☉江蘇省南京二十九中初中部 高 健

站在中考層面復(fù)習(xí)三角形，研究內(nèi)容大致可以分為一個(gè)三角形的問題和多個(gè)三角形之間關(guān)系的問題，本文著重從一個(gè)三角形出發(fā)，我們研究了它的哪些內(nèi)容？它與其他的幾何圖形從內(nèi)容與思想方法上有什么聯(lián)系？下面，筆者結(jié)合課堂教學(xué)設(shè)計(jì)談?wù)勅绾芜M(jìn)行三角形的復(fù)習(xí)，與讀者研討.

一、設(shè)計(jì)說明

1.學(xué)情分析

初三一輪復(fù)習(xí)課是很難上的一種課型，很多教師依照《中考指導(dǎo)書》的要求、編排，按部就班講授，不會出大的問題，但是往往對于數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系有所忽視，對于數(shù)學(xué)思想的點(diǎn)撥有所缺失，對學(xué)生而言課堂效率就有了提升的空間.筆者認(rèn)為，一輪復(fù)習(xí)應(yīng)體現(xiàn)三點(diǎn)：基礎(chǔ)性、結(jié)構(gòu)性、層次性，本設(shè)計(jì)兼顧不同層次的學(xué)生，以“憶往昔”為起點(diǎn)，幫助學(xué)生梳理三角形的知識脈絡(luò)，落實(shí)“基礎(chǔ)知識”和“基本技能”，提煉不同圖形中解決問題的方法，注重通性通法，讓不同層次的學(xué)生都有不同的發(fā)展.

2.目標(biāo)分析

經(jīng)歷三角形知識梳理的過程，探索三角形的結(jié)構(gòu)和體系，體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法.

探索直角三角形在不同圖形中的運(yùn)用，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

圖1

1.課堂前側(cè)

題1：已知三角形三邊的長分別為1、5、x，則x的取值范圍為______.

題2：（1）若一副直角三角板如圖1所示疊放，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，則∠BFD=______.

（2）一架長為2.5m的梯子ED，斜靠在一豎直的墻AC上，這時(shí)，梯足D到墻底端C的距離為0.7m，若梯子的頂端沿墻下滑0.4m，則梯足將向外移______m.

題3：若△ABC是等腰三角形，∠A=40°，則∠B=______.

設(shè)計(jì)意圖：本組練習(xí)在課堂前5分鐘內(nèi)完成，以習(xí)題帶知識點(diǎn)的形式幫助學(xué)生回憶三角形中的基本元素及一些常見的特殊三角形，為后面的知識結(jié)構(gòu)梳理打基礎(chǔ)、做鋪墊.

2.憶往昔

問題1：對于任意△ABC，我們研究了哪些內(nèi)容？

【學(xué)生三角形知識結(jié)構(gòu)化展示】

圖2

【教師三角形知識結(jié)構(gòu)化展示】

圖3

設(shè)計(jì)意圖：筆者在聽課時(shí)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)有趣的現(xiàn)象，很多教師在課堂上請部分學(xué)生就三角形知識點(diǎn)以提問的方式進(jìn)行回顧，這樣其實(shí)存在一些弊端，知識點(diǎn)的復(fù)習(xí)本身就比較枯燥，同時(shí)并沒有真正落實(shí)調(diào)動每一名學(xué)生積極參與課堂，進(jìn)行對三角形知識的結(jié)構(gòu)化梳理.

因此，課前筆者要求所有學(xué)生以結(jié)構(gòu)圖的形式在一張A4紙上寫出從一個(gè)三角形中能想到的所有知識點(diǎn)（注：不包括全等、相似、位似等，這些屬于兩個(gè)三角形的討論內(nèi)容），呈現(xiàn)形式不限，可以用樹狀圖、表格、畫圖等.

學(xué)生經(jīng)歷三角形知識梳理的過程，明確了三角形的構(gòu)成要素：邊與角，以及它們之間的關(guān)系，有定性的研究，也有定量的探索，經(jīng)歷探索三角形的結(jié)構(gòu)和體系的過程，體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法.

