吳 明 明

(河北工程大學土木工程學院，河北 邯鄲 056038)

0 引言

功能梯度材料[1](FGM)是一類復合材料，其從一個表面到另一個表面具有連續(xù)的材料特性變化，因此消除了在層壓復合材料中界面處的應力集中。通常，F(xiàn)GM由陶瓷和金屬的混合物制成，陶瓷可以在熱環(huán)境中抵抗高溫，而金屬可以降低在陶瓷表面上發(fā)生的拉應力。FGM廣泛用于機械，航空航天，核能和土木工程。

微分求積法[2](Differential Quadrature Method，簡稱DQM)被認為是一種需求的離散點少而數(shù)值精度又較高的數(shù)值方法，它的基本思想是把解函數(shù)在給定離散點上的導數(shù)值用計算域內全部離散點處函數(shù)值的加權和近似地表示。以高階剪切梁為例，介紹了DQM法在結構中的應用[3]，并著重討論了DQM所得的數(shù)值解與精確解的一致性，體現(xiàn)了該方法實用性。

通過微分求積法進行數(shù)值求解。分析了不同的邊界條件及節(jié)點數(shù)對梁彎曲的規(guī)律。

1 基本理論

如圖1有長度L、寬度b和高度h的矩形橫截面功能梯度梁。坐標x，y和z分別指向梁的長度、寬度和高度方向，如圖1所示。根據(jù)線彈性假設，該功能梯度梁的位移場為：

(1)

其中，u為梁中面上某點的軸向位移;wb,ws分別為梁中面上某點的橫向位移的彎曲和剪切分量;f(z)為形狀函數(shù)，可確定橫向剪切應變和剪切應力沿梁厚度的分布形式。非零應變由下式給出：

(2)

2 控制方程

根據(jù)虛功原理來推導控制方程。該理論形式可以表述為：

0=δU+δW

(3)

其中，δU為虛應變能；δW為虛功。梁的應變能的變化可以表示為：

(4)

由橫向載荷q和彈性地基引起的虛功可以表示為：

(5)

將式(4)和式(5)中δU和δW代入等式(3)，并對空間變量進行積分，可得功能梯度梁的控制方程：

(6)

FGM梁的本構關系可以寫成：

σx=Q11(z)εx
σxz=Q55(z)γxz

(7)

將式(2)代入式(7)，可得到力、力矩和剪力的合力的表達式：

(8)

將式(8)代入式(6)，控制方程可以用位移(u，wb，ws)表示為:

(9)

(10)

(11)

3 微分求積法的應用

微分求積法(DQM)的本質是將函數(shù)在求解區(qū)域內的全部節(jié)點處的導數(shù)值，近似地用其相應節(jié)點處的函數(shù)值的加權和來表示，也就是說我們可以把微分方程轉化為一組用節(jié)點處的函數(shù)值作為未知量的代數(shù)方程組，進而求解該代數(shù)方程組，即可得微分方程的數(shù)值解。例如將控制方程式(9)進行DQM離散，可轉化為代數(shù)方程組：

(12)

4 數(shù)值算例與討論

選用金屬和陶瓷合成的功能梯度材料，以驗證現(xiàn)有理論在解決簡支FGM梁的彎曲變形問題時的準確性。上部為鋁和下部為氧化鋁材料組成的FGM梁。鋁的材料特性為Em=70 GPa，νm=0.3，氧化鋁的材料特性為Ec=380 GPa，νc=0.3。為方便起見，使用以下無量綱形式：

(13)

4.1 不同節(jié)點個數(shù)時的彎曲結果比較

為了說明DQM法求解高階剪切變形梁彎曲力學行為的有效性和準確性，取節(jié)點數(shù)為不同值時梁橫向位移的數(shù)值解與精確解進行了比較，在兩種L/h和不同梯度因子p變化時的橫向位移如表1所示?？梢钥闯雠c參考文獻[4]中的結果非常接近，誤差非常小，這說明該方法有很高的精度，是一種有效的數(shù)值方法。

表1 不同節(jié)點數(shù)值下的橫向位移變形對比

4.2 不同邊界條件的彎曲結果分析

為了說明不同邊界條件對均勻載荷下FGM梁彎曲變形的影響，我們給出了三種不同邊界條件下梁的橫向位移(見圖2)。簡支條件和固支條件下梁的位移呈對稱分布，一端簡支一端固支時梁的最大位移沒有在梁的中心，表明通過DQM得到的數(shù)據(jù)很好的體現(xiàn)了梁的撓度變化規(guī)律。

5 結語

1)本文建立了各種高階剪切變形梁理論，用于FGM梁的彎曲。用微分求積法求解了梁的彎曲問題的計算公式。

2)通過數(shù)值算例的分析比較體現(xiàn)了微分求積法具有較高的計算效率和計算精度，用了很少的節(jié)點得到較好的結果，是一種較好的計算方法。