胡良平

(1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會(huì)聯(lián)合會(huì)臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)委員會(huì)，北京 100029

1 基本概念

1.1 多因素試驗(yàn)設(shè)計(jì)類型

在一項(xiàng)試驗(yàn)研究中，通常都會(huì)涉及多個(gè)試驗(yàn)因素，從每個(gè)因素中各取一個(gè)水平組合起來，就形成了一個(gè)特定的“試驗(yàn)條件”。在有多個(gè)試驗(yàn)因素的研究場合中，以不同的方式選取因素的水平組合，就對應(yīng)著不同的“試驗(yàn)設(shè)計(jì)類型”。例如，將所有試驗(yàn)因素的水平全面組合且在各種組合條件下進(jìn)行兩次或兩次以上獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，此安排就被稱為“析因設(shè)計(jì)”；又例如，依據(jù)正交原理從全部水平組合中選取部分水平組合來安排試驗(yàn)，就被稱為“正交設(shè)計(jì)”[1]。以此類推，還有“均勻設(shè)計(jì)”“最優(yōu)設(shè)計(jì)”和“正交組合設(shè)計(jì)”等[2-3]。

1.2 理想試驗(yàn)點(diǎn)

前面所說的每個(gè)試驗(yàn)條件常被稱為“試驗(yàn)點(diǎn)”，也就是說，每個(gè)“試驗(yàn)點(diǎn)”實(shí)際上就是由擬考察的試驗(yàn)因素各取一個(gè)水平的一種組合。若試驗(yàn)結(jié)果是定量的，在各試驗(yàn)點(diǎn)上實(shí)施試驗(yàn)后，就可以觀測到一個(gè)或多個(gè)具體的數(shù)值。在實(shí)際問題中，當(dāng)定量觀測結(jié)果的取值越大越好時(shí)，就稱此類定量指標(biāo)為“高優(yōu)指標(biāo)”；反之，就稱為“低優(yōu)指標(biāo)”。若定量指標(biāo)取中等值為優(yōu)，這種情況并不多見，不屬于本文討論的范疇。

所謂“理想試驗(yàn)點(diǎn)”，也被稱為“最優(yōu)試驗(yàn)條件”，是指“高優(yōu)指標(biāo)”或“低優(yōu)指標(biāo)”獲得最優(yōu)取值時(shí)所對應(yīng)的“試驗(yàn)點(diǎn)”或“試驗(yàn)條件”。

1.3 三種分析方法的異同點(diǎn)

本文涉及到三種統(tǒng)計(jì)分析方法：方差分析、回歸分析、結(jié)合分析。一般來說，方差分析的主要目的是考察各因素對定量指標(biāo)的影響，一方面希望能將全部因素及其交互作用對定量結(jié)果的影響分出主次關(guān)系，另一方面希望能揭示出每個(gè)因素各水平對定量結(jié)果影響之間的差異。回歸分析的主要目的是構(gòu)建因變量依賴自變量變化而變化的回歸模型，同時(shí)篩選出對因變量具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的自變量，有時(shí)，還需要在給定自變量取不同值的條件下，預(yù)測因變量的數(shù)值；而結(jié)合分析的主要目的是希望給出各因素對“偏好評分”影響大小的“重要性”的度量，同時(shí)希望給出每個(gè)屬性(或因素)的每個(gè)水平作用大小的“效用值”的度量。

從上面的介紹似乎可以認(rèn)為上述三種分析方法是完全不同的，事實(shí)上，它們都屬于回歸模型分析法。因?yàn)榉讲罘治瞿Ｐ捅举|(zhì)上就是一種簡單的回歸模型，而結(jié)合分析模型實(shí)際上是將屬性(或因素)的每個(gè)水平當(dāng)作一個(gè)“二值自變量”，并基于“效用值”可疊加的假定構(gòu)建出來的回歸模型[4]。

2 一個(gè)取自TRANSREG過程的樣例

2.1 樣例的名稱與內(nèi)容

在SAS/STAT的TRANSREG過程中有一個(gè)名為“BOX-COX變換”的樣例：在紡織研究中，紗線的壽命主要受三個(gè)試驗(yàn)因素的影響[5]。見表1。

