王麗梅，姜元昊

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870)

0 引言

隨著工業(yè)技術(shù)的進(jìn)步，人們?cè)跍y(cè)量、數(shù)控加工等方面的要求越來越高，使得具有特殊的笛卡爾機(jī)械結(jié)構(gòu)和先進(jìn)的線性驅(qū)動(dòng)且在工作區(qū)有非常高的精度和動(dòng)態(tài)性能等優(yōu)點(diǎn)的H型精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在精密測(cè)量、數(shù)控加工等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛[1]。雖然H型運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Y方向上兩個(gè)直線電機(jī)具有相同參數(shù)以及控制方法，但是由于運(yùn)動(dòng)過程中電機(jī)參數(shù)變化、負(fù)載擾動(dòng)等外界不確定因素導(dǎo)致兩平行軸電機(jī)的運(yùn)動(dòng)達(dá)不到同步的效果。

為了保證H型運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的加工精度，既要保證單軸的跟蹤精度，還要控制Y方向上的兩直線電機(jī)的同步誤差。在單軸上，由于滑模控制以其控制算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、魯棒性強(qiáng)和可靠性高等優(yōu)點(diǎn)成為研究熱點(diǎn)之一并被廣泛應(yīng)用[2-3]。文獻(xiàn)[4]采用自適應(yīng)模糊滑?？刂撇呗詠韺?shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)平面機(jī)械手的位置控制，驗(yàn)證了滑模變結(jié)構(gòu)算法具有很強(qiáng)的魯棒性和快速性。文獻(xiàn)[5-6]利用自適應(yīng)律對(duì)系統(tǒng)不確定性擾動(dòng)進(jìn)行估算，增強(qiáng)了滑模變結(jié)構(gòu)位置控制器的信號(hào)跟隨性能，并且將反演控制成功應(yīng)用到直線電機(jī)控制系統(tǒng)中[7]。文獻(xiàn)[8-9]引入積分反演控制算法，解決了負(fù)載擾動(dòng)和參數(shù)不確定性對(duì)系統(tǒng)伺服性能影響。本文在單軸上采用積分反演自適應(yīng)滑?？刂疲?yàn)榉囱菘刂颇軌虮ＷC系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，并且加入積分項(xiàng)可以使得跟蹤誤差更加高效地收斂于零。積分反演自適應(yīng)滑?？刂瓶梢詫?shí)現(xiàn)系統(tǒng)的快速跟蹤性和強(qiáng)魯棒性。

在同步控制中，本文采用改進(jìn)型主從控制方法。傳統(tǒng)的主從控制存在伺服滯后以及同步性差等缺點(diǎn)，有時(shí)會(huì)造成機(jī)械損壞[10]。文獻(xiàn)[11-12]采用傳統(tǒng)的主從控制減小同步誤差，但是當(dāng)電機(jī)出現(xiàn)負(fù)載擾動(dòng)時(shí)，電機(jī)之間的同步誤差就會(huì)變大。為了改善上述結(jié)構(gòu)中的缺點(diǎn)，本文主從控制結(jié)構(gòu)采用并聯(lián)結(jié)構(gòu)，在主從系統(tǒng)之間加入控制器，使得從動(dòng)軸系統(tǒng)可以通過控制器及時(shí)修正與主動(dòng)軸之間的速度、位置誤差，形成一個(gè)能快速調(diào)整系統(tǒng)響應(yīng)速度、抑制外部非線性擾動(dòng)、提高雙軸之間的同步精度，達(dá)到同步控制效果的主從控制器。

1 H型運(yùn)動(dòng)平臺(tái)數(shù)學(xué)建模

H型運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的Y方向平行的兩直線電機(jī)采用相同的參數(shù)，采用id=0的矢量控制方式可以推出：

(1)

