袁 強, 武 旭, 胡思繼, 段清亮

(1.北京交通大學(xué)交通運輸學(xué)院, 北京 100044；2.中國鐵路濟南局集團有限公司濟南調(diào)度所, 山東濟南 250001)

高速鐵路列車跨線運行是我國高速鐵路網(wǎng)常見的客運組織方式，承擔(dān)不同客運專線之間的客流輸送。因高速鐵路跨線列車具有便捷旅客出行、減少換乘次數(shù)、縮短旅行時間、服務(wù)質(zhì)量高等優(yōu)點，受到廣大旅客的青睞。為滿足跨線客流的運輸需求及充分利用高速線的運輸能力，我國高速鐵路采用“高速線上本線列車和跨線列車共線運行”的運輸組織模式，即高速線路上除了運行本線高速列車外，還運行一定比例的由銜接車站接入的跨線列車。本線列車和跨線列車共線運行的運輸組織模式在實現(xiàn)客流運輸直達性、減少旅客換乘問題的同時，對高速鐵路的行車組織造成了一定影響。文獻[1]研究表明，從天津站、濟南站、徐州站接入京滬高速線的跨線列車平均晚點概率分別為53.6%、37.2%、70.6%，跨線列車到達正點率不容樂觀。在高速線負(fù)荷較高時，跨線列車進入高速線晚點較多，必將產(chǎn)生列車運行之間的沖突[2]。在繁忙干線上，如果在運輸過程中不能有效地控制晚點傳播，將會造成大規(guī)模的連帶晚點，影響高速線正常行車，對時效性要求很高的高速鐵路運營造成極大的負(fù)面影響。隨著我國高速鐵路網(wǎng)規(guī)模的擴大，跨線列車運行的比例將會越來越高[3]。從高速線客運質(zhì)量提升的角度出發(fā)，鐵路企業(yè)必須重視跨線列車的晚點問題，掌握跨線列車晚點分布規(guī)律，為研究列車晚點傳播及優(yōu)化運輸組織等提供基礎(chǔ)。因此，有必要對高速鐵路跨線列車的晚點時長分布模型進行研究。

1 研究現(xiàn)狀

列車晚點分布一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的問題。既有研究主要圍繞普速鐵路，基于實績數(shù)據(jù)分析列車晚點、列車晚點分類等方面研究列車晚點問題。文獻[4]總結(jié)出普速鐵路列車晚點服從負(fù)指數(shù)分布。文獻[5]運用數(shù)理統(tǒng)計分析的方法驗證了列車晚點分布與負(fù)指數(shù)分布吻合。長期以來，國內(nèi)外關(guān)于列車晚點分布模型的研究比較薄弱，且受限于難以獲得列車運行實績數(shù)據(jù)，學(xué)者們常假設(shè)晚點分布模型[6]進行理論分析。在基于列車實績數(shù)據(jù)研究列車晚點方面，文獻[7]基于京滬高鐵一個半月的列車運行實績數(shù)據(jù)，分析列車區(qū)間運行時間與發(fā)車晚點的關(guān)系，以及列車停站時間與到達晚點的關(guān)系。文獻[8]基于高速列車實績運行數(shù)據(jù)，繪制了高速列車晚點分布曲線。在科學(xué)研究中，分類研究是常用方法之一，通過分類將問題細(xì)致化和微觀化。文獻[9]基于英國普速鐵路列車運行晚點數(shù)據(jù)，對所有列車晚點數(shù)據(jù)和各條線路列車晚點數(shù)據(jù)進行分類研究。文獻[10]基于廣鐵集團高速列車運行實績數(shù)據(jù)，對不同致因下的高速鐵路列車初始晚點分布模型進行分類研究，但并未從本線和跨線角度對列車到達晚點進行分類研究。既有研究中，關(guān)于高速鐵路本線和跨線列車晚點的分類研究較少，且既有的關(guān)于列車晚點分布的研究存在兩個問題：一是列車晚點分布模型可以很好的擬合列車晚點數(shù)據(jù)，但無法解釋該晚點模型產(chǎn)生的機理；二是既有的列車晚點分布研究都假設(shè)用于擬合的所有列車晚點數(shù)據(jù)都服從同一分布，但又沒有通過任何擬合前的分析來保證同一分布的假設(shè)條件能夠得到滿足。因此，為解決以上問題，本文基于京滬高速鐵路列車運行實際數(shù)據(jù)，從本線和跨線角度分類，使用超統(tǒng)計理論對跨線列車晚點的機理及晚點時長分布模型進行研究。

