舒益群 陳啟德

（1.海軍航空大學 煙臺 264001）（2.91049部隊34分隊 青島 266000）

1 引言

外輻射源定位技術［1］是無源探測領域中的研究熱點之一，是對傳統(tǒng)有源探測方式的必要補充。外輻射源定位設備自身不發(fā)射電磁波，而借助民用或軍用的各類輻射源來實現(xiàn)對目標的探測跟蹤。單站外輻射源定位［2］僅靠一個接收站就可以實現(xiàn)對目標的定位，同時由于接收站的可移動性，極大提高了系統(tǒng)的靈活性，在運用部署上十分便利，而且同時具有傳統(tǒng)外輻射源定位隱蔽性、反隱身等方面的優(yōu)勢［3～4］，近年來受到了人們的極大關注。

當外輻射源為非合作時，無法獲得準確輻射源位置給傳統(tǒng)的外輻射源定位帶來巨大的挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)的外輻射源定位都是基于已知的輻射源位置來推導目標的位置信息，而且輻射源的位置常常還是固定的［5～6］，在實際應用中受到很大的限制。而本文中采用的定位方法是基于非合作的機載外輻射源，外輻射源的狀態(tài)也需要在定位過程中進行不斷的更新。本文使用容積卡爾曼濾波來實現(xiàn)對目標狀態(tài)以及輻射源狀態(tài)的預測和更新。

文獻［2］將目標與外輻射源的狀態(tài)向量合并為一個擴展狀態(tài)向量，來實現(xiàn)對目標以及輻射源狀態(tài)的同時更新，但這種方式狀態(tài)向量維數(shù)較大，濾波過程收斂較慢且容易發(fā)散。本文采用序貫方式依次更新目標與輻射源的運動狀態(tài)。在生成量測的預測時，量測方程同時需要目標與輻射源的運動狀態(tài)，這就導致了當前時刻已更新的目標狀態(tài)會對后更新的輻射源狀態(tài)造成影響。當已更新的目標狀態(tài)的誤差較大時，后面的輻射源狀態(tài)更新過程會放大該誤差。為了削弱這種影響，本文提出了基于交叉融合容積卡爾曼濾波算法（Cross-Fusion Cubature Kalman Filter，C-CKF），將不同更新順序得到的狀態(tài)估計進行融合，提高最新量測的利用率，減小隨機噪聲的影響，提高狀態(tài)估計的可信度。

2 問題描述

基于非合作外輻射源的單站外輻射源定位模型［7］見圖 1。

目標的狀態(tài)向量為 X=[x，x˙，y，y˙]T，輻射源的狀態(tài)向量為 Xt=[xt，x˙t，yt，y˙t]T，接收站的狀態(tài)向量為 Xr=[xr，x˙r，yr，y˙r]T。其中目標與外輻射源都做近似勻速直線運動，其狀態(tài)轉移方程為

其中Ft與Ft，k分別是目標與輻射源在運動過程中的狀態(tài)轉移矩陣，vk與vt，k是各自運動過程的過程噪聲。vk與vt，k都是零均值的高斯白噪聲，且相互獨立。

接收站分別接收來自輻射源的直達波以及目標反射的反射波，測量出目標相對接收站的方位角θk，輻射源相對于接收站的方位角φk，并通過兩路信號的到達時間差計算出兩路信號的傳播距離差r以及傳播距離差的變化率r˙。傳播距離差里包含著達到時間差的信息，傳播距離差的變化率里隱藏著多普勒頻移的量測信息。因此，構造量測向量為，同時量測方程為

其中wk為量測噪聲。wk為獨立的零均值高斯白噪聲。量測矩陣為其中dt表示輻射源與接收站之間的距離，dr表示目標與接收站之間的距離，dtr表示目標與輻射源之間的距離，d˙t、d˙r和 d˙tr分別是 dt、dr和 dtr的導數(shù)。其中

3 預備知識

3.1 容積卡爾曼濾波

針對非線性系統(tǒng)的濾波方法，通常分成兩類［8］。一類是將非線性函數(shù)線性化的方法，其代表是擴展卡爾曼。擴展卡爾曼濾波需要對具體的非線性函數(shù)求取雅克比矩陣，步驟繁瑣，因省略了高階項，濾波精度有限。另一類是對非線性函數(shù)的后驗概率密度進行模擬，因其常采用一系列確定的采樣點進行操作，也被稱為確定采樣型非線性濾波。其中比較有代表性的是無跡卡爾曼濾波（UKF）與容積卡爾曼濾波（CKF）?；凇敖品蔷€性函數(shù)的概率密度分布比近似非線性函數(shù)本身更容易”的思想，Julier等人在1997年提出了無跡卡爾曼濾波［9］，它采用了UT變換去近似非線性住狀態(tài)后驗分布。容積卡爾曼濾波［10］是加拿大學者Arasaratnam和Haykin在2009年提出的，它基于球面徑向容積準則采用了一系列容積點去近似非線性函數(shù)的后驗概率密度，是當前最接近理想貝葉斯濾波的近似算法。

