謝鳳艷

[摘 要]Jordan標(biāo)準(zhǔn)形反映了矩陣的本質(zhì)性質(zhì)并且是形式最為簡(jiǎn)單的方陣. 結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，從教學(xué)過(guò)程中強(qiáng)化Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是對(duì)角矩陣的推廣和延伸，通過(guò)典型例題講解，融入Matlab軟件，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用四個(gè)方面對(duì)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的教學(xué)進(jìn)行探討，旨在加深學(xué)生對(duì)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的認(rèn)識(shí).

[關(guān)鍵詞]方陣;Jordan塊;Jordan標(biāo)準(zhǔn)形;Matlab Square matrix;Jordan block

[中圖分類號(hào)] G642.0 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2019）08-0108-03

高等代數(shù)是學(xué)習(xí)更一般的代數(shù)系統(tǒng)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它涉及的內(nèi)容對(duì)近代科學(xué)技術(shù)和數(shù)學(xué)的任何其它分支非常有用. 矩陣是解決高等代數(shù)問(wèn)題的一個(gè)非常有力的工具.它在計(jì)算機(jī)三維動(dòng)畫制作、電路圖、交通流、統(tǒng)計(jì)分析、數(shù)值分析等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用.Jordan標(biāo)準(zhǔn)形反映了矩陣的本質(zhì)性質(zhì)并且是形式最為簡(jiǎn)單的方陣.在全國(guó)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試中，華中師范大學(xué)、華東師范大學(xué)、陜西師范大學(xué)、廈門大學(xué)、鄭州大學(xué)等大學(xué)多次都涉及到對(duì)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的考查. 然而隨著高等學(xué)校各個(gè)專業(yè)基礎(chǔ)理論課時(shí)的減少，數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課時(shí)也大為縮減.很多高校數(shù)學(xué)專業(yè)高等代數(shù)課時(shí)由以前的周課時(shí)六減為周課時(shí)四. 不少高校的數(shù)學(xué)專業(yè)把高等代數(shù)中“[λ]-矩陣”、“雙線性函數(shù)”等相關(guān)內(nèi)容作為選修內(nèi)容，不再作為考試大綱進(jìn)行課堂講解. 而很多高等代數(shù)教材對(duì)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形尤其對(duì)如何找一個(gè)可逆矩陣，將一方陣化成Jordan標(biāo)準(zhǔn)形缺乏系統(tǒng)討論.由于Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的重要性并且學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)自學(xué)起來(lái)比較吃力，因此教師應(yīng)盡可能的抽出時(shí)間對(duì)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形相關(guān)知識(shí)進(jìn)行講解。為了深化學(xué)生對(duì)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的認(rèn)識(shí)，本文結(jié)合多年來(lái)教育教學(xué)實(shí)踐從以下四個(gè)方面對(duì)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形進(jìn)行教學(xué)探討.

一、教學(xué)過(guò)程中強(qiáng)化Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是對(duì)角化的推廣和延伸

設(shè)[A]為[n]級(jí)方陣. 是否存在一個(gè)形式較為簡(jiǎn)單的矩陣[B]使得矩陣[A]與矩陣[B]有很多相似的性質(zhì)，比如相同行列式的值，相同的秩，特征值相等.我們知道，如果矩陣[A]有[n]個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，那么矩陣[A]與一個(gè)對(duì)角矩陣[B]相似，并且[B]對(duì)角線上的元素為矩陣[A]的[n]個(gè)特征值， 重根按重?cái)?shù)計(jì)算[[1]].然而可對(duì)角化的矩陣畢竟是少數(shù)的，于是Jordan矩陣誕生了.對(duì)于任意[n]級(jí)方陣都與一個(gè)Jordan矩陣是相似的[[1]]. 而對(duì)角矩陣是Jordan矩陣的特殊情況，即若當(dāng)塊為一階時(shí)的Jordan矩陣. Jordan矩陣是“幾乎”對(duì)角化矩陣.

當(dāng)[A]可對(duì)角化時(shí)，設(shè)[P=（p1，p2，...，pn）]使得[P-1AP=Λ=diag（λ1，λ2，...，λn）].則[Api=λipi]且[（λiE-A）pi=0].即[pi]為[A]的屬于特征值[λi]的特征向量.