2 跨線列車晚點超統(tǒng)計理論模型

2.1 高速鐵路跨線列車晚點時長分布與超統(tǒng)計理論

通常列車晚點是列車在運行過程中受到設(shè)備因素、環(huán)境因素和人為因素等方面的影響后逐漸累積的延遲。相比于本線列車，跨線列車受各種因素的影響更為顯著。設(shè)T是跨線列車在運行過程中受到各種因素影響后到達晚點時長t的集合。集合T的時間序列如圖1所示，從時間序列圖中可以明顯看出跨線列車晚點時長分布是一個復(fù)雜的非平穩(wěn)隨機過程，且存在異常晚點頻繁出現(xiàn)的情況，較本線列車晚點情況復(fù)雜，對于具有此類特性的過程，可采用超統(tǒng)計理論建立分布統(tǒng)計模型[11]。

圖1 跨線列車晚點時長序列

超統(tǒng)計理論[12](Superstatistics)是統(tǒng)計力學(xué)或統(tǒng)計物理學(xué)的一個分支，致力于研究非線性和非平衡系統(tǒng)，其特征在于使用多個不同的統(tǒng)計模型的疊加來實現(xiàn)期望模型的非線性[13]。目前，超統(tǒng)計理論已成為一個強大的工具來描述復(fù)雜系統(tǒng)，已經(jīng)在物理學(xué)[14]、醫(yī)學(xué)[15]、工程學(xué)[16]等復(fù)雜系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。超統(tǒng)計理論將復(fù)雜的非平衡系統(tǒng)現(xiàn)象模擬為兩個隨機變量的模型的疊加，一個對應(yīng)相對微觀的平衡系統(tǒng)，每個子系統(tǒng)(或者單元)內(nèi)部平衡，且服從確定的概率分布；另一個對應(yīng)緩慢變化的參數(shù)β，服從一定的統(tǒng)計分布f(β)。通過兩層分布模型的疊加，得出整個復(fù)雜系統(tǒng)的分布模型。

當(dāng)研究對象是整條線路的跨線列車到達晚點分布時，可以將該研究對象定義為一個宏觀層的系統(tǒng)，那么該宏觀層的系統(tǒng)包含若干個相對微觀的單元(車站)，每個車站都服從同一類型的分布模型，僅有環(huán)境參數(shù)的差異，該環(huán)境參數(shù)是隨車站環(huán)境及宏觀系統(tǒng)所處的路網(wǎng)環(huán)境的變化而緩慢變化的參數(shù)β，且服從一定的統(tǒng)計分布。因此，該宏觀系統(tǒng)可以使用超統(tǒng)計理論來建模。對于單個車站，在較短的時間范圍內(nèi)，車站的環(huán)境參數(shù)β可以看作是一個定值，列車到達晚點服從一個確定的分布規(guī)律(負(fù)指數(shù)分布)，此時這種狀態(tài)為一種平衡狀態(tài)。但在較長的時間尺度下，該參數(shù)不是固定不變的，是隨時間變化而有所波動的。當(dāng)車站環(huán)境或宏觀系統(tǒng)所處的路網(wǎng)環(huán)境發(fā)生變化，原來的平衡狀態(tài)被打破，變?yōu)槲蓙y的、有異常晚點值出現(xiàn)的現(xiàn)象，列車運行秩序偏離列車運行時刻表，產(chǎn)生了更為復(fù)雜的非平衡狀態(tài)，這時就需要列車調(diào)度員采取適當(dāng)?shù)恼{(diào)整措施來使列車運行恢復(fù)正常。一段時間后，車站又重新達到一個新的平衡狀態(tài)，環(huán)境參數(shù)發(fā)生改變，以此類推。將一個平衡態(tài)到另一個平衡態(tài)之間經(jīng)歷的時間記為τ，那么在較長的時間尺度T(T?τ)上，由多個較小時間尺度的車站平衡系統(tǒng)組成該宏觀層的跨線列車晚點復(fù)雜系統(tǒng)，如圖2所示，該復(fù)雜系統(tǒng)可以使用超統(tǒng)計理論來建模。在超統(tǒng)計理論中，微觀平衡系統(tǒng)建模是跨線列車晚點宏觀系統(tǒng)建模的基礎(chǔ)，因此首先以單個車站為研究對象，對微觀平衡系統(tǒng)進行建模。

