熊春燕, 陳淑紅

（閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，福建漳州363000）

本文主要研究Feshbach 共振附近BCS-BEC 跨越中的Ginzburg-Landau 理論：

方程組 （1）-（4） 描述的是費米子-玻色子模型中Feshbach 共振附近費米子氣體超流中的BCS-BEC跨越現(xiàn)象.

費米子-玻色子模型由于它的特殊性，吸引了廣大學者的關注和研究.1987 年，桑建平等[1]對相互作用的玻色子-費米子模型進行了微觀研究， 然后給出了與試驗符合很好的EU 基態(tài)轉動態(tài)的理論計算譜.1992 年，人們發(fā)現(xiàn)了 BCS-BEC 跨越現(xiàn)象，Drechsler M 等[2]和 Sa de Melo C A R 等[3]對費米子-玻色子模型中Feshbach 共振附近費米子氣體超流進行研究.Ginzburg-Landau 理論對于費米子氣體超流研究起了很重要的作用，黃琨[4]采用路經積分方法建立了描述勢阱中的費米子氣體在整個BCS-BEC 跨越的不依賴于時間的Ginzburg-Landau 理論.Machida 和Koyama[5]從費米子-玻色子模型出發(fā)，對Feshbach 共振附近的超流體費米子氣體構造了一個依賴時間的Ginzburg-Landau 理論.證明了與時間相關的Ginzburg-Landau 方程（TDGL）中的耦合系除BEC 極限外是復數(shù).復雜的TDGL 方程既描述了阻尼，又描述了傳播動力學，從而在Feshbach 共振附近產生了非常豐富的現(xiàn)象.關于它的數(shù)學框架，在BCS-BEC 跨越附近考慮了超流體費米子氣體的TDGL 方程.陳淑紅[6-8]，藍麗紅[9]對該方程組柯西問題、穩(wěn)態(tài)解、古典解及整體解的存在性等進行研究.但該方程組胡整體吸引子未被討論，故本文考慮研究該方程組弱解的吸引子并得到定理1.

定理1 設（△，φ）為初邊值問題(1)-(4)的整體弱解U＞0，b0，c＞0，m＞0，，g＞0，且 N=3，△0（x）∈H1,2（）, φ0（x）∈H1,2（）, 設△＋gφ=g1＋ig2，φ=φ1＋iφ2，則當弱解（△，φ）滿足下列三個條件之一時：1）g1=φ1=0； 2）g2=φ2=0； 3），且初邊值問題(1)-(4)存在整體吸引子A,且算子A 滿足：

(a)StA=A 對于 t∈R+成立；

這里 E=H1,2（）×H1,2（），｛St，t0｝是由方程(1)-(4)產生的半群算子,

1 引理

引理1[10]若函數(shù)μ 滿足

引理 2[10]若 1＜p＜∞，對任意函數(shù)，有如下等式成立則對邊界的外法向量n，，有

2 先驗估計

這一部分，我們主要建立初邊值問題（1）-（4）的先驗估計.首先，我們將方程組（1）-（4）改寫為（5）-（8），即

現(xiàn)在我們考慮（5）-（8）式的先驗估計.首先,我們來證明弱解的L2-模有界，即

由邊值條件（8），poincare'不等式以及Young 不等式得

由已知條件和Gronwall 不等式得:

可推出

定理3 在定理2 的條件下， 令 poincare' 系數(shù)則存在常數(shù) c3＜0，c4＞0，滿足

由引理2 可得

結合(12)(13)式和Young 不等式以及Poincare 不等式，

從而（14）可轉化為

由已知條件和Gronwall 不等式可知

結合（15）（17）可得

由Gronwall 不等式可知

則可推出

定理4 假設 N=3,在定理3 的條件下,問題(5)-(8)的解滿足

證明 由定理2、3 可得

當N=3 時，利用Sobolev 嵌入定理并結合poincare'不等式，得

由定理 3 及(20)可知

其中 c11是與 t 無關的常數(shù).

在(22)式中，結合(20)(21)(23)以及定理2 和定理3 的結果取充分小,則

其中 c13是與 t 無關的常數(shù)，即

由已知條件和Gronwall 不等式得

3 整體吸引子的存在性

引理 8[11]讓 E 是一個 Banach 空間， u 為未知函數(shù)，且 u=u（t），｛St，t0｝是一個半群算子， St：E→E，St·S =St+，S0=I，其中I 為恒等算子，而且半群算子St滿足下列條件：

1）半群算子St在E 中一致有界，即對一切R0 存在常數(shù) C（R）,使得當時，

2）在E 中存在有界吸收集合B0,即對任意有界吸收集合BE, 存在 T，使得當 tT 時，有 StBB0.

3）當 t＞0 時，St為全連續(xù)算子，則半群St具有緊的整體吸引子.

最后我們利用引理8，結合定理2-4 證明本文中的主要結論定理1.

定理 1 的證明 在定理 1 的假設條件下，方程滿足（1）-（4）存在半群算子｛St，t0｝，因此建立Banach空間且 St：E→E.利用定理2-3 結論并假設BE 屬于球可得

其中 K1，K2是常數(shù).意味著St在 E 中一致有界，則引理8 中的條件1)滿足.

其次，從定理2-4 的結果，我們可以得到

最后，當 t＞0 時,

故 t＞0 時,St為全連續(xù)算子，引理8 中條件3)滿足.

綜上所述，半群算子St具有緊的整體吸引子定理得證.