當(dāng)[A]不可對(duì)角化時(shí)，設(shè)[P=（p1，p2，...，pn）]使得[P-1AP=J].不妨設(shè)[J]為[n]級(jí)若當(dāng)塊，即

[J=λ1λ1?1λ].

則[Ap1=λp1]，[Api=λpi+pi-1]（[i=2，3，...，n]）且 [（λE-A）i-1pi-1=0].稱[pi]為[A]的屬于特征值[λ]的廣義特征向量[[2]].

Jordan標(biāo)準(zhǔn)形教學(xué)過(guò)程中要復(fù)習(xí)鞏固矩陣對(duì)角化的相關(guān)知識(shí)，并強(qiáng)化Jordan矩陣是對(duì)角矩陣的推廣，Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是對(duì)角化的延伸及完善.教學(xué)過(guò)程中教師要按照循序漸進(jìn)、螺旋上升的教學(xué)原則，在教學(xué)過(guò)程中注重新舊知識(shí)的銜接，以便學(xué)生克服陌生恐懼的心理. Jordan標(biāo)準(zhǔn)形教學(xué)過(guò)程中復(fù)習(xí)鞏固矩陣對(duì)角化的相關(guān)知識(shí)，看似比單純講解Jordan標(biāo)準(zhǔn)形多花了時(shí)間，但卻能起到事半功倍的效果，不僅有利于學(xué)生對(duì)新知識(shí)點(diǎn)的掌握，而且能夠使學(xué)生做到知識(shí)點(diǎn)的融會(huì)貫通.

二、 教學(xué)過(guò)程中通過(guò)典型例題講解，加深學(xué)生對(duì)抽象理論知識(shí)的認(rèn)識(shí)

抽象性是高等代數(shù)一個(gè)重要特點(diǎn)[[3]].通過(guò)數(shù)學(xué)例題講解可以有助于學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，深化和鞏固學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本概念和主要定理的認(rèn)識(shí). Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中涉及到行列式計(jì)算、線性方程組求解、矩陣運(yùn)算等相關(guān)知識(shí)，而教材太過(guò)于偏重理論知識(shí)講解，選用例題較少.學(xué)生學(xué)習(xí)這部分知識(shí)頗感吃力.因此在Jordan標(biāo)準(zhǔn)形教學(xué)的過(guò)程中要精選例題并加強(qiáng)對(duì)例題的講解.

（一） 可對(duì)角化矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)化的實(shí)例

例1 設(shè)矩陣[A=122212221]，求可逆矩陣[P]使得[P-1AP=J]為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.

解 由[φA（λ）=|λE-A|=λ-1-2-2-2λ-1-2-2-2λ-1=（λ+1）2（λ-5）]，得[A]的特征值為-1、5.

解齊次線性方程組[（-E-A）x=0]得到對(duì)應(yīng)-1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量：

[p1=（1，0，-1）T，p2=（0，1，-1）T]

解齊次線性方程組[（5E-A）x=0]得到對(duì)應(yīng)5的一個(gè)特征向量：

[p3=（1，1，1）T]

令[P=（p1，p2，p3）]，則[P-1AP=J=-1-15].

注：例1可以提前以作業(yè)形式布置下來(lái)，讓學(xué)生課后自己完成。課堂上用多媒體課件展示出來(lái)即可.

（二）一般方陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)化的實(shí)例

例2設(shè)矩陣[A=-1-26-103-1-14]，求可逆矩陣[P]使得[P-1AP=J]為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.

解 由[φA（λ）=|λE-A|=λ+12-61λ-311λ-4=（λ-1）3，] 得[A]的特征值為1.

因?yàn)閇r（E-A）=1]，所以齊次線性方程組[（E-A）x=0]的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含2個(gè)向量.即[Ker（E-A）=2].同理可得[Ker（E-A）2=3].

設(shè)[Ker（E-A）]的一組基[{p1，p2}]并把它擴(kuò)充為[Ker（E-A）2]的一組基[{p1，p2，p3}]并且滿足[Ap1=p1，Ap2=p2]，[Ap3=p3+p2].則

[A（p1，p2，p3）=（p1，p2，p3）1111]，

于是得到[A]的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形[J=1111]

下面求解[p1，p2，p3].解齊次線性方程組[（E-A）x=0]得到對(duì)應(yīng)特征值1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量：

[x1=（1，-1，0）T，x2=（3，0，1）T]

令[p1=x1]，[p2=c1x1+c2x2]（其中常數(shù)[c1，c2]的選取使得[p1，p2]線性無(wú)關(guān)），則[Ap1=p1，Ap2=p2]+[p1].為了使得[Ap3=p3+p2]有解.可得[c1=-c2].令[c1=-c2=-1]

得到非齊次線性方程組[Ax3=x3+p2]的一個(gè)特解：[p3=（1，0，0）T]

從而[P=（p1，p2，p3）=121-1-10010]，

且[P-1AP=][J=1111].

