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        回路范疇的擴張及其應用

        2019-08-08 10:19:50鄭麗紅
        關鍵詞:福建師范大學福清范疇

        馮 清 , 黃 菊 , 鄭麗紅

        (1.福建師范大學福清分校 電子與信息工程學院, 福建 福清 350300; 2.閩南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,福建 漳州 363000; 3.福建師范大學 數(shù)學與信息學院, 福建 福州 350100; 4.列東中學,福建 三明 365000)

        1968 年,Bass[1]為研究范疇 K1群結構,引入了回路范疇,并給出了一族范疇同構.2012 年,張錦州[2]給出關于K1群的一個定理,并構造出回路范疇上的一個Recollement.在此基礎上,文獻[3]討論了平凡擴張范疇、沖積范疇與回路范疇的交換關系.受此啟發(fā),本文主要討論函子范疇、推出范疇與回路范疇之間的交換關系.

        1 回路范疇與函子范疇

        范疇論中,研究范疇間的函子關系是研究兩范疇關系的一個基本手段,函子范疇是指兩個范疇間的函子所具有的范疇結構,是范疇論發(fā)展的一個重要分支.許多常見的范疇均為函子范疇,如G-集范疇,直向圖范疇等等.本節(jié)討論回路范疇與函子范疇的交換關系,并給出實例.

        先給出回路范疇,函子范疇的定義,具體參見文獻[1,4].

        定義1[1]設D 是范疇,定義回路范疇D 如下:

        定義2 設C 是小范疇,D 是范疇,定義函子范疇DC如下:

        DC的對象為F:C→D 為共變函子.

        DC的態(tài)射為:F→G.合成是自然變換的合成.

        現(xiàn)給出函子范疇DC與回路范疇D 之間的關系,即

        再由H 中態(tài)射的對應易知H 是忠實的.綜合上述討論知H 是等價函子, 所以有范疇等價.

        現(xiàn)將定理1 應用于Abel 群范疇及圖范疇.

        例 1 設 R 是環(huán) R 的單對象范疇, Ab 是 Abel 群范疇, R-Mod 是環(huán) R 的左模范疇,則.其中對應關系為

        圖1 圖范疇交換圖Fig.1 The exchange graph of graph category

        圖2 回路范疇的圖范疇交換圖Fig.2 The exchange graph of graph category of Loop category

        2 回路范疇與推出范疇

        拉回與推出(纖維積與纖維余積)是范疇論中兩個重要的對偶概念.沈倩芳[5]定義了推出范疇,并證明了加法范疇的推出范疇仍是加法范疇.事實上,推出范疇作為范疇的一種擴張保持原范疇的諸多同調(diào)性質(zhì).本節(jié)討論回路范疇與推出范疇之間的交換關系.

        定義5[5]設D 是范疇,以D 中的推出作為對象,推出態(tài)射作為態(tài)射構成范疇,稱之為D 的推出范疇,記為DO.

        現(xiàn)給出本節(jié)的主定理,即

        圖3 推出范疇交換圖Fig.3 The exchange graph of push category

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