圖2 宏觀層跨線列車晚點復(fù)雜系統(tǒng)

2.2 微觀系統(tǒng)建模

從微觀角度，運用統(tǒng)計分析方法對單個車站跨線列車到達晚點時長進行分析，在正常情況下，列車的到達晚點時長分布可以用負(fù)指數(shù)分布很好地描述[17]，給定車站環(huán)境參數(shù)的條件概率分布為

P(t|β)=βe-β t

(1)

式(1)為較短時間尺度內(nèi)微觀平衡系統(tǒng)的列車晚點分布模型。t表示列車實際到達時刻與圖定到達時刻之差，即列車晚點時長(單位：min)。P(t|β)表示短時間內(nèi)單個車站在環(huán)境參數(shù)β給定的條件下，列車晚點時長t的概率密度。β是短時間內(nèi)的車站環(huán)境參數(shù)，是一個受車站設(shè)施設(shè)備、車站的運營環(huán)境(車站突發(fā)事件、車站工作人員罷工)、線路設(shè)備故障、惡劣天氣、暑期客流等方面綜合影響的正值參數(shù)，且該參數(shù)具有時空不均勻性，即同一時間段的不同車站或同一車站在不同時間段的平衡狀態(tài)下的環(huán)境參數(shù)有所差異。車站環(huán)境參數(shù)β可由該車站對應(yīng)時間尺度內(nèi)的列車晚點數(shù)據(jù)擬合進行確定。

列車到達晚點分布始終遵循“小晚點，大概率；大晚點，小概率”[18]的原則。不同環(huán)境參數(shù)β下的列車晚點分布曲線如圖3所示，對于給定的晚點時長t，β值越大，列車發(fā)生較大晚點值的概率越小，意味著大多數(shù)跨線列車能夠較及時地到達車站，反之β值越小，表示列車發(fā)生較大晚點值的概率變大，到達車站的列車平均晚點值增大。

圖3 不同環(huán)境參數(shù)的列車晚點分布曲線

2.3 宏觀系統(tǒng)建模

時間維度上，單個車站的環(huán)境是隨時間推移而不斷變化的，由于波動的環(huán)境參數(shù)β的存在，使得長時間尺度的單個車站的列車到達晚點分布模型為疊加統(tǒng)計變量分布模型；空間維度上，不同車站環(huán)境各異，這些環(huán)境差異最終都反映在各個車站波動的環(huán)境參數(shù)上。對于整條高速線路的跨線列車到達晚點分布，雖然不同車站有環(huán)境參數(shù)的差異，但都服從同一類型的分布模型，因此用第二層模型描述空間和時間兩個維度的環(huán)境參數(shù)β的概率分布，用f(β)表示。那么在長時間尺度上，宏觀層跨線列車晚點分布模型為兩層模型的疊加。故高速鐵路跨線列車到達晚點的邊際分布為

(2)

構(gòu)建第二層模型f(β)，Xi(i=1,2,3,…,n)為n個不同的高斯隨機變量，可以將環(huán)境影響的波動參數(shù)β看成來自不同影響因素Xi的累積，則有

(3)

假設(shè)這些影響因素相互獨立，并且服從均值為0的正態(tài)分布，則β服從自由度為n的2-分布。

(4)

β0為波動參數(shù)β的均值，計算公式為

(5)

將式(1)、式(4)帶入式(2)，得到高速鐵路跨線列車晚點的邊際分布為

(6)

p(t)～(1+b(1-q)t)1/(1-q)

(7)

在復(fù)雜宏觀系統(tǒng)的建模過程中，運用超統(tǒng)計理論的思想，從列車晚點機理中產(chǎn)生了跨線列車晚點時長分布的q-指數(shù)分布模型，見式(7)。q-指數(shù)函數(shù)是非廣延熱力學(xué)中常用的一種變形函數(shù)，最早由Tsallis[19]提出，因此也被稱為Tsallis統(tǒng)計量。q-指數(shù)函數(shù)被定義為eq(x)=(1+b(1-q)x)1/(1-q)，是一個正偏態(tài)分布函數(shù)，其中1+b(1-q)x≥0，q是熵指數(shù)[20]，1

