林開亮

奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽，簡(jiǎn)稱“奧數(shù)”，是全世界非常熱門的一項(xiàng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽。有人認(rèn)為它是升學(xué)的法寶，但也有人認(rèn)為它比“黃、賭、毒”還厲害，不同的人站在不同的角度、不同的立場(chǎng)，懷著不同的目的，對(duì)它的認(rèn)知自然不同。如果過濾各種名利，還原其本質(zhì)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽其實(shí)是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)人才的有效手段之一。

發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)人才

舉辦數(shù)學(xué)競(jìng)賽的初衷是選拔出一些有數(shù)學(xué)特長(zhǎng)的學(xué)生，即“數(shù)學(xué)家苗子”。從數(shù)學(xué)競(jìng)賽脫穎而出的高中生，往往會(huì)被知名高校的數(shù)學(xué)系（或其他系）提前錄取，就是因?yàn)樗麄兪恰皵?shù)學(xué)家苗子”。所以從本質(zhì)上講，頂級(jí)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽其實(shí)是為這群最有數(shù)學(xué)天分的學(xué)生準(zhǔn)備的?？梢韵胍?，這類天分極高的學(xué)生也很少。所謂天分，著重在其領(lǐng)悟力、洞察力。而這很難通過后天的訓(xùn)練培養(yǎng)，所以如果你發(fā)現(xiàn)你天分并不是很高（有天分的一個(gè)標(biāo)志是，你常常能超過一些優(yōu)秀的老師而不僅僅是同學(xué)），那么你就不要對(duì)自己在競(jìng)賽方面期望過高。

就拿我來說吧，2001年我在全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中獲得了一等獎(jiǎng)，這堅(jiān)定了我繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的決心，后來我參加高考，被天津大學(xué)數(shù)學(xué)系錄取。因?yàn)楦?jìng)賽獲過獎(jiǎng)，所以老師和同學(xué)也一直對(duì)我另眼相待。但另一方面，我也要說，在大學(xué)階段，數(shù)學(xué)競(jìng)賽曾一度限制了我的視野，使我只見樹木（競(jìng)賽題）不見森林（知識(shí)的海洋），繼續(xù)沉迷于思考高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽難題而難以自拔，以至于我一度對(duì)數(shù)學(xué)失去信心，幸而后來在圖書館讀到幾本有趣的數(shù)學(xué)書，終于把我拯救出來。

學(xué)會(huì)了分享與交流

數(shù)學(xué)競(jìng)賽是一項(xiàng)競(jìng)技活動(dòng)，很可能學(xué)生在平常就會(huì)將身邊的同學(xué)視為競(jìng)技場(chǎng)上的對(duì)手，而保留自己的“獨(dú)門絕技”。但其實(shí)，真正要在數(shù)學(xué)上有所成就，就必須要跟師長(zhǎng)、朋輩多多切磋交流。

生于1981年的青年數(shù)學(xué)家許晨陽(yáng)（現(xiàn)在美國(guó)麻省理工學(xué)院任數(shù)學(xué)教授）曾在訪談中說道：“數(shù)學(xué)競(jìng)賽對(duì)我最大的幫助，就是通過這個(gè)途徑認(rèn)識(shí)了很多和我志趣相投的人。在對(duì)科學(xué)、對(duì)世界的好奇心的驅(qū)使下，大家互相討論、互相激發(fā)、共同進(jìn)步，數(shù)學(xué)競(jìng)賽對(duì)于建立這樣一個(gè)年輕人的組織來說幫助非常大。”他本人在1999年進(jìn)入奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽國(guó)家隊(duì)，并結(jié)識(shí)了許多志趣相投的人，后來這一群人都被保送到了北大數(shù)學(xué)系。許晨陽(yáng)特別提到：“數(shù)學(xué)競(jìng)賽作為一種社會(huì)組織教育模式，最積極的一點(diǎn)是讓很多對(duì)數(shù)學(xué)有興趣的、志趣相投的孩子，很早地共同處于一個(gè)團(tuán)體之中，相互影響，產(chǎn)生良性競(jìng)爭(zhēng)?！?p>

