江蘇省江陰市徐霞客中學(210000) 顧定偉

江蘇省啟東市南苑中學(210000) 李衛(wèi)星

題目呈現(xiàn)直線與反比例函數(shù)分別交于兩點AB，交坐標軸分別為DC，求證AD=BC.

圖1

分析現(xiàn)狀大部分學生看不懂此題目的題意，無從下手，得分基本為3 分.

教學準備

學法順應天性，自然生成.

學生怎么想就怎么做，走一步算一步，摸著石頭過河，充分激發(fā)自己的潛能.

教法宏觀駕控，微觀收口.

教師要有謀篇布局的意識，對教學更有一種意境和長遠眼光，精心打磨每個細節(jié)，推敲每個環(huán)節(jié).

教學策略

初始想法是思維的開端.

1 純代數(shù)法

咬定青山不放松，自然過渡.

課堂傳真

很多學生自然想到求出坐標證明如圖所示只需證到x1=CF或DE=y2即可，列出方程化簡得kx2+bx- m=0，解得那么CF=CO-OF.

圖2

學生在此望而卻步，不敢越雷池半步，此時應鼓勵學生大膽想，老師可以說：“老師也是這么想的.”讓其有認同感，并給足時間，讓學生充分思考.“你肯定行! ”激勵學生做下去.

這樣學生有了信心，更有成就感.及時評價：“解法很煩，計算量較大，解出此題要有對求根公式，二次根式的化簡已有相當?shù)乃?，你能在此簡化一下，還有其他想法? ”引導學生繼續(xù)思考.這樣采取前否后肯的贊美方式，激勵學生繼續(xù)探究.

圖3

要計算兩根比較麻煩又有根發(fā)生關系聯(lián)想到根與系數(shù)的關系，即kx2+bx-m=0，由根與系數(shù)關系得由圖像得x2+得x1=x3.

學生可能字母設重復，犯形式主義錯誤，可能不會解，被形式所嚇倒，不敢相信自己的想法，認為徒勞無獲.此時應鼓勵學生大膽地想，大膽設，大膽地解，大膽暴露，把冰冷的錯誤，變成火熱的思考，讓其開花結果，即使解錯也無妨，鼓其志氣，煉其意志，推進思維向縱深發(fā)展.這里需要呵護學生思維的嫩芽，無論其是主枝還是側枝，都需要老師的滋養(yǎng)，尤其要關注差生.教師要注意因勢利導，若不行，進行適當?shù)陌鍟?，從而得?

圖4

圖5

設計理念學生冥思苦想而不得其解，一經提示就恍然大悟，問題到底出在哪里?“不是做不到，而是想不到”的現(xiàn)象，正是數(shù)學素養(yǎng)低、數(shù)學能力差的表現(xiàn).改變這種狀態(tài)，要讓學生不僅能做而且會想，唯一的辦法是放手讓學生自己先想、先做，老師在如何想、如何做上加強引導.這就需要限制課堂容量，放慢教學節(jié)奏，給學生“悟”的時間，給學生說出自己想法的機會.思維變換在于引導和捕捉生成資源.

2 解析法

無功而返，圍魏救趙.

課堂傳真

當發(fā)現(xiàn)解方程沒有收獲時，很多學生望而卻步了，不敢解，于是學生變換角度，想到設點坐標.這里涉及到設什么，如何設置，多設還是少設，選擇哪個函數(shù)，哪個更吻合學生想法，讓學生經歷這一沖突過程.設好以后，需要解決什么問題，如何體現(xiàn)坐標，把代數(shù)內容幾何化，學生經過轉化后，又發(fā)現(xiàn)圖形具備特殊的什么圖形，這里需要學生慢慢地體會，靜靜地嘗試，慢慢地感悟，需要時間的打磨，需要蓄勢.

