冗長(zhǎng)而繁瑣[6],后來Kuzuoglu[7]等在1996年提出了可以吸收低頻凋落模的復(fù)頻率參數(shù)完全匹配層(CFS-PML)。因?yàn)镃FSPML吸收邊界條件不容易實(shí)現(xiàn),所以在2000年時(shí),Roden and Gedney[8]基于對(duì)坐標(biāo)伸縮因子進(jìn)行改進(jìn),從而提出了吸收效果好、易擴(kuò)展等優(yōu)點(diǎn)[9]的卷積完全匹配層(CPML)。葛德彪和閆玉波老師在著作[10]中談到,對(duì)于處理棱邊和角頂?shù)葏^(qū)域,CPML比Gendey S.D.[11](1996)提出的UPML更為簡(jiǎn)潔和高效。由于CPML是由方程的連續(xù)性得到的,并沒有進(jìn)行非物理分裂,因此其表達(dá)式的形式簡(jiǎn)單,節(jié)省計(jì)算過程中的存儲(chǔ)量。在2005年,高春霞等[12]在模擬空中核爆電磁脈沖時(shí)推導(dǎo)了雙曲正交坐標(biāo)系下的CPML截?cái)噙吔绲碾姶艌?chǎng)離散方程,王粵等[13]基于傅里葉變換的卷積定理,推導(dǎo)了三維金屬矩形波導(dǎo)在直角坐標(biāo)系下的CPML的迭代公式。張顯文等[14]于2009年結(jié)合CFS-PML與高階差分法研究了彈性波方程。胡媛等[15]在2011年基于CUDA架構(gòu),采用并行算法實(shí)現(xiàn)了CPML-3D-FDTD。在2012年,朱翼超等[16]采用CPML吸收邊界條件模擬了脈沖輻射,而李義豐等[17]證明了CPML吸收邊界對(duì)聲波中的損耗體介質(zhì)吸收果很好。李建等[18,19]于2014年驗(yàn)證了CPML在2維TE波及3維HIE-FDTD的吸收性能很好。劉廣東[20,21]分別于2014年研究了Davidson-Cole介質(zhì)的CPML以及2015年模擬了一般色散介質(zhì)中的ADE-FDTD-CPML電磁波傳播情況。為了提供關(guān)于井下地質(zhì)災(zāi)害的理論依據(jù),彭凌星等[22]在2017年利用CPML吸收邊界數(shù)值模擬了井下地質(zhì)雷達(dá)探測(cè),并且討論了關(guān)于復(fù)雜地質(zhì)礦體的探測(cè)。

        本文模擬了一維情況下的礦震脈沖波和二維情況下的TM波在CPML吸收邊界條件下的傳播情況。

        1 基本原理

        1.1 CPML的背景

        CPML的理論是基于坐標(biāo)伸縮Maxwell導(dǎo)出的平面波在分界面的無反射條件。

        頻域中修正的無源Maxwell:

        經(jīng)推導(dǎo)得伸縮媒質(zhì)中平面波的波阻抗為:

        說明平面波的波阻抗不受伸縮因子的影響。

        平面波在分界面處無反射條件為:表明若分界面兩側(cè)的橫向伸縮因子及媒質(zhì)參數(shù)相等,則平面波在分界面處無反射。

        1.2 時(shí)域CPML的公式

        即將含指數(shù)函數(shù)的卷積化為循環(huán)卷積,方便進(jìn)行FDTD步進(jìn)計(jì)算。

        為了簡(jiǎn)單起見,對(duì)CPML中x方向的磁場(chǎng)表達(dá)式進(jìn)行FDTD差分離散,如下所示:

        2 數(shù)值模擬

        2.1 一維情況

        此模型設(shè)總網(wǎng)格數(shù)為200,主網(wǎng)格數(shù)為120,空間增量Δz=0.01m,時(shí)間步長(zhǎng)為Δt=Δz c。帶寬為6的脈沖源位于計(jì)算域的中點(diǎn),沿z方向在相對(duì)介電常數(shù)為1的均勻介質(zhì)中傳播。兩端的吸收邊界均為CPML,其層數(shù)都為40,程序運(yùn)行時(shí)間步數(shù)為140。以下各圖分別為各個(gè)時(shí)間步數(shù)時(shí)電場(chǎng)與磁場(chǎng)分量的傳播情況。

        圖1 時(shí)間步t=65時(shí),電場(chǎng)的傳播情況

        圖2 時(shí)間步t=65時(shí),磁場(chǎng)的傳播情況

        圖3 時(shí)間步t=100時(shí),電場(chǎng)的傳播情況

        圖4 時(shí)間步t=100時(shí),磁場(chǎng)的傳播情況

        圖5 時(shí)間步t=110時(shí),電場(chǎng)的傳播情況

        圖6 時(shí)間步t=110時(shí),磁場(chǎng)的傳播情況

        圖7 時(shí)間步t=140時(shí),電場(chǎng)的傳播情況

        圖8 時(shí)間步t=140時(shí),磁場(chǎng)的傳播情況

        2.2 二維情況

        該模型采用笛卡爾直角坐標(biāo)系,自左至右為x軸,自下而上為y軸。

        假設(shè)總網(wǎng)格數(shù)為340*340,主網(wǎng)格數(shù)為300*300,吸收邊界為CPML,層數(shù)為20。TM波的波源位于x軸中點(diǎn)的上方,源激發(fā)的波長(zhǎng)λ為5.5× 10-7m,頻率為f=c0λ,相對(duì)介電常數(shù)為1。每個(gè)方向的單元格的大小為λ20。程序運(yùn)行的時(shí)間步數(shù)為500,描繪了在各時(shí)間步時(shí)電場(chǎng)的平均功率及傳播情況。

        圖9 時(shí)間步t=240時(shí)的電場(chǎng)平均功率

        圖10 時(shí)間步t=310時(shí)的電場(chǎng)平均功率

        圖11 時(shí)間步t=400時(shí)的電場(chǎng)平均功率

        圖12 時(shí)間步t=500時(shí)的電場(chǎng)平均功率

        圖13 時(shí)間步t=120時(shí),電場(chǎng)的傳播情況

        圖14 時(shí)間步t=230時(shí),電場(chǎng)的傳播情況

        圖15 時(shí)間步t=350時(shí),電場(chǎng)的傳播情況

        圖16 時(shí)間步t=500時(shí),電場(chǎng)的傳播情況

        3 結(jié)論

        一維情況中的圖1和圖2表明在時(shí)間步t=65時(shí),電磁波仍停留在有效區(qū)域傳播,并未到達(dá)CPML吸收層;同時(shí)說明了該礦山地質(zhì)災(zāi)害應(yīng)急模型中設(shè)置的CPML吸收層不影響波在有效區(qū)域內(nèi)傳播。圖3至圖6呈現(xiàn)出電磁波在衰減吸收區(qū)域被CPML層迅速吸收,圖7和圖8表明電場(chǎng)和磁場(chǎng)幾乎被吸收完畢。說明CPML層的吸收效果很好,在一維模型中設(shè)置比較合理。

        對(duì)于二維TM波的傳播情況而言,我們應(yīng)該結(jié)合電場(chǎng)的平均功率圖與電場(chǎng)的等值線圖進(jìn)行相應(yīng)的分析。由圖11和圖14、15可知,在時(shí)間步t=230之前,TM波仍然在均勻介質(zhì)中傳播,還沒有到達(dá)吸收層。由圖11和圖12知,電場(chǎng)在CPML中衰減特別迅速;從圖14和圖15中規(guī)則的等值線可得,CPML的設(shè)置比較好,吸收反射波的效果不錯(cuò)。

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