容積卡爾曼濾波的流程如下。

1）狀態(tài)初始化

初始化狀態(tài)向量x^k，協(xié)方差矩陣Pk，過程噪聲協(xié)方差Q和量測噪聲協(xié)方差R。

2）構造容積點

其中，n為狀態(tài)向量的維數(shù)，ξi為容積點集。

3）狀態(tài)一步預測

其中，權重wi=1/(2n)。

4）重新構造容積點

5）量測一步預測

6）狀態(tài)更新

3.2 分布式狀態(tài)融合

多源信息融合中的狀態(tài)估計是一門不斷發(fā)展的技術［11］。對于來自多個傳感器的信息，通常包含了由不同觀測方式得到的信息，經過信息融合處理后，可以實現(xiàn)信息互補，減小數(shù)據(jù)的不確定性。

設 X(k+1)，Zi( )k+1是高斯變量，若X^i( )

k+1|k+1是給定Zi( )k+1時 X(k+1)的極大似然估計，Pi( )

k+1|k+1時對應的誤差協(xié)方差，則k+1時刻的狀態(tài)融合解［12］可以表示為

其中

4 基于交叉融合的容積卡爾曼濾波

4.1 傳遞誤差現(xiàn)象

由于輻射源是運動的，其每一時刻的運動狀態(tài)也需要進行預測和更新。鑒于目標與輻射源兩者的運動是獨立，不存在相互運動狀態(tài)之間的干擾，因此在濾波過程中分別對兩者的狀態(tài)進行更新。不失一般性的，在本文中先更新目標的運動狀態(tài)，再更新輻射源的運動狀態(tài)。此時，經過仿真實驗，發(fā)現(xiàn)當先更新的目標位置存在較大的誤差時，會對輻射源位置的更新有較大影響，并時常出現(xiàn)濾波無法收斂的狀況，如圖2所示。

圖2 傳遞誤差示意圖

當目標的跟蹤曲線偏離真實狀態(tài)時，輻射源的跟蹤曲線也隨之偏離真實狀態(tài)，并且兩者趨勢相近，顯示在RMSE上趨勢更為明顯。其原因在于目標的位置誤差會在輻射源狀態(tài)更新時，通過非線性量測函數(shù)H(X ，Xt，Xr)影響量測的預測值，帶來不必要的誤差。為了削弱這種誤差傳遞效應，同時提高濾波精度，我們來考慮兩種更新方式之中參數(shù)傳遞的關系：

根據(jù)卡爾曼濾波的設計思想，當前時刻的量測信息在濾波過程中起到的是對狀態(tài)一步預測的修正作用，使得修正后的最優(yōu)狀態(tài)估計滿足最小均方誤差估計。K+1時刻的狀態(tài)預測值 X^k+1|k僅包含k+1時刻之前的所有先驗信息，而k+1時刻的狀態(tài)估計值X^k+1還包含了k+1時刻的量測信息。

若按第一種方式更新輻射源的狀態(tài)信息，在這次濾波循環(huán)中，不會發(fā)生先更新的目標狀態(tài)的誤差經非線性函數(shù)傳遞后擴大了對輻射源狀態(tài)造成影響的現(xiàn)象，但是這種方式對于最新時刻量測的利用不夠充分，對于狀態(tài)一步預測的修正作用也欠佳。若按第二種方式更新輻射源的狀態(tài)信息，能夠充分得利用當前時刻的量測信息，但是會發(fā)生誤差傳遞現(xiàn)象。

4.2 交叉融合規(guī)則

為了減輕誤差傳遞現(xiàn)象的影響，同時改善噪聲隨機性對濾波精度的不利影響，基于多源信息融合［11］的思想，提出了序貫更新交叉融合算法。在分別更新目標以及輻射源運動狀態(tài)的過程中，都需要相互的運動狀態(tài)參數(shù)才能生成量測的預測。將依賴狀態(tài)一步預測值的更新稱為前置更新，將依賴狀態(tài)估計值的更新稱為后置更新。算法基本思想如下：

1）前置更新。在量測的預測階段，使用狀態(tài)一步預測值生成量測的預測，并完成狀態(tài)的前置更新，得到。

3）狀態(tài)融合估計。根據(jù)分布式狀態(tài)估計融合算法［12］，k+1時刻的狀態(tài)融合估計及狀態(tài)估計協(xié)方差為

圖3 交叉融合示意圖

4.3 交叉融合容積卡爾曼濾波算法（C-CKF）

以K+1時刻為例，算法的簡單流程如下：

步驟一：狀態(tài)一步預測

步驟二：前置更新（基于先驗信息）

步驟三：后置更新（基于后驗信息）

步驟四：狀態(tài)融合估計

該方法解決了更新順序可能帶來的隱患，將目標狀態(tài)的更新過程與輻射源狀態(tài)的更新過程完全一致；同時，通過融合的思想，削弱了誤差傳遞的影響，提高了量測信息的利用率，并提高了狀態(tài)估計精度。

