李 鳳, 劉俊利

(西安工程大學(xué)理學(xué)院, 西安 710048)

傳染病動(dòng)力學(xué)模型可用于顯示疾病的發(fā)展過程, 揭示其流行規(guī)律, 預(yù)測(cè)其變化發(fā)展趨勢(shì), 分析疾病流行的原因和關(guān)鍵因素,尋求對(duì)其預(yù)防和控制的最優(yōu)化策略, 為人們防治決策提供理論基礎(chǔ)和數(shù)值依據(jù)[1-2]．流行性出血熱, 又稱腎綜合征出血熱,是由漢坦病毒引起并經(jīng)鼠傳播的自然疫源性疾病,潛伏期為4～46 d, 平均約為2周[3-4]．人可通過自然感染獲得動(dòng)態(tài)的免疫屏障, 使感染過流行性出血熱的人不會(huì)再次感染[5]．目前, 對(duì)出血熱的研究主要集中在疫苗研制和病毒分離提取等[6]．本文擬利用常微分方程建立出血熱傳染病模型, 并通過理論分析, 探討出血熱傳染病的動(dòng)力學(xué)行為, 為疾病的預(yù)防及控制提供理論依據(jù)．

1 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)流行性出血熱的狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況, 并綜合考慮流行性出血熱的傳播途徑和病理原理, 參考文獻(xiàn)[7-8]建立模型

(1)

其中SH,EH,IH,RH分別表示t時(shí)刻人群中的易感人數(shù)、潛伏人數(shù)、染病人數(shù)、恢復(fù)人數(shù);SM,IM分別表示t時(shí)刻鼠群中的易感數(shù)和染病數(shù);x表示已具有傳染性的出血熱病毒數(shù);A1,A2分別代表人和鼠的輸入率;β1,β2分別表示人群和鼠群中易感者被感染的比例系數(shù); 1/σ表示出血熱病毒在人體內(nèi)的平均潛伏期;γ表示人被感染后的恢復(fù)率系數(shù);a表示染病鼠的釋放率;d表示出血熱病毒離開病鼠后消亡率系數(shù);d1,d2分別表示人和鼠的死亡率系數(shù)．設(shè)t時(shí)刻總?cè)藬?shù)N=SH+EH+IH+RH．

2 模型的基本性質(zhì)

2.1 正性及有界性

定理1a) 模型(1)滿足初始條件的解滿足: ?t>0,SH,EH(t),IH(t),RH(t),x(t),SM(t),IM(t)均為正數(shù); b) 當(dāng)t→0時(shí),模型(1)滿足初始條件的解最終進(jìn)入?yún)^(qū)域Γε．

有界性: 由模型(1)得dN/dt=A1-d1N, 則limt→∞N=A1/d1, 故?ε>0, 當(dāng)t>t2>0時(shí), 有N≤A1/d1+ε．同時(shí)d(SM(t)+IM(t))/dt=A2-d2(SM(t)+IM(t)), 有l(wèi)imt→∞(SM(t)+IM(t))=A2/d2, 故?ε>0, 當(dāng)t>t3>0時(shí), 有SM(t)+IM(t)≤A2/d2+ε, 則dx(t)/dt=aIM(t)-dx(t)≤a(A2/d2+ε)-dx(t)．由比較原理知, 當(dāng)t>t4>0時(shí), 有x(t)≤ad-1(A2/d2+ε)+ε=aA2/(dd2)+(a/d+1)ε．令t*=max{t2,t3,t4}, 則?t>t*, 結(jié)論成立．

注1根據(jù)定理1,當(dāng)t充分大時(shí),模型(1) 的所有正解進(jìn)入或停留在區(qū)域Γε中; 因此,在本文中,僅考慮區(qū)域Γε中模型(1)的動(dòng)力學(xué)行為．

2.2 基本再生數(shù)和平衡點(diǎn)的存在性

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理2如果R0<1, 則無病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的; 如果R0>1,則E0不穩(wěn)定．

證明 模型(1) 在E0處的雅可比矩陣為

首先考慮方程

定理3如果R0>1, 則地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定．

定理4如果R0>1, 模型(1)地方病平衡點(diǎn)E*全局漸近穩(wěn)定．

證明 因t→∞時(shí),N→A1/d1,SM+IM→A2/d2, 則模型(1)退化為

(2)

顯然Df(u)是非約化的, 因?yàn)?/p>

4 結(jié)語

本文建立了一類出血熱傳染病的模型, 計(jì)算了模型的基本再生數(shù)R0, 并發(fā)現(xiàn)R0完全決定模型的動(dòng)力學(xué)行為: 當(dāng)R0<1時(shí),出血熱無病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0>1時(shí),出血熱無病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定,存在唯一的地方病平衡點(diǎn),且該平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定,說明在人群中出血熱傳播狀況會(huì)一直持續(xù)．結(jié)果表明, 染病老鼠的釋放率a越小,老鼠的輸入率A2越小,出血熱的傳染人數(shù)越少,說明防鼠、滅鼠是預(yù)防出血熱的重要舉措, 同時(shí)要注意個(gè)人衛(wèi)生,對(duì)預(yù)防和控制出血熱感染也是十分有必要的．