從直觀上看發(fā)現(xiàn)三個平行四邊形，而證明平行四邊形矛盾的交點就是CD//EF，而證明CD//EF可以想到證明斜率相等，順應學生思維，不要封死.學生在設直線解析式再次遇到選擇，容易出錯，這需要把學生潛在錯誤危機暴露出來，展示曝光后辨析，以錯糾錯.同時學生面對含多字母的方程，心理上產生畏懼，又不知道如何解，如何消未知數(shù)，適當點撥，通過這一環(huán)節(jié)考驗，對字母代表數(shù)，消元思想進一步加深.

設直線的解析式CD:y=px+q，相減得p=同理可設直線的解析式CD:y=px+q，相減得可證的直線平行從而得解.

這里需要空間，需要學生經歷幾次沖突，幾次抉擇，隨思維變化，感悟數(shù)學思想的存在.此時忌諱上課的行云流水，快刀斬亂麻，會把學生稍縱即逝的思維之花扼殺在萌芽狀態(tài).學生思維經歷挫折，思維更顯成熟，更經得起考驗.同時不同層級的學生，不同的思維方式會產生不同的輔助線方法，產生殊途同歸的效果，同時相互比較，同步鞏固提高.上述兩種圖形體現(xiàn)不同學生的不同習慣、不同基礎、不同水平.

真正的學習必須經歷“感知——感悟——知識”的過程.

設計理念能為學生著想的老師就是高素質的老師——什么叫“為學生著想”? 慢下來，給學生“悟”的時間和空間，“慢”就是快! 應加強動手、思考和感悟的實踐，培養(yǎng)學生渴求知識的感覺.

思維提升在于思辨.

3 幾何法

順勢而下，拋磚引玉.

課堂傳真

發(fā)現(xiàn)證明相等就是證明平行，證明平行K相等這是唯一的路嗎? 一石激起千層浪，讓學生思考后討論，反比例經常用的性質是什么? 學生經過思考發(fā)現(xiàn)只需證明面積相等，而選擇好哪兩個三角形，是比較難的，底是誰，第三個頂點是誰? 為什么選擇這兩個?

學生思考：上述提及的代數(shù)，那么必然有幾何與之對應，所以同樣作垂線，因為反比例函數(shù)的最大特征就是所構面積相等，所以將面積表示出來，顯然S四邊形EAHF=S四邊形HGIB，發(fā)現(xiàn)就這樣無法表示出DA=BC，所以得要將其轉換或者找外援，圖中有什么看上去相等的線段呢? 發(fā)現(xiàn)矩形FHGO很“可疑”，多多嘗試，連接FG發(fā)現(xiàn)得出了兩個圖形像什么? 發(fā)現(xiàn)貌似是倆平行四邊形，若是平行四邊形則DA=FG=BC，由求證出發(fā)這肯定是平行四邊形，可問題是如何證明.這又像以前做過的求證想象的平行一致，所以這肯定能解出，既然已經利用了面積，那么就咬定青山不放松再從面積轉換，平行聯(lián)想由什么證明，角顯然不可能，面積和平行有何關系，面積是由底*高得的，當?shù)叵嗟葧r那么兩直線便平行了，所以求證到了平行四邊形，所以可看到黎明的曙光DA=BC.

凡事都有對立雙方，所以反過來看也可以.當有了這基本的平行知識，發(fā)現(xiàn)易證EI平行DC也同樣利用倆平行四邊形，求證出邊相等，最后全等.S△EAF=S△AEO=S△BFE=S△BFO=即證到平行.

圖6

圖7

剛才證明平行容易相等K相等，K相等是唯一的路嗎?

從思維的封閉走到開放，解決思維定勢.有效拓寬學生思維路徑.這是一種捷徑，對于大多數(shù)同學很難掌握，簡單易懂，迅速秒殺題目，若不及時追問，會來的快，去的也快，對學生怎樣理解他，需要讓學生思考為什么這樣想，想的必然性是什么? 為什么添垂線，為什么想到面積，順其自然，突兀?又如何銜接? 同時對應不同的圖形，讓學生自己感悟不同圖形帶來的效果.哪一種更符合自己的習慣.逐步從程序解法到關系解法過渡.