表1 影響紗線壽命的三個(gè)主要試驗(yàn)因素及其水平

注：表中圓括號之前的數(shù)字為因素的“真實(shí)水平”，圓括號內(nèi)為因素的“代碼水平”

由表1可知，這是一個(gè)涉及三個(gè)3水平試驗(yàn)因素的試驗(yàn)研究，若將3個(gè)試驗(yàn)因素的水平全面組合，就有27種不同的試驗(yàn)條件，每個(gè)試驗(yàn)條件下的試驗(yàn)結(jié)果為紗線的壽命長短(單位不詳)，是一個(gè)計(jì)量變量。研究者在27種不同試驗(yàn)條件下都只進(jìn)行了一次試驗(yàn)，即沒有進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，其試驗(yàn)結(jié)果(用Fail表示)和27種水平組合見表2。

表2 三個(gè)3水平因素水平全面組合條件下紗線壽命數(shù)據(jù)

2.2 結(jié)果變量Fail的頻數(shù)分布

表2中結(jié)果變量Fail的頻數(shù)分布見圖1。由圖1可知，結(jié)果變量Fail呈極嚴(yán)重的正偏態(tài)分布。

圖1 結(jié)果變量Fail的頻數(shù)分布直方圖

2.3 需解決的問題及困難

上述樣例的專業(yè)問題實(shí)際上就是一個(gè)具有三因素析因設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的一元計(jì)量資料的統(tǒng)計(jì)處理問題。由于在因素各水平組合條件下未進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，所以，表2中的“安排”不能被稱為一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)的析因設(shè)計(jì)”，而只能叫做具有“析因結(jié)構(gòu)”。統(tǒng)計(jì)處理的困難在于：其一，結(jié)果變量偏離正態(tài)分布很遠(yuǎn)；其二，未進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，樣本含量嚴(yán)重不足，無法分析因素之間可能存在的交互作用效應(yīng)的大小。

2.4 統(tǒng)計(jì)分析的任務(wù)

一般來說，在多因素試驗(yàn)研究場合，當(dāng)結(jié)果變量為計(jì)量變量時(shí)，統(tǒng)計(jì)分析的任務(wù)是研究哪些因素對結(jié)果的影響是主要的、哪些是次要的；因素之間各級交互作用的效應(yīng)大??；有時(shí)，研究者還希望求出“理想試驗(yàn)點(diǎn)”，即在多個(gè)試驗(yàn)因素分別取什么樣的水平組合條件下，所得到的試驗(yàn)結(jié)果在專業(yè)上是最滿意的。就本例而言，在什么樣的試驗(yàn)條件下，紗線的壽命最長(它屬于“高優(yōu)指標(biāo)”)。

2.5 解決上述困難的策略

第一，可以對計(jì)量因變量采取BOX-COX變換，使其服從或近似服從正態(tài)分布[5-6]。第二，可以對定性自變量(即試驗(yàn)因素)采取變量擴(kuò)展變換，例如“CLASS變換”或“POINT變換”或“EPOINT變換”或“QPOINT變換”[5]。實(shí)際上，前述提及的那些“變量擴(kuò)展變換”類似于將定性變量數(shù)量化，也就是給定性變量的水平重新編碼，并引入交互作用項(xiàng)。第三，將原本屬于“方差分析的任務(wù)”改換為“回歸分析任務(wù)”，即構(gòu)建變換后的因變量關(guān)于變量擴(kuò)展變換產(chǎn)生的自變量的回歸模型。第四，借助“結(jié)合分析”[7-8]的思路和方法，獲得各試驗(yàn)因素對結(jié)果變量的“重要性”評價(jià)及試驗(yàn)因素各水平的“分值效用”大小，得出“理想試驗(yàn)點(diǎn)(即全部因素最佳的水平組合對應(yīng)的試驗(yàn)條件)”。

3 數(shù)據(jù)集的形成與上述策略的實(shí)現(xiàn)