教學(xué)建議：通過學(xué)生展示與講解，不斷將三角形的知識結(jié)構(gòu)化，同時(shí)初步感受從一般到特殊的研究思路.通過對等腰三角形對稱性的分析，同時(shí)結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，將著力點(diǎn)放到將“斜三角形”轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題中，同時(shí)對課堂前測進(jìn)行簡單講解，對照結(jié)構(gòu)圖前后呼應(yīng)，夯實(shí)基礎(chǔ).

3.再出發(fā)

題1：公交總站（點(diǎn)A）與B、C兩個(gè)站點(diǎn)的位置如圖4所示，AB=6km，∠C=30°，∠B=15°，求C站點(diǎn)離公交總站的距離即AC的長（結(jié)果保留根號）.

圖5

圖4

簡要解答：如圖5，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，易得∠DAB=45°.在Rt△DAB中，易求得BD=AD=.在Rt△DCB中，易求得CD=，所以AC=CD-AD=（km）.

設(shè)計(jì)意圖：本題從學(xué)生最熟悉的三角形的構(gòu)成元素，即邊與角之間的關(guān)系切入，利用三角函數(shù)和三角形的外角進(jìn)行解答，強(qiáng)化了對基本圖形的理解與應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生掌握中考中解決三角形問題的基本解題方法即“化斜為直”，提高學(xué)生分析和解決問題的能力

題2：如圖6，菱形ABCD的面積為120cm2，正方形AECF 的面積為50cm2，則菱形的邊長為________cm.

圖6

簡要解答：如圖7，連接AC、BD交于點(diǎn)O.因?yàn)檎叫蜛ECF 的面積為50cm2，易求得AC=10.又因?yàn)榱庑蜛BCD的面積為120cm2，易求得BD=24.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=13cm.

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷在四邊形中添加輔助線的過程，改造熟悉圖形，感受解題方法的必然性，利用構(gòu)造出的直角三角形，感悟圖形的“生長與轉(zhuǎn)化”過程，注重“基本套路”.

追問1：剛才這名同學(xué)的解答有遺憾么？

設(shè)計(jì)意圖：在本問題中，學(xué)生容易默認(rèn)B、E、F、D四點(diǎn)共線，從數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性上來說是有問題的，可以利用AE=CE，說明點(diǎn)E在AC的中垂線上，同理點(diǎn)F也在AC的中垂線上，得出四點(diǎn)共線.

題3：如圖8，正六邊形ABCDEF的邊長為6，O為正六邊形的中心，則點(diǎn)O到邊AB的距離為_______.

圖7

圖8

圖9

簡要解答：如圖9，過點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G，連接OA、OB.由題意得：.又因?yàn)镺A=OB，所以△AOB是等邊三角形.由“三線合一”易求得AG=3.在Rt△AOG中，由勾股定理，得.

追問1：除了剛才的解法，你還可以怎么解決這個(gè)問題？

設(shè)計(jì)意圖：從四邊形到多邊形既是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何圖形的過程，同時(shí)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，水到渠成.再次感悟從多邊形中構(gòu)造直角三角形的過程，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和解題過程中，理性思維起主導(dǎo)作用，所以我們要注重“一題多解”“多解歸一”“多題歸一”，從而使數(shù)學(xué)解題步步為營，層層深入，有理有據(jù)，回歸自然.

題4：如圖10，矩形紙片ABCD的一邊BC過圓心O，且AB=4cm，BE=3cm，AF=5cm，則圓的半徑為____cm.

圖10

圖11

簡要解答：如圖11，過點(diǎn)O作OG⊥AD于點(diǎn)G，連接OF.設(shè)OE=OF=x.由題意易證四邊形ABOG為矩形，所以AB=OG=4，BO=AG，所以FG=AG-AF=BO-AF=（x＋3）-5=x-2.在Rt△FOG中，由勾股定理，得FG2＋OG2=OF2，即（x-2）2＋42=x2，解得x=5.