圖4 不同熵指數(shù)q的q-指數(shù)分布概率密度函數(shù)

3 數(shù)據(jù)分析

本文的列車運行實績數(shù)據(jù)來源于鐵路客戶服務(wù)中心(12306網(wǎng)站)。從12306網(wǎng)站獲取2018年9月1日—2018年9月30日京滬高速鐵路各站的列車圖定到達時間、實際到達時間等基本信息，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后得到京滬高速鐵路列車晚點時長數(shù)據(jù)。京滬高速鐵路列車晚點時長散點圖如圖5所示，橫坐標(biāo)為9月1日—9月30日京滬高速鐵路列車到達車站的晚點記錄序號，縱坐標(biāo)為列車晚點時長，由列車晚點時長散點圖可以看出京滬高速鐵路列車晚點數(shù)據(jù)在較小的晚點時長附近有較強的密集性，同時也存在較大的晚點值區(qū)域20～60 min和晚點異常值區(qū)域60～180 min。圖6是京滬高速鐵路列車晚點時長以1 min為間隔的頻數(shù)分布直方圖，橫坐標(biāo)表示列車晚點時長，縱坐標(biāo)為晚點時長出現(xiàn)的頻數(shù)，列車晚點最大值為175 min，最小值為1 min。

圖5 京滬高速鐵路列車晚點時長散點圖

圖6 京滬高速鐵路列車晚點時長直方圖

從京滬高速鐵路列車晚點時長樣本數(shù)據(jù)中篩選出京滬高速鐵路跨線列車晚點數(shù)據(jù)，進行跨線列車晚點數(shù)據(jù)的分布特性及模型研究。京滬高速鐵路跨線列車晚點時長直方圖如圖7所示，比較京滬高速鐵路列車晚點時長直方圖和跨線列車晚點時長直方圖可以看出,京滬高速鐵路列車晚點的異常值很大程度來源于京滬高速鐵路跨線列車晚點數(shù)據(jù)。晚點異常值的出現(xiàn)使得跨線列車晚點分布具有厚尾性，且跨線列車晚點樣本數(shù)據(jù)的峰度為43.15，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的峰度等于3，43.15>3，表明跨線列車晚點時長分布具有“尖峰厚尾”性。跨線列車晚點數(shù)據(jù)的厚尾性可使用Q-Q圖來檢驗。當(dāng)被檢驗的數(shù)據(jù)符合所參照的分布時，Q-Q圖中各點近似一條直線；若Q-Q圖的上端右偏離該直線(向下傾斜)，則表示被檢驗的樣本數(shù)據(jù)相對參照的分布來說右尾具有厚尾性[22]。關(guān)于分布是否具有厚尾性一般都是與指數(shù)分布的尾部相比較而給予判斷[23]。參照指數(shù)分布，跨線列車晚點時長數(shù)據(jù)的Q-Q圖如圖8所示，可以看出Q-Q圖的中部較接近直線，但上端右偏離直線，向下傾斜，表明其尾端比指數(shù)分布的尾端要厚，即跨線列車晚點時長數(shù)據(jù)具有明顯的尖峰厚尾特點。

圖7 京滬高速鐵路跨線列車晚點時長直方圖

圖8 跨線列車晚點時長數(shù)據(jù)Q-Q圖

4 q-指數(shù)函數(shù)的擬合優(yōu)度與精度檢驗

基于跨線列車晚點數(shù)據(jù)特征，結(jié)合超統(tǒng)計理論分析列車晚點機理建立了q-指數(shù)分布模型后，還需對模型的擬合優(yōu)度和精度進一步檢驗。

4.1 非線性回歸擬合

由京滬高速鐵路跨線列車晚點時長直方圖(圖7)的分布形狀及其分布特性檢驗結(jié)果可以判斷出跨線列車的晚點分布曲線具有正偏態(tài)、尖峰厚尾的分布特征，即頻數(shù)分布的峰度較高且向左偏移，長尾向右側(cè)延伸并存在冪律的漸近衰減。依據(jù)直方圖外輪廓曲線與總體的概率密度函數(shù)曲線接近的原理及概率統(tǒng)計相關(guān)理論可知，符合正偏態(tài)、尖峰厚尾分布規(guī)律的分布函數(shù)包括Weibull分布、Lognormal分布、Power分布等。對跨線列車晚點時長樣本數(shù)據(jù)進行非線性回歸擬合，以擬合優(yōu)度R-square作為模型選擇的標(biāo)準(zhǔn)，分別對q-指數(shù)分布、Power分布、Lognormal分布、Weibull分布及常用于建模普速鐵路列車晚點的指數(shù)分布等5個模型進行對比，跨線列車晚點數(shù)據(jù)擬合情況如圖9所示，圖中的藍色點為跨線列車晚點時長樣本數(shù)據(jù)，橫坐標(biāo)表示跨線列車晚點時長，縱坐標(biāo)表示對應(yīng)晚點時長的頻率，不同分布模型的擬合優(yōu)度數(shù)值結(jié)果見表1。