簡(jiǎn)單地說，與只看重結(jié)果的競(jìng)賽不同，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與理解，更注重分享交流的過程。也許正是因?yàn)橛行母?jìng)賽中脫穎而出的“數(shù)學(xué)家苗子”沒有像許晨陽(yáng)一樣認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，所以最終未能走上職業(yè)數(shù)學(xué)家的道路。我本人就是很晚才認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，從而錯(cuò)失了許多與優(yōu)秀的老師與同學(xué)切磋交流的機(jī)會(huì)。希望各位對(duì)數(shù)學(xué)有志趣的讀者，能及早認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)：數(shù)學(xué)競(jìng)賽本身存在著激烈競(jìng)爭(zhēng)，但對(duì)數(shù)學(xué)的追求和熱愛其實(shí)是要分享交流才會(huì)有更大的收獲。獎(jiǎng)牌與證書只是一個(gè)象征，而數(shù)學(xué)的天地遠(yuǎn)比一塊獎(jiǎng)牌或一張證書廣闊得多。

延伸閱讀：

競(jìng)賽培訓(xùn)是好還是壞？

現(xiàn)如今，由于競(jìng)賽獲獎(jiǎng)可以在升學(xué)中加分，因此包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的各種學(xué)科競(jìng)賽的培訓(xùn)非常熱門。這些培訓(xùn)，對(duì)一般人在數(shù)學(xué)方面的成長(zhǎng)，究竟有無幫助呢？不能一概而論。

參加競(jìng)賽培訓(xùn)既要看自身的興趣與能力，也要看培訓(xùn)老師的水平與眼界。如果自身對(duì)數(shù)學(xué)有興趣又有能力（普通的能力是可以通過訓(xùn)練培養(yǎng)的），想在課外鉆研更深入的內(nèi)容，有人適當(dāng)引導(dǎo)是好的;但如果自身本就對(duì)數(shù)學(xué)缺乏興趣，可能就不適合競(jìng)賽培訓(xùn)了。另外，培訓(xùn)過程中對(duì)培訓(xùn)老師的要求反而更高?，F(xiàn)在大多數(shù)培訓(xùn)的模式是讓學(xué)生做題目，但給學(xué)生準(zhǔn)備適當(dāng)難度的題目很需要眼光，給學(xué)生講清楚對(duì)一個(gè)題目的分析與解答，也要求老師有很深的數(shù)學(xué)功力與語言表達(dá)能力。更難得的是培訓(xùn)老師對(duì)學(xué)生的點(diǎn)撥與啟發(fā)，是否能教學(xué)生舉一反三、啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生展開類比、聯(lián)想與推廣—高明的老師不僅能引導(dǎo)你如何解決問題，還能引導(dǎo)你如何提出問題。

啟發(fā)、引導(dǎo)思維

現(xiàn)如今，普通的數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)模式有待改進(jìn)。我所了解的數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)，往往是老師講得多，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生比較少，這種灌輸式的教學(xué)，對(duì)于解題訓(xùn)練、提高數(shù)學(xué)思維來說，可能效果不好。我建議，每個(gè)老師和學(xué)生，都向匈牙利的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞（Polya）認(rèn)真學(xué)習(xí)，他的《怎樣解題》可謂訓(xùn)練解題、提升思維的一本圣經(jīng)指南。下面我試圖按照波利亞的精神，舉一個(gè)例子來說明，如何啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生的思維。

這是2017年第23屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽（小學(xué)高年級(jí)組）初賽試題的第5道選擇題（一共6道選擇題和4道填空題，每個(gè)題目10分，限一個(gè)小時(shí)完成。建議小學(xué)高年級(jí)的讀者先用5分鐘測(cè)試一下自己能否做出來）：