式中，uq為永磁直線同步電機(jī)(PMSLM)動(dòng)子在q軸下的電壓；R為初級(jí)繞組的等效電阻；iq為q軸下的電流；Lq為q軸下的電感；τ為永磁體極距；v為電機(jī)的動(dòng)子速度；ψf為永磁體磁鏈。

直線電機(jī)推力方程：

(2)

式中，F(xiàn)e為電機(jī)的電磁推力；Ld為d軸下的電感；id為d軸下的電流。

(3)

式中，F(xiàn)L為負(fù)載阻力；D為摩擦系數(shù)；M為動(dòng)子質(zhì)量。

在理想狀態(tài)下H型運(yùn)動(dòng)平臺(tái)單軸的動(dòng)態(tài)方程為：

(4)

式中，y(t)為動(dòng)子位置，An=-D/M，Bn=Kf/M，Cn=-1/M；由于系統(tǒng)中存在不確定項(xiàng)，使得式(4)變?yōu)椋?/p>

(5)

式中，ΔA、ΔB和ΔC為系統(tǒng)參數(shù)所引起的不確定量；I為系統(tǒng)不確定性的總和。

通過對(duì)H型運(yùn)動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行受力分析以及力矩平衡方程可得到由于X軸運(yùn)動(dòng)造成對(duì)Y軸的負(fù)載力為：

(6)

式中，m3為X軸電機(jī)的動(dòng)子質(zhì)量；l為Y軸兩直線電機(jī)的質(zhì)心距離；a為平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的加速度；y為X軸電機(jī)的質(zhì)心離X軸中點(diǎn)的距離。

通過以上分析得到H型平臺(tái)的數(shù)學(xué)模型為：

(7)

式中,i=1,2分別表示兩平行軸。

2 H型運(yùn)動(dòng)平臺(tái)控制器設(shè)計(jì)

如圖1所示為基于積分反演自適應(yīng)滑模改進(jìn)的主從控制的H型運(yùn)動(dòng)平臺(tái)框圖。

圖1 改進(jìn)型主從控制H型運(yùn)動(dòng)平臺(tái)框圖

兩平行軸Y1軸和Y2軸的位置和速度作為主從控制器的輸入，單軸上位置控制器采用積分反演自適應(yīng)滑?？刂?，輸入為單軸的位置誤差。

2.1 單軸位置控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)第1部分的介紹可得PMSLM的模型為：

(8)

定義單軸PMSLM跟蹤誤差為：

e1=dm-x1

(9)

式中，dm為位置給定，x1為實(shí)際位置；則

(10)

定義李雅普諾夫函數(shù)：

(11)

則

(12)

式中，x2為虛擬控制量。

定義穩(wěn)態(tài)函數(shù)：

χ=c1e1

(13)

式中，c1為正的常數(shù)。

定義：

(14)

定義：

(15)

式中，λ是常數(shù)；

(16)

φ為跟蹤誤差的積分項(xiàng)，通過加入積分項(xiàng)，在穩(wěn)定狀態(tài)下，跟蹤誤差的收斂性可以得到更高效率的實(shí)現(xiàn)。

則有：

(17)

(18)

對(duì)式(17)進(jìn)行求導(dǎo)得：

(19)

定義切換函數(shù)：

s=z1e1+z2e2

(20)

式中，z1和z2是正常數(shù)。

定義李雅普諾夫函數(shù):

(21)

則

(22)

則設(shè)計(jì)的控制器為：

(23)

自適應(yīng)律為：

(24)

式中，η為常數(shù)。

以上是單軸的積分反演自適應(yīng)滑?？刂频脑O(shè)計(jì)結(jié)果，接下來根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論來分析其穩(wěn)定性。

(25)

(26)

式中eT= [e1e2，P是正定對(duì)稱矩陣。

所以，只要保證P是正定矩陣，就能使式(26)成立，使得系統(tǒng)穩(wěn)定。而使P是正定矩陣得充分條件就是使P的主余子式的行列式都為正，證明如下：

(27)

