☉山東省東營(yíng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 于春梅

工作十余年，越來(lái)越感到，數(shù)學(xué)思維能力直接影響著人生更多方面的發(fā)展.有的學(xué)生會(huì)因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)不好，而狂報(bào)補(bǔ)習(xí)班，占用了大量休息和思考的時(shí)間；有的學(xué)生怎么學(xué)也學(xué)不會(huì)，選擇放棄；有的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有著極強(qiáng)的興趣，卻成績(jī)平平，難過(guò)不已.歸根結(jié)底，我覺(jué)得最重要的是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法和基本的思維模式，以及到最后形成的數(shù)學(xué)思維能力，這才是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最根本的東西.有這樣一句俗語(yǔ)：“進(jìn)考場(chǎng)，雙肩頂著腦袋，強(qiáng)大的腦袋才是致勝的法寶.”其中，強(qiáng)大的腦袋說(shuō)白了就是強(qiáng)大的數(shù)學(xué)思維能力.基于此，我漸漸地摸索，嘗試各種教學(xué)方法，更加用心研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所需要的各類數(shù)學(xué)思想方法，為學(xué)生不同學(xué)習(xí)階段數(shù)學(xué)思維能力的養(yǎng)成和提升做足了工作，尤其是在初三學(xué)生升入高中之前，在數(shù)學(xué)的整體復(fù)習(xí)中，數(shù)學(xué)建模思想的滲透更顯得生龍活虎，為學(xué)生思維能力的提升注入了新鮮活力.以下是我在幫助學(xué)生進(jìn)行專題復(fù)習(xí)“路徑最短問(wèn)題”時(shí)的幾個(gè)做法.

一、引領(lǐng)學(xué)生分清類型，滲透建模意識(shí)

作為數(shù)學(xué)教師，我們都清楚地知道，幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)顯而易見(jiàn)承擔(dān)著對(duì)學(xué)生邏輯思維能力、推理論證能力、解決問(wèn)題能力培養(yǎng)的任務(wù).因此，我更加用心地抓住每一次復(fù)習(xí)幾何的機(jī)會(huì)，借助幾何復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生快速提升思維能力.我們知道，幾何問(wèn)題的攻破，最重要的是方法，題目可以千變?nèi)f化，方法卻固若金湯，方法就是學(xué)生應(yīng)對(duì)千變?nèi)f化的法寶.因此，幫助學(xué)生歸納、總結(jié)方法，成為了學(xué)生整體思維提升最重要的途徑.于是我在“路徑最短問(wèn)題”的教學(xué)中，做了以下幾項(xiàng)工作；

（一）厘清路徑最短問(wèn)題的類型

通過(guò)厘清初中幾何中出現(xiàn)的這類知識(shí)，我和學(xué)生一起總結(jié)出初中幾何中一共有兩大類問(wèn)題：一是兩點(diǎn)之間線段最短問(wèn)題，二是點(diǎn)到直線之間垂線段最短的問(wèn)題，基本圖形如圖1所示：

圖1

（二）厘清在幾何問(wèn)題中呈現(xiàn)的方式

方式1：呈現(xiàn)在平面幾何問(wèn)題中

例1如圖2，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含點(diǎn)B）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.

（2）①當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，AM+CM的值最小？

②當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最??？并說(shuō)明理由.

圖2

圖3

例2如圖3，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村、李莊送水，水泵站修在河邊什么地方可使所用的水管最短？

方式2：呈現(xiàn)在立體幾何問(wèn)題中

例3如圖4，一只螞蟻沿著棱長(zhǎng)為2的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)3個(gè)面爬到點(diǎn)B，如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_____.

圖4

二、幫助學(xué)生針對(duì)類型，構(gòu)建數(shù)學(xué)建模能力

幫助學(xué)生厘清類型之后，開(kāi)始逐個(gè)攻破，在攻破的過(guò)程中，滲透建模思想，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)建模的思維能力.

（一）不論是在平面上還是在立體中，直接使用“兩點(diǎn)之間，線段最短”

例1為平面中的直接使用“兩點(diǎn)之間線段最短”來(lái)解決的問(wèn)題.

例1 第（2）問(wèn)的①，是典型的直接求A、C兩點(diǎn)之間的距離，學(xué)生可以直接解決，而第（2）問(wèn)的②經(jīng)過(guò)分析之后，學(xué)生的建模思想開(kāi)始起作用，明確問(wèn)題化歸為求E、C之間的距離，即兩點(diǎn)之間線段最短的實(shí)質(zhì)，自然呈現(xiàn)，因此學(xué)生的思維即可達(dá)到問(wèn)題解決的途徑上來(lái)，只需要E、N、M、C四點(diǎn)共線，學(xué)生的認(rèn)知水平、思維能力也順次提升.

