王亞力

摘要：本文致力于一維空間常系數(shù)對流擴(kuò)散方程的數(shù)值解法，基于有限差分法，提出了一種二階精度的加權(quán)Crank-Nicholson離散差分格式，并討論了其收斂性，最后給出了數(shù)值算例。

關(guān)鍵詞：有限差分法 加權(quán)Crank-Nicholson格式

一、引言

（一）分?jǐn)?shù)階微分簡介

分?jǐn)?shù)階微分或?qū)?shù)即是階數(shù)為分?jǐn)?shù)階的微分或者導(dǎo)數(shù).我們平時熟知的微分或者導(dǎo)數(shù)都是整數(shù)階的，而分?jǐn)?shù)階微分或?qū)?shù)就是對其階數(shù)進(jìn)行一個從整數(shù)到分?jǐn)?shù)的推廣而得到的.雖然公眾對分?jǐn)?shù)階微分或?qū)?shù)比較陌生，但其實(shí)分?jǐn)?shù)階微分或?qū)?shù)也有很長的歷史.分?jǐn)?shù)階微分或者導(dǎo)數(shù)最早是由LHospital提出的，1695年在其寫給Leibniz的一封信中提到：在n階微分中，n通常為整數(shù)，而當(dāng)n=1/2時，微分dny/dxn有著什么樣的意義，其表達(dá)式又為什么.但是這個問題一直沒有得到解答，直到一個世紀(jì)之后，在1812年Laplace給出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，在其定義中主要用到了積分.而到了1819年，Lacroix利用Laplace定義給出了常見函數(shù)y=x的階數(shù)為1/2的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)：，這個結(jié)果與現(xiàn)在常用Reimann-Liouville定義下的分?jǐn)?shù)階微分是一樣的.在此之后，F(xiàn)ourier通過一個變換（現(xiàn)在稱之為Fourier變換）給出了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義.Abel也為分?jǐn)?shù)階微分或?qū)?shù)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，他在研究Abel積分方程時發(fā)現(xiàn)：一般情況下一個常數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分不為零.到了19世紀(jì)30年代，Liouville在前人特別是Abel和Fourier的啟發(fā)下，并結(jié)合Gamma函數(shù)成功的將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用到位勢理論中，最終給出了自己對于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義.

在這一百多年的歷史中，分?jǐn)?shù)階微分或?qū)?shù)發(fā)展極其緩慢，究其原因，主要為：一，計算復(fù)雜，即隨著微積分的階數(shù)從整數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)，其計算復(fù)雜程度有著一個爆炸性的增長;二，缺乏應(yīng)用背景，由于分?jǐn)?shù)階微分或?qū)?shù)的發(fā)展與當(dāng)時科學(xué)技術(shù)的發(fā)展所需的數(shù)學(xué)理論的脫節(jié)，導(dǎo)致分?jǐn)?shù)階微分或?qū)?shù)不受科學(xué)界主流所重視，在很長一段時間內(nèi)只有少數(shù)的幾位純理論數(shù)學(xué)家對其進(jìn)行研究和探索.

（二）分?jǐn)?shù)階微分方程的研究意義

隨著科技的發(fā)展分?jǐn)?shù)階微分方程逐漸涌入主流學(xué)界的視野中，并在實(shí)際應(yīng)用背景下越來越受到關(guān)注，很多實(shí)際問題在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的過程中可以抽象為分?jǐn)?shù)階微分方程.分?jǐn)?shù)階微分方程同時也是微分方程理論中的重要組成部分，豐富了微分方程理論研究.分?jǐn)?shù)階微分方程主要包括分?jǐn)?shù)階常微分方程與分?jǐn)?shù)階偏微分方程，分?jǐn)?shù)階常微分方程相較于分?jǐn)?shù)階偏微分方程來說較為簡單，分?jǐn)?shù)階偏微分方程較為復(fù)雜，基本不可求得解析解.分?jǐn)?shù)階偏微分方程分為：空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程、時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程和空間和時間導(dǎo)數(shù)均為分?jǐn)?shù)階的偏微分導(dǎo)數(shù)。

分?jǐn)?shù)階偏微分算子由于其定義而自帶全局性、遺傳性及記憶性等特性，所以分?jǐn)?shù)階偏微分方程比較適合解決比較復(fù)雜的實(shí)際問題，特別是模擬一些帶有時序記憶特性的復(fù)雜變化過程.由于分?jǐn)?shù)階偏微分方程特性，其被廣泛應(yīng)用于各個學(xué)科領(lǐng)域的數(shù)學(xué)建模：例如記憶材料學(xué)、流體力學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)等等學(xué)科領(lǐng)域.除此之外，分?jǐn)?shù)階偏微分還在現(xiàn)代工程計算中有著廣發(fā)的應(yīng)用，由此可見分?jǐn)?shù)階偏微分方程在理論與應(yīng)用中都舉足輕重。