設(shè)計(jì)意圖：從多邊形到圓是學(xué)生初三接觸到的比較熟悉的問題，也是初中幾何學(xué)習(xí)的頂端，將多邊形與圓結(jié)合，在其中構(gòu)建出所熟悉的基本圖形，即直角三角形，通過找尋其中的等量關(guān)系，利用其定量性質(zhì)勾股定理列方程解決問題，進(jìn)一步感悟知識之間的關(guān)系，注重通性通法，即落實(shí)到直角三角形在不同圖形中的運(yùn)用.

三、思考

本節(jié)課從學(xué)生對知識點(diǎn)的整理開始，到在筆者引導(dǎo)下由一般到特殊的歸納，再到最后方法的總結(jié)，從學(xué)生在知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的“大致”，引導(dǎo)學(xué)生不斷完善知識系統(tǒng)，本質(zhì)上就是讓體系更加“精致”，而后體驗(yàn)在不同的圖形中解決問題的方法的“一致”，著眼點(diǎn)都是尋找解決問題的關(guān)鍵——直角三角形，

1.一點(diǎn)遺憾

因?yàn)楣_課的緣故，筆者也采用了稍微穩(wěn)妥一點(diǎn)的方式，最初的設(shè)計(jì)實(shí)際上是在學(xué)生整理完結(jié)構(gòu)圖后，直接呈現(xiàn)出四幅圖，讓學(xué)生在其中尋找和體驗(yàn)直角三角形，現(xiàn)在呈現(xiàn)的是基于學(xué)情，以生為本，立足于學(xué)生的一種課堂.

2.復(fù)習(xí)需體現(xiàn)知識的結(jié)構(gòu)性

初三一輪復(fù)習(xí)課其實(shí)很容易變成教師講解知識結(jié)構(gòu)而后進(jìn)行習(xí)題練習(xí)或者變式練習(xí)，學(xué)生在不斷講題和做題的過程中，慢慢感到枯燥，所以筆者認(rèn)為復(fù)習(xí)課要給學(xué)生時(shí)間去表達(dá)，有空間去思考.以幾何為例，我們研究了哪些圖形？我們是如何研究這些圖形的？學(xué)生在自主建構(gòu)的過程中，對方法一定會有感悟和提煉，學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)也在這個(gè)過程中不斷積累.

3.復(fù)習(xí)需體現(xiàn)設(shè)計(jì)的層次性

設(shè)計(jì)理念需有層次性.據(jù)筆者觀察，在中考中稍微復(fù)雜點(diǎn)的幾何問題往往都會在直角三角形中解決，因?yàn)橹苯侨切问浅踔须A段研究比較透徹的一個(gè)基本圖形，本設(shè)計(jì)立意高、起點(diǎn)低，給學(xué)生搭好了適合的臺階，學(xué)生是可以邁上臺階的，通過研究直角三角形在不同圖形中的運(yùn)用，關(guān)注到了每一個(gè)學(xué)生的成長和發(fā)展.

問題設(shè)計(jì)需有層次性.以一個(gè)最基本的問題為思維的出發(fā)點(diǎn)，不斷提問，層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生最終把問題解決，從思維的層次上也是從低階思維轉(zhuǎn)向高階思維，讓學(xué)生自己獨(dú)立思考，自主參與變式、歸納總結(jié)等，回歸一輪復(fù)習(xí)本原.

4.復(fù)習(xí)需注重“四基”夯實(shí)

章建躍教授說：理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué).其實(shí)就是對學(xué)科、學(xué)生、老師給出了恰當(dāng)?shù)慕ㄗh，學(xué)生經(jīng)歷了初中三年新知識不斷累積生長的過程，到了初三一輪復(fù)習(xí)時(shí)，教師就應(yīng)該嘗試作“簡法”，也就是大道至簡.

史寧中教授說：數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，是要讓學(xué)習(xí)者會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語言就是模型.如何夯實(shí)“四基”，將幾何問題化復(fù)雜為簡單呢？找準(zhǔn)基本圖形和知識的“生長點(diǎn)”是一種行之有效的辦法，從而深化學(xué)生對初中數(shù)學(xué)的感悟和理解.

總而言之，初三的一輪復(fù)習(xí)，筆者認(rèn)為應(yīng)力求做到：不搞花架子，基于學(xué)情，力求實(shí)效.