(28)

2.2 同步控制器設(shè)計(jì)

同步控制中，主從控制器的原理是基于模型參考滑?？刂疲瑢⒅鲃?dòng)軸看作模型，從動(dòng)軸看作被控對(duì)象，通過兩軸之間的速度、位置誤差得到補(bǔ)償量，補(bǔ)償?shù)綇膭?dòng)軸中，使得兩軸之間的誤差收斂到零。

定義切換函數(shù)：

(29)

式中,γ為常數(shù)。

控制律為：

(30)

式中，1,2表示的是兩平行軸，1表示主動(dòng)軸，2表示從動(dòng)軸，ξ為常數(shù)。

采用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，可消除抖振。

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析控制器的穩(wěn)定性。

定義李雅普諾夫函數(shù)：

(31)

所以,

(32)

3 仿真與結(jié)果分析

H型運(yùn)動(dòng)平臺(tái)各部分參數(shù)設(shè)定為M1,2=12kg,D1,2=4N·S/m,L1,2=82mH,R1,2=2.5Ω,ψf=1.107Wb,τ=32mm,l=320mm,m3=8.2kg,y=80mm。

單軸的IBASMC控制器的參數(shù)設(shè)置為z1=16,z2=25,c1=1500,λ=20,η=0.25,r=1。

主從控制器參數(shù)為γ=10,ξ=0.02。

圖2是H型運(yùn)動(dòng)平臺(tái)單軸的給定位置曲線和實(shí)際輸出的位置曲線，可以看出兩個(gè)輸出曲線幾乎完全重合。

圖2 單軸給定和實(shí)際輸出位置曲線

圖3是單軸的位置誤差曲線，在0.03s時(shí)誤差就幾乎收斂到零，在初始時(shí)瞬時(shí)最大誤差為2mm。

圖3 單軸位置誤差曲線

圖4是在2s時(shí)加200N負(fù)載擾動(dòng)時(shí)的單軸位置誤差曲線。在IBASMC控制下，系統(tǒng)的跟蹤精度很高，并且削弱了抖振現(xiàn)象，使單軸具有更好地跟蹤性與抗干擾性。

圖4 加負(fù)載時(shí)單軸位置誤差曲線

圖5是雙軸的實(shí)際位置輸出曲線，從曲線中可以看出雙軸的位置幾乎一樣，具有很好地同步性。

圖5 雙軸位置輸出曲線

圖6是雙軸之間的同步誤差，最大瞬時(shí)同步誤差為0.1mm，雖然雙軸上一直存在著X軸電機(jī)的擾動(dòng)作用，但是從圖中可以看出同步誤差隨著時(shí)間的推移近乎收斂到零。

圖7是將傳統(tǒng)型主從控制和改進(jìn)型主從控制之間進(jìn)行比較，從圖中可看出傳統(tǒng)型主從控制最大同步誤差是0.025mm，而改進(jìn)型主從控制最大同步誤差是0.018mm，所以本文提出的改進(jìn)型主從控制有效地減小了控制系統(tǒng)的同步誤差，使系統(tǒng)的性能更加優(yōu)越。

圖6 系統(tǒng)同步誤差曲線

圖7 不同控制系統(tǒng)同步誤差曲線

4 結(jié)論

本文首先對(duì)H型運(yùn)動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，其次在單軸控制中設(shè)計(jì)了IBASMC控制方法，該方法具有很好的跟蹤精度和抗干擾能力；在雙軸之間采用了改進(jìn)型主從控制方法，該方法提高了系統(tǒng)的同步精度和跟蹤精度，與傳統(tǒng)的并聯(lián)型主從控制相比，該方法削弱了雙軸之間由于機(jī)械耦合對(duì)系統(tǒng)的影響。仿真結(jié)果證明，所設(shè)計(jì)的控制方法有效地提高了H型運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的跟蹤精度、抗干擾能力和同步精度。