5 仿真

在笛卡爾直角坐標系中，對所提算法進行MonteCarlo仿真實驗。MonteCarlo仿真次數(shù)取100。并以位置估計的均方根誤差（RootMean SquareError，RMSE）作為度量算法精度的性能指標，定義如下：

仿真場景如下：目標與非合作輻射源都做近似勻速直線運動，接收站做近似圓周運動。目標的初始狀態(tài)向量為X0=[20000m,200m/s,20000m,150m/s]T，過程噪聲協(xié)方差為Q=diag{(0.5m)2,(1m/s)2,(0.5m)2,(1m/s)2}。 輻 射 源 的 初 始 狀 態(tài) 向 量 為 Xt，0=[40000m,-100m/s,10000m,0m/s]T，其過程噪聲協(xié)方差與目標的一致。接收站的初始狀態(tài)向量為Xr，0=[6000m,600m/s,6000m,0m/s]T，運 動 半 徑R=3000m。量測噪聲協(xié)方差為R=diag{(0.005rad)2,(0.005rad)2,(100m)2,(2m/s)2}。仿真結果和分析如下。

對UKF方法、CKF方法與C-CKF方法分別進行仿真，對比三種方法定位誤差的RMSE，仿真結果見圖4。

圖4 （a）目標跟蹤誤差曲線

圖4 （b）輻射源跟蹤誤差曲線

由圖4（a）與圖4（b）可知，三種濾波方法均能實現(xiàn)對目標以及輻射源的穩(wěn)定跟蹤。在三種濾波方法中，C-CKF方法、CKF方法在收斂速度以及濾波精度等方面都要優(yōu)于UKF方法。這是因為CKF采用三階容積法則的數(shù)值積分方法近似高斯積分的思想，其逼進非線性函數(shù)后驗概率分布的精度要高于采用UT變換的UKF方法。同時，本文采用的交叉方法屬于對量測信息的二次利用，因提升了對量測信息的利用，減小了隨機誤差的影響，擁有優(yōu)于另外兩種方法的定位精度以及收斂速度。

為進一步探究隨機噪聲對于定位精度的影響，分別改變狀態(tài)噪聲的各個參量，并進行仿真。各仿真環(huán)境見表1。

表1 不同噪聲場景的均方差值

圖5 （a）目標跟蹤誤差曲線

圖5 （b）輻射源跟蹤誤差曲線

圖5 （c）目標跟蹤誤差曲線

圖5（d）輻射源跟蹤誤差曲線

圖5 （a）與圖5（b）是不同位置噪聲環(huán)境下，目標與輻射源的跟蹤誤差曲線。圖5（c）與圖5（d）是不同速度噪聲環(huán)境下，目標與輻射源的跟蹤誤差曲線。由圖5（a）到圖5（d）可知，當狀態(tài)噪聲增大時，目標定位誤差以及輻射源定位誤差均會隨之增大。同時對比圖5（a）與圖（b），圖5（c）與圖5（d），輻射源定位誤差比目標定位誤差更容易受到隨機噪聲的影響。對比圖5（b）與圖5（d）可知，狀態(tài)噪聲中速度分量對于定位誤差的影響要大于位置分量的影響。

6 結語

本文研究了利用非合作運動外輻射源進行運動目標的定位跟蹤問題，將目標運動狀態(tài)與輻射源運動狀態(tài)作為兩個獨立的狀態(tài)向量，分別進行更新，并采取不同的更新順序分別得到對應的狀態(tài)估計，經過融合處理后得到最優(yōu)的狀態(tài)估計。這種序貫更新目標與輻射源狀態(tài)的方式相比將目標運動狀態(tài)與輻射源運動狀態(tài)聯(lián)立為一個擴展運動狀態(tài)的更新方式，能夠有效減小運動狀態(tài)維數(shù)，防止濾波發(fā)散并提高收斂速度，更重要的是，為處理多目標情形預留處理接口，并且方便對目標狀態(tài)以及輻射源狀態(tài)進行復雜處理。狀態(tài)估計交叉融合階段可以更加充分地利用最新時刻的量測信息，以及消除不同更新順序帶來的潛在影響，同時，冗余信息還有助于減小隨機誤差的影響。仿真結果證明，CF-CKF方法可以同時實現(xiàn)目標以及輻射源的定位跟蹤，并且在收斂速度、定位誤差方面均優(yōu)于UKF、CKF方法。