孫玉東, 田景仁， 陳 瑛

(貴州民族大學(xué)商學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

0 引 言

CIR利率模型是利率期限結(jié)構(gòu)中的重要模型之一。在傳統(tǒng)的CIR模型中，隨機因素由標準Brown運動刻畫[1～3]。近些年來的實證分析表明，金融市場的噪聲具備尖峰后尾特性和長程依賴性[4～5]，與之相反，標準Brown運動的增量遵循正態(tài)分布，且不同時刻上的增量具備獨立性，這顯然與事實不符。用標準Brown運動構(gòu)造的CIR利率模型進行金融實踐可能產(chǎn)生災(zāi)難性后果。自相似性和長程依賴性使得分數(shù)Brown運動更加適合構(gòu)造數(shù)量金融模型。有關(guān)分數(shù)Brown運動的金融計量結(jié)果已有文獻。

近些年來，受某些突發(fā)事件的影響，金融風(fēng)險資產(chǎn)的變化常常呈現(xiàn)一種不連續(xù)的變動。金融家們也嘗試將Poisson過程或者其它Levy過程引入金融計量模型[6～7]。文獻[8～9]針對條擴散金融資產(chǎn)模型，提供了一種Euler網(wǎng)格劃分方法，并在此基礎(chǔ)之上采用Monte-Carlo方法研究了期權(quán)定價問題。

基于以上分析，在分數(shù)跳擴散環(huán)境下研究了CIR匯率模型的網(wǎng)格差分以及差分的有界性和收斂性問題。

1 CIR利率模型的網(wǎng)格差分

假定CIR模型{v(t),t≥0}滿足

(1)

其中初值條件已知,

v(t)=v0

(2)

(3)

有關(guān)跳擴散環(huán)境下的分數(shù)Heston風(fēng)險資產(chǎn)模型的存在性和唯一性的相關(guān)結(jié)果見文獻[4]，這里論述其解的Lp有界性和連續(xù)性。

引理1.1[4]分數(shù)跳擴散環(huán)境下，CIR風(fēng)險資產(chǎn)模型存在唯一解，且存在正常數(shù)C1=C1(λ2,p,σ1,σ2,θ,κ,H,v(0),T)，使得

(4)

引理1.2[4]CIR匯率過程{v(t),t≥0}關(guān)于t右側(cè)連續(xù)左側(cè)存在極限。

接下來將CIR利率模型(1)-(2)進行網(wǎng)格劃分，對時間區(qū)間[0,T]進行N等距劃分

Δt=T/N,tn=nΔt,n=0,1,2,…,N

(5)

為了方便論述，用{Sn}和{vn}分別表示{S(t)}和{v(t)}在時間點tn處的數(shù)值解?？疾霤IR利率模型(1)的積分形式

(6)

取積分區(qū)間[t,t+Δt]左側(cè)端點進行近似，可以得到

(7)

(8)

(9)

將公式(7)-(9)代入公式(6)，則CIR利率模型(1)的隨機差分格式滿足

(10)

k=1,2,…,N，v0=v(0)。

定理1.3對任意的p≥0和T>0，

(11)

證明用En表示關(guān)于σ代數(shù)Fn的條件期望，F(xiàn)n=Ftn，對公式(2)利用公式Ito公式

dv(t)p=pv(t)p-1dv(t)+p(p-1)v(t)p-1d[v,v](t)=

pv(t)p-1κ(θ-v(t))dt+σ1pv(t)p-1

p(p-1)v(t)p-1d[v,v](t)

(12)

注意由文獻[4～6]可以知道

(13)

(14)

(15)

從而聯(lián)立公式(12)-(15)，可以得到

(16)

再利用Young不等式

(17)

將公式(17)代入公式(16)，并限制0<Δt1，注意H≥0.5，可得Δt2HΔt，從而

E[|v(tk+1)p|]

(18)

其中

進一步從k=0逐次遞推，可以得到

E[|v(tk+1)p|]

注意kΔtT，利用 Gronwall不等式，有

En|vn+1|p(|X0|p+KT)exp(KT)

2 收斂性分析

考察差分格式(10)的連續(xù)時間逼近，定義V(t)=vk,t∈[tk,tk+1)，再定義

(19)

同時公式(19)也可以被寫為下面的形式

t∈[tk,tk+1)

(20)

(21)

從而有如下有關(guān)差分格式收斂性的結(jié)果。

定理2.1差分格式(10)收斂，即對任意的節(jié)點tk，有

(22)

證明依據(jù)公式(21)，只需證明

(23)

定義停時

inf{t≥0:|v(t)|≥R}，θ:=min{τR,ρR}

(24)

E[|e(t)|2]=E[|e(t)|2I{τR>T,ρR>T}]+

E[|e(t)|2I{τRT or ρRT}]

(25)

P(τR

(26)

類推公式(25)的證明，有P(ρRT)故

P(τRTorρRT)P(τRT)+P(ρRT)

(27)

利用公式(a+b)n2n-1(an+bn)，從而利用t∈[0,T]，

E[|e(t)|p]2p-1E[|X(t)|p+|X(t)|p]

2p-1(C1+C2)

(28)

將公式(26)和公式(27)代入公式(24)，有

E[|e(t)|2]

(29)

從而利用不等式(a+b+c+v)n2n-1(|a|n+|b|n+|c|n+|d|n)，可以得到

(30)

根據(jù)Ito等距公式，

(31)

類推公式(30)的證明，可以得到

(32)

(33)

將公式(30)-(32)代入公式(29)，有

(34)

(35)

利用不等式(a+b+c+v)n2n-1(|a|n+|b|n+|c|n+|d|n)，得

進一步有

(36)

聯(lián)立公式(34)和公式(35)，可以得到

其中

C6(Δt)=10C5T(κ2θ2Δt2+κ2C2Δt2+

利用Gronwall 不等式，有

(37)

將公式(36)代入公式(28)，

E[|e(t)|2]

(38)

E[|e(t)|2]ε

(39)

3 結(jié) 語

針對CIR利率模型，提供了一種Euler網(wǎng)格差分方法，同時分析了網(wǎng)格差分的有界性和收斂性。網(wǎng)格差分之后的CIR利率模型可以用于利率軌跡模擬，金融家們常常利用這些軌跡模擬進行VAR風(fēng)險管理和金融衍生產(chǎn)品價值分析。