設計理念教學中應多問“你是怎么想的? ”“你是怎么想到的? ”“還有別的想法嗎? ”少問“是不是? ”“對不對? ”更不要“我已經給大家準備好了，下面開始算吧! ”通過技巧訓練迅速提高分數(shù)，與通過思維訓練全面提升能力，是兩個完全不同的追求!

思維深化在于知識合成.

4 幾何代數(shù)結合

順藤摸瓜，柳暗花明.

課堂傳真

你能從剛才圖形還能發(fā)現(xiàn)什么基本的圖形，你能寫出來嗎?

圖8

圖9

圖10

解好后請思考一下問題，你是怎么想的，為什么這么想，這種解法的共性是什么，它需要我們掌握什么，繼續(xù)延伸是什么? 還會怎么考察?

學生思考：用了面積，那么就有其他的方法，初中貫穿最大的幾何法就是相似，發(fā)現(xiàn)圖中有許許多多的三角形相似，“相似是個好東西! ”圖中用相似也可以解決，但是這條還是那條，看得眼花，所以有代數(shù)形式簡略化，用abcd等等的形式.再通過最基本的圖形面積相等與多次相似求證出.

設計理念調動學生的所有感官參與學習，通過實際問題分析和實際操作獲得感性材料，進行適當整理，歸納出數(shù)量關系和空間關系的特征，逐漸抽象成數(shù)模型，滲透建模思想，這對培養(yǎng)學生思維的靈活性與深刻性有極大的作用.

在同步練習中得到鞏固，換湯不換藥，思維同化.

題目解答完成，但并不表示真正的掌握，只是停留在形式上，學生并不完全理解，最簡單最直接的做法是通過同步練習達到鞏固的效果.

直線與反比例函數(shù)分別交于兩點AB，交坐標軸分別為DC，求證AD=BC.

圖11

圖12

直線AD:y=-2x+n交反比例與AD兩點，交坐標軸與BC兩點，AC-CD=5，求直線解析式.

生成轉移，發(fā)展思維.沖出重圍，拓展延伸.

已 知：如 圖13，⊙O是 等 腰Rt△ABC的外接圓，點D是弧AC上的一點，BD交AC于點E，若BC=4，AD=這AE的長是( )

A.3 B.2 C.1 D.1.2

圖13

常見困惑

單用勾股定理，獨木難支：

圖14

圖15

相似求解，一針見血：△DEA相似于△CEB，

教后反思：關注學生心理，注重思維發(fā)展

初一到初三學生處于青春期，他們的認知水平，思維方式和社會經驗屬于半成熟狀態(tài)，不可避免成人感與半成熟之間的矛盾，成人感使得獨立意識強烈，精神上要求擺脫成人，要求有獨立的自主權決定權，事實上，面對許多復雜的問題和困惑時，他們需要得到成人的理解、支持和保護.同時青春期心里的閉鎖性又把他們的內心世界封閉起來，不向成人袒露，認為成人不理解他們，對成人不信任.他們倍感孤獨，希望與他人溝通，得到理解，這種開放胸懷的愿望促使他們很愿意與同齡人或自己可信賴的人吐露心聲.同時青春期表現(xiàn)成人式的果敢和能干，獲得成功就會享受超越一般的優(yōu)越感與成就感，若遇到挫折則產生自暴自棄的挫折感.思維形式已擺脫具體內容的束縛，已經具備抽象邏輯推理能力，屬于發(fā)展階段.這些要求教師關注學生心理，注重思維發(fā)展.

教師的贊賞藝術

學生怎么想，就怎么引，啟而不發(fā)，適當講解，當學生想到有代數(shù)解方程的手段時，盡管繁做起來繁瑣，但有想法總比沒想法好，而且是學生最直接最直觀的想法，要呵護學生的自尊心和成就感，當學生解得方程繁瑣，給以理解，老師可以說：我也是這么想的，肯定他們的想法.應用好贊賞，充分調動期待效應，順利得解，是不是解得煩了，有沒有好的辦法，反比例函數(shù)最容易想到什么? 我發(fā)現(xiàn)有一位同學是這樣想的，發(fā)揮學生獨立意識，讓其展現(xiàn)解法，利用心理學的鯰魚效應，產生競爭，激發(fā)學生繼續(xù)想.當學生再次想不出，百思不得其解，讓其相互交流，敞開心扉，互述困惑，心理得到補償.當方法多時，學生部分不能理解，及時停住，以避免心理學超限反應的副作用.