3.1 數(shù)據(jù)集的形成

利用以下SAS程序，可以形成待分析的SAS數(shù)據(jù)集：

proc format；

value a -1=80 =9 1=10；

value l -1=250 0=300 1=350；

value o -1=40 0=45 1=50；

run；

data yarn；

input Fail Amplitude Length Load @@；

format amplitude a. length l. load o.；

label fail = 'Time in Cycles until Failure'；

datalines；

674-1-1-1370-1-10292-1-113380-1-12660-102100-111701-1-11181-10901-111414-10-11198-100634-101102200-162000043800144210-13321002201013636-11-13184-1102000-111156801-11070010566011114011-1884110360111

；

run；

3.2 顯示結(jié)果變量Fail的頻數(shù)分布

利用以下SAS程序，可以直方圖形式呈現(xiàn)結(jié)果變量Fail的頻數(shù)分布情況：

proc univariate data=yarn normal；

var fail；

histogram fail；

run；

以上程序運(yùn)行的結(jié)果如圖1所示。

3.3 對因變量和自變量進(jìn)行變量變換

對結(jié)果變量Fail進(jìn)行BOX-COX變換，同時(shí)，對定性自變量進(jìn)行QPOINT變量擴(kuò)展變換。所需要的SAS程序如下：

ods graphics on；

proc transreg details data=yarn ss2 utilities

plots=(transformation(dependent) obp)；

model BoxCox(fail / convenientlambda=-2 to 2 by 0.05) =

qpoint(length amplitude load)；

output out=aaa approximations；

run；

【SAS程序說明】“proc transreg”調(diào)用TRANSREG過程；“model語句”等號左邊為對因變量Fail進(jìn)行“BOX-COX變換”，此變換的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)叫做“l(fā)ambda”，經(jīng)過嘗試，需在(-2,2)范圍內(nèi)按步長為0.05去選擇具體的lambda值并代入計(jì)算，選擇使對數(shù)似然函數(shù)取最大值時(shí)的lambda值。當(dāng)此值帶有很多位小數(shù)時(shí)，盡可能取一個(gè)簡約的數(shù)值(即“convenient”的含義)?！皅point變量擴(kuò)展變換”是對三個(gè)定性變量進(jìn)行二次反應(yīng)面變換，即在三個(gè)定性變量的基礎(chǔ)上，增加它們的平方項(xiàng)和二次交叉乘積項(xiàng)。

3.4 顯示對因變量Fail進(jìn)行BOX-COX變換的結(jié)果

利用以下SAS程序，可以直方圖形式顯示對因變量Fail進(jìn)行BOX-COX變換的結(jié)果(注：tfail是對變量fail采用BOX-COX變量變換后的變量)。

proc univariate data=aaa normal；

var tfail；

histogram tfail/normal；

run；

以上SAS程序的輸出結(jié)果見圖2：

圖2 經(jīng)過BOX-COX變換后的結(jié)果變量tfail的頻數(shù)分布直方圖

對變換后的因變量tfail進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，所得結(jié)果如下：

Goodness-of-FitTestsforNormalDistribution檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量PKolmogorov-SmirnovD0.08312402Pr>D>0.150Cramer-vonMisesW-Sq0.02172925Pr>W-Sq>0.250Anderson-DarlingA-Sq0.13498929Pr>A-Sq>0.250

由圖2和以上關(guān)于正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果可知，經(jīng)過BOX-COX變換后的結(jié)果變量tfail服從正態(tài)分布。

3.5 上述“model語句”輸出的結(jié)果

上述“model語句”實(shí)際上創(chuàng)建了一個(gè)經(jīng)BOX-COX變換后的因變量tfail關(guān)于經(jīng)QPOINT變量擴(kuò)展變換后的三個(gè)定性自變量及其所有二次項(xiàng)的“二次反應(yīng)曲面回歸模型”。見圖3。

由圖3中倒數(shù)第2列可知，三個(gè)試驗(yàn)因素的主效應(yīng)項(xiàng)(即一次項(xiàng))都具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義；而由它們產(chǎn)生的所有二次項(xiàng)都沒有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

圖3 二次反應(yīng)曲面回歸模型的參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果

反映回歸模型對資料擬合效果的輸出結(jié)果如下：

RootMSE0.19383R-Square0.9725DependentMean6.33466AdjR-Sq0.9579CoeffVar3.05987Lambda0.0000