通過(guò)例1學(xué)生已經(jīng)熟練掌握特征值、特征向量及可逆矩陣[P]求解，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行例2的講解.由學(xué)生已知對(duì)角化的過(guò)程及[λE-A]核的求解， 逐步推導(dǎo)出矩陣[A]的Jordan矩陣以及求解可逆矩陣[P]使得[P-1AP=J]為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法.以啟發(fā)式、引導(dǎo)式原則講解例2，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地思考做題的方法，這樣不僅使學(xué)生對(duì)所學(xué)到的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，而且加深了對(duì)“每個(gè)[n]級(jí)復(fù)數(shù)矩陣都與一個(gè)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是相似的”等教材相關(guān)結(jié)論證明的理解.

對(duì)于任意一個(gè)不可以對(duì)角化的方陣[A]來(lái)說(shuō)，[A]的Jordan矩陣[J]中對(duì)應(yīng)某個(gè)特征值[λi]的若當(dāng)塊[J（λi）]的階數(shù)可以通過(guò)下列方法求解.

計(jì)算

[r1（λi）=r（λiE-A），r2（λi）=r（λiE-A）2，...，rk（λi）=]

[r（λiE-A）k]

直到[λiE-A]某個(gè)[k]方冪的秩不再變化，這個(gè)[k]就是[λi]的最大子塊階數(shù).設(shè)[rt（λi）=rk（λi）（t≥k）]，階數(shù)為[l]的子塊個(gè)數(shù)為[bl（λi）].則

[bl（λi）=n-2r1（λi）+r2（λi） ? ? ? ? ? ? l=1rj+1（λi）-2rj（λi）+rj-1（λi） ? ? ?l=2，3，...，k.]

例2中求解Jordan矩陣和廣義特征向量方法比較簡(jiǎn)單，但當(dāng)一個(gè)方陣[A]的階數(shù)較高且[A]的某個(gè)特征值的重?cái)?shù)較大時(shí)，用此方法求解廣義特征向量從而確定Jordan塊的階數(shù)就不太容易了.這就要尋找別的方法. 求解Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法有很多，比如參考文獻(xiàn)[4-7]，教師可以從中選擇一種或者多種方法課堂中進(jìn)行講解，從而加深學(xué)生對(duì)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的認(rèn)識(shí).

三、 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形教學(xué)過(guò)程中融入Matlab軟件

信息技術(shù)是當(dāng)下高校教育教學(xué)必不可少的輔助力量。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展， 將常用的數(shù)學(xué)軟件融入到高等代數(shù)教學(xué)中已成為一種趨勢(shì)[[8]].

Matlab是matrix和laboratory兩個(gè)詞的組合， 意為矩陣實(shí)驗(yàn)室.它是一款由美國(guó)The mathworks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件. MATLAB是一種用于算法開(kāi)發(fā)，數(shù)據(jù)可視化，數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境.Matlab軟件強(qiáng)大的計(jì)算功能使得Jordan標(biāo)準(zhǔn)化輕而易舉. 比如求一可逆矩陣[P]使得例2中的矩陣[A]滿足[P-1AP=J]為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 在Matlab窗口中輸人：

>>A=[-1 -2 6;-1 0 3;-1 -1 4];%輸入矩陣A

>>[P，J]=Jordan（A） %求可逆矩陣P使得P-1AP為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.

執(zhí)行命令，出來(lái)結(jié)果：

注：Jordan矩陣[J]除了Jordan塊的排列次序外和例2求解的Jordan矩陣一樣. 因?yàn)辇R次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系中的向量不唯一，所以可逆矩陣[P]的選取不唯一.