雖然分?jǐn)?shù)階微分方程的前景一片光明，但是現(xiàn)在對其研究還有著很多的不足，主要表現(xiàn)在：一數(shù)值算法不完善，主要數(shù)值算法為有限差分和有限元法;二雖然有了一些數(shù)值算法，但沒有將其封裝為較為成熟的數(shù)值計算軟件，不能很好滿足現(xiàn)在工程計算的需求;三一些具有挑戰(zhàn)性的數(shù)值計算問題尚未解決，例如長時間段的數(shù)值計算以及大空間域的數(shù)值計算。

（三）分?jǐn)?shù)階偏微分方程數(shù)值解法研究現(xiàn)狀

對于解分?jǐn)?shù)階偏微分方程來說，最理想的狀況就是能求得其解析解，但是絕大多數(shù)是無法求得解析解的.雖然對于分?jǐn)?shù)階常微分方程已經(jīng)有了多種求解析解的解法，如分離變量法、Fourier變換法、Laplace變化法、鏡像法、Mellin變換法等，但是由于分?jǐn)?shù)階偏微分的特性，將這些方法往分?jǐn)?shù)階偏微分方程求解的推廣并沒有取得良好的效果，因此只能對絕大多數(shù)分?jǐn)?shù)階偏微分方程求數(shù)值解.

關(guān)于對分?jǐn)?shù)階偏微分方程數(shù)值解的研究，最近幾十年取得了一些成就，最主要的數(shù)值解法包括：有限差分法、有限元法、有限體積法、譜方法、變分迭代法、同倫擾動法等等.在這些方法中有限差分法起步最早，發(fā)展的最完善，總體來說較為成熟.譜方法是最新的研究成果，效果最好，但是計算相當(dāng)復(fù)雜，發(fā)展還不夠完善.本文主要采用有限差分法來解決特定的分?jǐn)?shù)階偏微分方程.有限差分法主要包括L1，L2、L2C、經(jīng)典Grunwald公式和移位的Grunwald公式等方法，而且大多數(shù)時候還會利用這幾種方法之間的結(jié)合即加權(quán)平均來形成新的解法。

（四）本文研究內(nèi)容

分?jǐn)?shù)階微分方程有很強(qiáng)的應(yīng)用背景，是從一系列的物理應(yīng)用場景中抽象提取出來的一類微分方程.對于解決與之前所有時間段都相關(guān)的問題有著非常重要的意義，特別是在物理、化學(xué)、材料力學(xué)等方面都有著非常重要的應(yīng)用[1].

二、差分離散格式

令h為分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程的空間步長，，為時間步長，，，。令表示在網(wǎng)格剖分點(diǎn)的值.則表示源項(xiàng)在該網(wǎng)格點(diǎn)出的值。

對式（1a）中的進(jìn)行二階中心時間差商離散，并選取作為離散的網(wǎng)格點(diǎn).而對于式（1a）中的采用相鄰網(wǎng)格點(diǎn)和處的二階中心空間差商，并進(jìn)行加權(quán)平均離散，這樣就可以獲得這兩項(xiàng)的二階精度離散格式。

而對于式（1a）中的雙邊分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和則采用經(jīng)典的Grunwald公式、向前移位的和向后移位的Grunwald公式進(jìn)行離散，并取其加權(quán)平均而得到空間上具有二階精度的離散格式，該離散格式如下：

三、數(shù)值算例

考慮常系數(shù)雙邊分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程（1），且其邊初值條件如下：

其中，，則知此時該方程的精確解為：

為了驗(yàn)證該數(shù)值解法的精度為二階，取，最大誤差：，精度計算公式：，下表給出了此方程在本文提出的差分格式下的數(shù)值解的誤差和精度.由表1可知，本文提出的差分離散格式在空間步長減小的情況下，誤差也隨之減小，且該數(shù)值解法具有二階精度.經(jīng)典或者移位的Grunwald公式只能獲得一階精度的數(shù)值解法，而利用加權(quán)Crank-Nicholson格式將兩者結(jié)合起來則會獲得二階精度的數(shù)值解法，所以考慮將經(jīng)典Grunwald公式和多個移位Grunwald公式進(jìn)行加權(quán)平均獲得更高精度的數(shù)值解法將是一個很好的研究方向.

參考文獻(xiàn)：

[1]郭柏靈，蒲學(xué)科，黃鳳輝.分?jǐn)?shù)階偏微分方程及其數(shù)值解[M].北京：科學(xué)出版2011：1-3，91-92.

[2]Hao Z P ， Sun Z Z ， Cao W R . A fourth-order approximation of fractionalderivatives with its applications[J]. Journal of Computational Physics， 2015， 281：787-805.

[3]Podlubny I.. Fractional differential equations[M]. San Diego：Academic Press，1999：1-4，88-89.

（作者單位：華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院）