例3 為立體幾何中的直接使用“兩點(diǎn)之間線段最短”來(lái)解決的問(wèn)題.

例4景泰藍(lán)廠的工人師傅要給一個(gè)圓柱型的制品嵌金線，如圖5，圓柱體高為6cm，底面圓周長(zhǎng)為8cm，如果將金線的起點(diǎn)固定在點(diǎn)A，繞一周之后終點(diǎn)為點(diǎn)B，則金線的用量最少為_(kāi)_____.

例5如圖6，圓錐的母線長(zhǎng)是3，底面半徑是1，A是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到點(diǎn)A的最短的路線長(zhǎng)是（ ）.

D.3

圖5

圖6

在立體幾何中，這些例子非常具有代表性，這些問(wèn)題的解決，不僅僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)了借助轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題，又滲透了數(shù)學(xué)建模思想，逐漸讓學(xué)生建立起數(shù)學(xué)建模思維方式.

（二）不論是在平面上還是在立體中，間接使用“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”來(lái)解決問(wèn)題

例2 是最常見(jiàn)的距離和最短問(wèn)題.

所有這類例子，學(xué)生都經(jīng)過(guò)了運(yùn)用軸對(duì)稱的知識(shí)，將其中的一條線段，通過(guò)對(duì)稱，順利達(dá)成了兩條線段在一條直線上的目的，實(shí)現(xiàn)了兩點(diǎn)之間線段最短的本質(zhì)體現(xiàn)，從而解決了問(wèn)題.這類題目，我們簡(jiǎn)稱為“距離和最短問(wèn)題”，其本質(zhì)是兩點(diǎn)之間線段最短，學(xué)生理解了本質(zhì)之后，就知道了具體做法的道理，因此，對(duì)這類題目的解決順理成章.這類題目更多地出現(xiàn)在幾何題目中，而且不斷發(fā)生著變化.

例6問(wèn)題探究：

（1）如圖7，四邊形ABCD是正方形，AB=10cm，E為邊BC的中點(diǎn)，P為BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PC+PE的最小值；

（2）如圖8，若四邊形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E為邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PC+PE的最小值；

問(wèn)題解決：

（3）如圖9，若四邊形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E為邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PC+PE的最小值.

圖7

圖8

圖9

例6的探究與解決，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際的例子，感受到距離和最短問(wèn)題模型的使用，同時(shí)在第（2）問(wèn)中又進(jìn)一步結(jié)合“點(diǎn)到直線之間垂線段最短”的道理解決.最后一問(wèn)，將知識(shí)進(jìn)一步融合，同時(shí)借助了其他的幾何推理知識(shí)解決了問(wèn)題，拓展題目、變式題目讓學(xué)生不斷體會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的辦法，不僅僅在方法上得到了提煉，思維能力也一并提升，達(dá)到了方法與思維雙贏的效果.

圖10

例7已知：直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線y=x2+bx+c與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)△PAE是直角三角形且以P為直角頂點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使|AM-MC|的值最大，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

例7的探究與解決，讓學(xué)生充分體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系，和“距離和最短問(wèn)題”解法的遷移，達(dá)到思維的拓展，從而解決了“距離差最大的問(wèn)題”，讓學(xué)生的思維能力進(jìn)一步融入學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法體系中.

例8如圖11，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長(zhǎng)為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為_(kāi)_____m（容器厚度忽略不計(jì)）.

圖11

例8的探究與解決，讓學(xué)生充分體會(huì)從立體幾何轉(zhuǎn)化到平面幾何的過(guò)程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)了如何借助平面幾何問(wèn)題的解決辦法來(lái)解決立體幾何問(wèn)題，其實(shí)最終是基本圖形發(fā)揮了作用，數(shù)學(xué)建模思想又一次得到體現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思維能力又一次得到構(gòu)建，從而真正促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維能力的提升.

老師不僅僅是傳道授業(yè)解惑者，更是學(xué)生成長(zhǎng)過(guò)程中的指導(dǎo)者、引路者，在學(xué)生每一個(gè)需要我們的階段，我們都可以盡己所能幫助學(xué)生.對(duì)于今天乃至將來(lái)要在學(xué)業(yè)上有所成就的學(xué)生來(lái)說(shuō)，思維能力的構(gòu)建是第一位的，我們幫助他們建立強(qiáng)大的思維能力義不容辭，因此需要我們潛心研究，用心琢磨，專心助力他們走向成功.今天這節(jié)關(guān)于“路徑最短”問(wèn)題的探究和研究，讓我們努力將數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)一步滲透，也努力幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)建模思維構(gòu)建起來(lái)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到了極大的提升和拓展，思維之花綻放得更加燦爛、絢麗.