通過(guò)系統(tǒng)學(xué)習(xí)及一系列的練習(xí)， 絕大多數(shù)學(xué)生能夠?qū)ordan標(biāo)準(zhǔn)形求解方法熟練掌握，但由于Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中涉及行列式求解、方程組求解、矩陣運(yùn)算等相關(guān)知識(shí)，其計(jì)算量非常大，稍不留神就會(huì)出錯(cuò)， Matlab軟件簡(jiǎn)單容易操作.利用Matlab軟件使得矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)化變得輕而易舉，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，獲得更好的教學(xué)效果. 信息化時(shí)代，作為高校教師，應(yīng)該與時(shí)俱進(jìn)，適當(dāng)改革傳統(tǒng)教學(xué)方法將數(shù)學(xué)軟件引入教學(xué)，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)代性，但值得注意的是高等代數(shù)作為數(shù)學(xué)專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，Matlab在其教學(xué)中只能作為輔助教學(xué)軟件，且不可取代教材知識(shí)，成為主要教學(xué)工具.

四、 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形教學(xué)過(guò)程中強(qiáng)調(diào)應(yīng)用

學(xué)以致用是教學(xué)的最終目的.隨著科技的發(fā)展，矩陣的應(yīng)用已經(jīng)在計(jì)算機(jī)三維動(dòng)畫制作、電路圖、交通流、統(tǒng)計(jì)分析、數(shù)值分析、微分方程等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用。矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展極大地推動(dòng)和豐富了其他眾多學(xué)科的發(fā)展. Jordan標(biāo)準(zhǔn)形反映了矩陣的本質(zhì)性質(zhì)并且是形式最為簡(jiǎn)單的方陣.因此Jordan標(biāo)準(zhǔn)形教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)指出Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的一些應(yīng)用，比如：求一個(gè)方陣的[k]次冪[[7]]、求解常系數(shù)線性微分方程組[[8]]以及對(duì)方陣特征值考查[[9]]. 此外借助Matlab軟件，讓學(xué)生解決一些現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，比如系統(tǒng)狀態(tài)方程[[10]]等.教師可以簡(jiǎn)單羅列一些應(yīng)用，然后通過(guò)布置作業(yè)，分任務(wù)的形式讓學(xué)生分組收集整理相關(guān)的一些應(yīng)用.這樣不僅進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)而且提高了學(xué)生的參與度，還能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

五、結(jié)語(yǔ)

Jordan標(biāo)準(zhǔn)形定理在高等代數(shù)中有著非常重要的地位。近年來(lái)，多種考試中對(duì)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的考查也是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。鑒于目前高等代數(shù)教學(xué)的現(xiàn)狀，本文結(jié)合數(shù)學(xué)專業(yè)本科生教學(xué)實(shí)踐從Jordan標(biāo)準(zhǔn)形教學(xué)過(guò)程中四個(gè)方面：即強(qiáng)化Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是對(duì)角矩陣的推廣和延伸，典型例題講解，融入Matlab軟件，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用對(duì)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的教學(xué)進(jìn)行探討，從學(xué)生熟知的對(duì)角化問(wèn)題著手，引入Jordan矩陣，采用啟發(fā)式、引導(dǎo)式原則展示出Jordan標(biāo)準(zhǔn)形相關(guān)知識(shí)，旨在加深學(xué)生對(duì)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的認(rèn)識(shí)，為高等代數(shù)的教學(xué)提供一些參考價(jià)值.

[參考文獻(xiàn)]

[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社， 2013：342-348.

[2] Bru R， Rodman L， Schneider H. Extensions of Jordan bases for invariant subspaces of a matrix[J].Linear A1gebra App1.1991，150：209-225.

[3] 劉崢嶸. 關(guān)于《高等代數(shù)》習(xí)題課教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)[J].南昌教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（2）：51-52.

[4] 李尚志.若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2006（5）：1-10.

[5] 易福俠，王金林.矩陣若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)化的一種新方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2009（3）：164-167.

[6] 張長(zhǎng)記，江建民.用初等變換法求矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形[J].河池學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（5）：51-53.

[7] 馮福存.矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及其應(yīng)用[J].綿陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016（5）：11-15.

[8] 興友，黃始穎，劉畔畔，高靜.MATLAB軟件在高等代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用初探[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（23）：10.

[9] 張姍梅，劉耀軍.矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用[J].忻州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016（2）：8-12.

[10] 高芳征，常瑾瑾.矩陣若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的標(biāo)注[J].安陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（2）：12-14.

[責(zé)任編輯：林志恒]