從1～20 這20個(gè)整數(shù)中任意選取11個(gè)，其中一定有兩個(gè)數(shù)的和等于（? ）

A.? 19??? B.? 20??? C.? 21?? D.? 22

怎么解決這個(gè)問題？作為選擇題，你如果有數(shù)感，很多時(shí)候直覺會(huì)指引你一個(gè)最有可能的答案，本題就是如此。你可以先猜一下，然后再想一想這個(gè)猜測(cè)是否合理。我相信許多有數(shù)感的人都會(huì)傾向于21這個(gè)選項(xiàng)，原因在于你可以看到，有很多對(duì)數(shù)字加起來都等于21：1+20=2+19=3+18=4+17=5+16=6+15=7+14=8+13=9+12=10+11=21。這就是說，21作為兩數(shù)之和出現(xiàn)的可能性非常大，這就引出你的判斷。如果說考場(chǎng)上時(shí)間非常緊，你可以考慮直接選C，如果你有時(shí)間來進(jìn)一步驗(yàn)證，那也是很容易的。比如你選取前11個(gè)數(shù)，從1到11，那么你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這其中允許出現(xiàn)19=10+9，20=11+9，21=10+11，但絕對(duì)沒有22，所以D選項(xiàng)被排除。為了排除A和B，你再選取后11個(gè)數(shù)，從10到20，那么你會(huì)很容易發(fā)現(xiàn)，這11個(gè)數(shù)任取兩個(gè)數(shù)，其和至少是10+11=21，這就排除了19和20，即A選項(xiàng)和B選項(xiàng)。根據(jù)排除法，只能選C了。在考場(chǎng)上，這就足以確定答案了（上述過程也許兩分鐘就夠了）。

但如果放在平時(shí)的訓(xùn)練中，學(xué)生尤其是老師不應(yīng)滿足于此，應(yīng)該進(jìn)一步想想其中的道理何在。為什么一定有兩個(gè)數(shù)之和等于21呢？可以這樣設(shè)想：究竟什么樣的兩個(gè)數(shù)之和可以是21？很明顯，這樣的兩個(gè)數(shù)一定是以下十對(duì)之一：1和20，2和19，3和18，4和17，5和16，6和15，7和14，8和13，9和12，10和11?，F(xiàn)在就很清楚了，你可以設(shè)想以上十對(duì)數(shù)每一對(duì)的兩個(gè)數(shù)綁在一起（就像拉著手的兩個(gè)人），現(xiàn)在我們要從全部的20個(gè)數(shù)中選出11個(gè)數(shù)，那必定就有兩個(gè)數(shù)是捆在一起的，自然這個(gè)捆在一起的數(shù)相加就是21。如果再聯(lián)想類比，我們可以進(jìn)一步抽象成下面的直觀結(jié)果：從10對(duì)夫妻中任意選取11個(gè)人，那么一定有一對(duì)夫妻（這個(gè)抽象其實(shí)只需要少許想象力）。其推理本質(zhì)跟前面是一樣的。顯然，這結(jié)果可以進(jìn)一步推廣：設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，從n對(duì)夫妻中任意選取n+1個(gè)人，必定有一對(duì)夫妻。如果再還原成數(shù)的結(jié)果，就是：設(shè)n是正整數(shù)，從1～2n這2n個(gè)整數(shù)中任意選取n+1個(gè)，其中一定有兩個(gè)數(shù)的和等于2n+1。到這里，這個(gè)題目才算是得到了圓滿的理解。我希望，許多讀者也從我對(duì)這個(gè)題目的抽象升華中體會(huì)到數(shù)學(xué)思維之美與威力，這也應(yīng)該是許多老師應(yīng)該分享給學(xué)生的。

對(duì)任何數(shù)學(xué)問題，都應(yīng)努力追求最本質(zhì)的理解，要達(dá)到這一點(diǎn)，就要找到問題的關(guān)鍵點(diǎn)（相信上題的關(guān)鍵點(diǎn)你已清楚），一旦找到了關(guān)鍵點(diǎn)，問題就不是問題了，而是變成一個(gè)簡(jiǎn)單的事實(shí)（也就是我們上面所追尋的道理）。我認(rèn)為，在競(jìng)賽培訓(xùn)中最重要的，并不是告訴學(xué)生每一個(gè)題目背后的事實(shí)與道理，而是要逐步引導(dǎo)學(xué)生通過一步步由淺入深的分析推理，找到問題的關(guān)鍵所在。簡(jiǎn)單說，老師要教給學(xué)生的，不能僅僅是知識(shí)，還有更重要的方法—分析問題、解決問題的方法。在這個(gè)過程中，需要老師積極調(diào)動(dòng)學(xué)生思考，唯有如此，學(xué)生才能從中真正受益。當(dāng)然，從這個(gè)角度上講，如果學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有熱情，樂于思考問題，那么一個(gè)普通老師對(duì)他的幫助可能不會(huì)很明顯，天分越高的學(xué)生對(duì)老師的要求也越高。如果你感覺自己很有天分，那么你需要盡量找一個(gè)高水平的老師來帶你上路。

（責(zé)任編輯/岳萌? 美術(shù)編輯/胡美巖）