教師的示弱藝術

很多教師居高臨下，滔滔不絕，講了諸多做法，但是收效甚微.教師講的時候更應體現(xiàn)自己解題的笨拙之處，笨拙更符合學生的思路，讓學生體會解題的艱辛，與學生感同身受，深挖學生思維障礙之處，從愚鈍之處看出可取之處，不足之處，從人際溝通來講，上行，下行，平行三種溝通，以學生的視角審視問題，老師也是這么想，學生也是這么想，得到共鳴，縮短思維差異，更利于教學.比如想到解方程，老師也害怕，解不出，想設未知數(shù)，不知道設什么好，想到面積不知道用哪個面積好? 發(fā)現(xiàn)動點還不知在哪里運動? 若老師講解時故意或真的出現(xiàn)遲鈍或不能解決的問題，及時拋給學生，此時學生會出現(xiàn)好奇激動，學生會爭先恐后表現(xiàn)，符合心理盈虧理論.譬如分式方程，算術平方根，高等問題，極大地調動了學生參與的積極性.

教師的聆聽藝術

當學生出現(xiàn)錯誤時，不要一棍子打死，要俯下身子去聆聽，聆聽是一種藝術，更是一種美德，更是一種水平，聆聽要關注學生的的眼神，是信任還是疑惑? 洞察學生的肢體語言，是傾斜還是側身，還是防偽，讓學生把所思所想講出來，及時示意.預設與生成兩個孿生姐妹，好的預設才有精彩的生成，及時捕捉學生思維的火花，幾何與代數(shù)方法順序可以不講，但可相通，互為支撐，注重思維形成的過程.考慮到學生思維的發(fā)展的不平衡性、階段性、連續(xù)性和差異性，本題從代數(shù)解方程，進一步優(yōu)化成根與系數(shù)解決問題，再從數(shù)變成形幾何直觀解決，再次形數(shù)結合解決問題，符合學生思維發(fā)展特點，兼顧不同層次的學生.方法不在多，在于學生接受.方法不多而在于方法體系的形成，通過讓學生解題形成代數(shù)幾何解析的解決問題的意識.逐步拓寬學生的思維，同時促使思維向縱深發(fā)展.

教師的評價藝術

分階段讓學生對題目進行評價，加強一般觀念的指導作用.

對每產生一種解法或產生困惑讓不同層次學生及時點評，本解法所用的知識點是什么? 怎么解，簡略復述過程，你的困惑在哪里? 你把條件復述一下，為什么這樣解? 你怎么想到的，你那個條件不能利用? 這個解法應用哪些知識，如何應用，還可以想到什么? 課堂讓不同類型學生進行反思，進行比較，讓學生自己感悟理解的不同程度，促進他們從程序解法，到關系型解法到應用性解法的慢慢提升.不同解法出現(xiàn)后，讓學生對比解法之間的關系，進行系統(tǒng)反思，讓學生同化順應，促成方法體系的構建，提升思想性.通過具體事例，具體做法的歸納概括，讓學生自主探究、交流，給學生表達的機會，從表達中把握學生的思維過程，捕捉生成性教學資源，并用“你是怎么想的? ”“你是怎么想到的? ”“能把你的想法說得更清楚一些嗎? ”等促進思考，逐步培養(yǎng)學生用概念解釋數(shù)學對象、通過歸納發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的能力與習慣，是促使學生深層次參與課堂教學的有力舉措.要把實質性的歸納機會留給學生，例如具體實例共同特征的歸納就應該讓學生完成．

數(shù)學是思維的科學，作為數(shù)學老師，就是讓學生在獲得數(shù)學結論、建立數(shù)學知識體系的過程中培養(yǎng)正確的思維方式.用智商備課，用情商上課，互為一體，相輔相成，作為一名初中數(shù)學教師，任重而道遠.