以上結(jié)果表明：模型對資料的擬合效果較好，R2=0.9725，校正的R2=0.9579。

3.6 尋求更簡約的回歸模型及結(jié)果

利用以下SAS程序，可以獲得更簡約的回歸模型。

proc transreg details data=yarn ss2 utilities

plots=(transformation(dependent) obp)；

model BoxCox(fail / convenientlambda=-2 to 2 by 0.05) =

class(length amplitude load/zero=sum)；output out=aaa approximations；

run；

簡約回歸模型的輸出結(jié)果見圖4。

圖4 僅含主效應(yīng)回歸模型的參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果

由圖4可知，三個(gè)試驗(yàn)因素都有3個(gè)水平，都以中間水平為“基準(zhǔn)”，除中間水平無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義外，其他均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

反映回歸模型對資料擬合效果的輸出結(jié)果如下：

RootMSE0.18942R-Square0.9691DependentMean6.33466AdjR-Sq0.9598CoeffVar2.99029Lambda0.0000

以上結(jié)果表明：模型對資料的擬合效果較好，R2=0.9691，校正的R2=0.9598。

與前面的結(jié)果相比，簡約回歸模型比復(fù)雜回歸模型的R2略低，但校正的R2反而略高。

關(guān)于各試驗(yàn)因素的“重要性”和“效用值”的輸出結(jié)果見圖5。由圖5第4列可知，三個(gè)試驗(yàn)因素的重要性分別為：紗線測試樣品的長度(A)占44.851%、負(fù)載循環(huán)時(shí)的振幅大小(B)占34.000%，負(fù)載量(C)占21.149%。由圖5第2列可知，“Utility”為各試驗(yàn)因素的各水平的“效用值”，當(dāng)結(jié)果變量屬于“高優(yōu)指標(biāo)”時(shí)，將各試驗(yàn)因素正的最大效用值對應(yīng)的“水平”組合在一起，就構(gòu)成了“理想試驗(yàn)點(diǎn)”。就本例而言，在理想試驗(yàn)點(diǎn)為“l(fā)ength 350”“Amplitude 8”和“Load 40”所構(gòu)成的試驗(yàn)條件下，即當(dāng)紗線長度取350 mm、振幅取8 mmd和負(fù)載量取40 g時(shí)，紗線壽命最長。

圖5 各試驗(yàn)因素的“重要性”及其各水平的“效用值”的輸出結(jié)果

4 討論與小結(jié)

在多因素試驗(yàn)研究中，要了解各因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響情況，特別是因素之間各級交互作用的效應(yīng)，最合適的試驗(yàn)設(shè)計(jì)類型為多因素析因設(shè)計(jì)。然而，多因素析因設(shè)計(jì)至少應(yīng)滿足兩個(gè)特點(diǎn)：第一，全部試驗(yàn)點(diǎn)應(yīng)該由所有試驗(yàn)因素水平的全面組合而成；第二，在各試驗(yàn)點(diǎn)條件下，至少要做兩次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。本文中的樣例滿足了前面提及的第一點(diǎn)，但不滿足第二點(diǎn)，嚴(yán)格來說，此樣例在試驗(yàn)設(shè)計(jì)上是存在瑕疵的。

通常的方差分析或多重回歸分析對資料都有很高的要求，例如正態(tài)性和方差齊性等。樣例中的因變量呈嚴(yán)重的正偏態(tài)分布，通過采用BOX-COX變換，使其偏斜情況得到了很好的校正。將結(jié)合分析與回歸分析有機(jī)地結(jié)合在一起，不僅可以獲得各試驗(yàn)因素對試驗(yàn)結(jié)果影響情況的分析結(jié)果，還能獲得關(guān)于各試驗(yàn)因素重要性的評價(jià)以及確定出理想的試驗(yàn)點(diǎn)。

SAS中的TRANSREG過程具有很強(qiáng)且多樣性的變量變換能力，它集方差分析、回歸分析和結(jié)合分析于一體，能夠很好地處理不符合傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)要求的復(fù)雜資料，獲得滿意的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果。