(a)q-指數(shù)分布模型擬合

(b)Power分布模型擬合

(c)Lognormal分布模型擬合

(d)Weibull分布模型擬合

(e)指數(shù)分布模型擬合

(f)5類分布模型擬合圖9 非線性回歸擬合

曲線擬合的優(yōu)劣可以用誤差平方和、均方根誤差、擬合優(yōu)度R-square來衡量。誤差平方和、均方根誤差越小，越接近0，R-square越接近1，表明曲線擬合效果越好[24]。通過比較擬合優(yōu)度的數(shù)值結(jié)果發(fā)現(xiàn)q-指數(shù)模型、Power模型、Lognormal模型、Weibull模型、指數(shù)分布模型都有較大的R-square值，均具有較好的擬合優(yōu)度，其中q-指數(shù)分布模型的擬合優(yōu)度最佳。

表1 跨線列車晚點數(shù)據(jù)非線性回歸擬合結(jié)果

4.2 分布模型的K-S檢驗

在進行跨線列車晚點時長樣本數(shù)據(jù)的非線性回歸擬合時，以上5類分布模型都具有較大的R-square值，雖然R-square值較大，但模型的精度是否可行還需通過假設(shè)檢驗進行判斷。常用的假設(shè)檢驗方法有卡方檢驗法和K-S檢驗法?？ǚ綑z驗法是分區(qū)間來檢驗經(jīng)驗分布函數(shù)f(xi)與理論分布函數(shù)g(xi)之間的偏差，若采用卡方檢驗法對跨線列車晚點時長樣本數(shù)據(jù)進行檢驗，需將晚點時長樣本數(shù)據(jù)進行區(qū)間劃分，統(tǒng)計區(qū)間內(nèi)的實際頻數(shù)與理論頻數(shù)，并將理論頻數(shù)不足5的區(qū)間進行合并處理，整個檢驗過程依賴區(qū)間劃分，且當(dāng)區(qū)間的實際頻數(shù)與理論頻數(shù)偏差較小時，并不意味著單個樣本數(shù)據(jù)點的實際頻數(shù)與理論頻數(shù)偏差較小，即無法確定每個樣本數(shù)據(jù)點的精確的擬合情況。與卡方檢驗法相比，K-S檢驗法不是分區(qū)間來計算偏差，而是對每個樣本數(shù)據(jù)點都檢驗經(jīng)驗分布f(xi)與理論分布g(xi)之間的偏差，具有較高的精確性。因此，采用精確性較高的K-S檢驗法對京滬高速鐵路跨線列車晚點數(shù)據(jù)進行假設(shè)檢驗。

K-S檢驗法的全稱是Kolmogorov-Smirnov檢驗法，是一種非參數(shù)檢驗方法。該檢驗方法基于累積分布函數(shù)，用以檢驗一個經(jīng)驗分布f(xi)與另一個理論分布g(xi)是否相同或兩個經(jīng)驗分布是否相同。分別將q-指數(shù)模型、Power模型、Lognormal模型、Weibull模型、指數(shù)模型作為理論分布，采用K-S檢驗確定模型的精度是否滿足要求。以跨線列車晚點樣本數(shù)據(jù)是否服從q-指數(shù)分布的K-S檢驗為例，設(shè)原假設(shè)H0：跨線列車晚點數(shù)據(jù)服從q-指數(shù)分布；備擇假設(shè)H1：跨線列車晚點數(shù)據(jù)不服從q-指數(shù)分布。

表2 模型的Kolmogorov-Smirnov檢驗準(zhǔn)確度

由計算結(jié)果可知，q-指數(shù)分布模型、Power分布模型與經(jīng)驗分布的最大偏差均小于K-S檢驗的臨界值，因此接受原假設(shè)，從理論上講，q-指數(shù)模型和Power模型都可以用來建模跨線列車晚點時長。但相比較Power分布模型，q-指數(shù)分布模型有較大的R-quare和較小的偏差。目前，隨著高速鐵路成網(wǎng)運營及高速線路客流的持續(xù)增長，我國部分高速鐵路通過能力已處于十分緊張的狀態(tài)，在這種線路能力緊張的狀態(tài)下，列車晚點分布模型越精確，越有利于提高高速鐵路運行質(zhì)量分析的精度，同時也有利于提高高速鐵路實際調(diào)度指揮及運行圖鋪畫水平。因此，從跨線列車晚點分布模型的精確性及模型產(chǎn)生的機理角度綜合考慮，q-指數(shù)分布模型eq,b,c(t)=(1+b(1-q)t)1/(1-q)作為跨線列車晚點時長分布模型較優(yōu)。

采用非線性最小二乘法來估計京滬高速鐵路跨線列車晚點時長分布模型中的參數(shù)q和b，得參數(shù)值q=1.191，b=-0.465 5。不同線路跨線列車晚點分布模型中的參數(shù)是有差異的，但參數(shù)確定的方法類似。實際中也可通過對比q值大小反映列車運行秩序的好壞，較小的q值表明列車運行秩序較好。

5 結(jié)論

基于京滬高速鐵路列車運行實績數(shù)據(jù)，運用超統(tǒng)計理論，建立基于超統(tǒng)計理論的跨線列車晚點時長分布模型，得出如下結(jié)論：

(1)當(dāng)研究對象是整條線路的跨線列車到達晚點分布時，可以將其分析定義為一個宏觀層系統(tǒng)，該宏觀層系統(tǒng)包含若干個相對微觀的單元(車站)。對于單個車站，在較短時間尺度內(nèi)，列車到達晚點服從含有車站環(huán)境參數(shù)β的負(fù)指數(shù)分布，將其定義為微觀平衡系統(tǒng)；在較長時間尺度下，車站環(huán)境是隨時間推移而不斷變化的，由于波動的環(huán)境參數(shù)β的存在，長時間尺度的單個車站的列車到達晚點分布為疊加統(tǒng)計變量分布模型。在空間維度上，不同車站環(huán)境各異，這些環(huán)境差異最終都反映在各個車站波動的環(huán)境參數(shù)上。因此，當(dāng)研究對象是整條高速線的跨線列車到達晚點分布時，第一層模型為描述微觀平衡系統(tǒng)的含有波動參數(shù)β的負(fù)指數(shù)分布模型，第二層模型為描述空間和時間兩個維度波動的環(huán)境參數(shù)β的概率分布，那么在長時間尺度上，宏觀層跨線列車晚點分布模型為兩層模型的疊加。通過微觀的平衡系統(tǒng)和波動參數(shù)兩層分布模型的疊加，得出整個復(fù)雜系統(tǒng)的q-指數(shù)分布模型。

(2)以京滬高速鐵路列車運行實績數(shù)據(jù)為依據(jù)，對跨線列車晚點時長樣本數(shù)據(jù)進行非線性回歸擬合，以擬合優(yōu)度值作為模型選擇的標(biāo)準(zhǔn)，確定與京滬高速鐵路跨線列車晚點樣本數(shù)據(jù)較擬合的分布模型。數(shù)據(jù)擬合結(jié)果表明q-指數(shù)分布、指數(shù)分布、Weibull分布、Power分布、對數(shù)正態(tài)分布等5個模型都具有較好的擬合性。進一步使用擬合準(zhǔn)確度為D0.05水平下的K-S假設(shè)檢驗法對具有較大擬合優(yōu)度值的q-指數(shù)分布模型、指數(shù)分布模型、Weibull分布模型、Power分布模型、對數(shù)正態(tài)分布模型的精度進行檢驗。將模型的K-S檢驗結(jié)果結(jié)合目前高速鐵路對列車晚點分布模型精確性需求，確定出使用q-指數(shù)分布建模高速鐵路跨線列車晚點時長分布。

本文使用超統(tǒng)計理論分析跨線列車晚點時長分布規(guī)律，得到的跨線列車晚點分布模型不僅能夠較好地擬合列車晚點數(shù)據(jù)，且模型產(chǎn)生的機理能夠得到較好的解釋。