洪 鷹，徐世超，肖聚亮，王國棟，張智濤，劉宏業(yè)，段文斌，滕宗燁

(1. 天津大學(xué)機構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點實驗室，天津 300350；2. 天津揚天科技有限公司，天津 300073)

隨著工業(yè)的發(fā)展，人們對協(xié)作機器人的要求進一步提高，要求機器人的伺服控制系統(tǒng)有很高的軌跡跟蹤精度、無超調(diào)的定位過程和更快的響應(yīng)速度.目前，在機器人領(lǐng)域應(yīng)用最多的還是經(jīng)典 PID反饋控制系統(tǒng)，而通過調(diào)整控制器的增益來提高系統(tǒng)的跟蹤精度和響應(yīng)速度是最簡單最容易實現(xiàn)的方法[1].基于此，Chang等[2]提出一種交流伺服系統(tǒng)的非線性自適應(yīng)反逐步控制方案，給出了控制器增益的選擇準則；Ji等[3]將有源控制器參數(shù)作為機械手姿態(tài)和負載的函數(shù)進行切換來調(diào)整 PID控制器增益.二者都是利用動態(tài)調(diào)整增益的方法來改善控制性能，從而使得伺服系統(tǒng)在電機高轉(zhuǎn)速時具有較好的跟蹤特性，在電機低轉(zhuǎn)速時具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差.但調(diào)整控制系統(tǒng)開環(huán)增益，是在犧牲一種特性的情況下提升另一種特性，無法兼顧系統(tǒng)的跟蹤精度和系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與動態(tài)品質(zhì).

為了解決一般反饋控制系統(tǒng)在提高控制精度與確保系統(tǒng)穩(wěn)定性之間存在的矛盾，提升伺服控制系統(tǒng)的綜合性能，針對機器人控制系統(tǒng)，一些學(xué)者提出了前饋控制加反饋控制的復(fù)合控制方法.孫玉陽等[4]利用遺傳算法對機器人動力學(xué)參數(shù)進行離線辨識，將優(yōu)化后的動力學(xué)模型作為前饋函數(shù)，一定程度上提升了前饋力矩的準確度，但該技術(shù)沒有考慮關(guān)節(jié)中傳動機構(gòu)的彈性作用，在實際應(yīng)用中容易引發(fā)機械諧振、速度控制不精確，而且離線辨識方法不具有通用性，對于不同結(jié)構(gòu)的機器人，慣性參數(shù)的組合方式就不相同，缺乏普適性.Wang等[5]提出了一種利用BP(back propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法代替動力學(xué)模型的力矩前饋控制方法，避免了由于動力學(xué)模型建立不準確而帶來的精度下降的問題，同時也省去了復(fù)雜的動力學(xué)參數(shù)辨識環(huán)節(jié)，實驗證明該方法能夠提升機器人的軌跡跟蹤精度.但 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法有其自身的缺點，例如學(xué)習(xí)速度慢、容易陷入局部極小值等，從而在一定程度上降低了該種方法的可操作性.Zeeshan等[6]和Rene等[7]提出將動力學(xué)模型與學(xué)習(xí)算法相結(jié)合來對前饋函數(shù)進行優(yōu)化的方法，既降低了建立機器人逆動力學(xué)模型的難度，又簡化了訓(xùn)練學(xué)習(xí)算法的復(fù)雜過程，同時提升了前饋模型的準確度.但這種優(yōu)化方法依然是離線優(yōu)化，不能將機器人實際運行過程中的慣量變化實時反映到前饋模型中，一定程度上會影響前饋慣性力矩的準確性.

本文提出了一種新型的可應(yīng)用于輕型模塊化協(xié)作機器人的前饋控制技術(shù)，該技術(shù)充分考慮機器人關(guān)節(jié)的傳動機構(gòu)中由于存在齒輪、皮帶、諧波減速器等部件而引發(fā)的柔性問題，將關(guān)節(jié)電機與電機的負載拆分成兩個剛體，構(gòu)造兩剛體彈簧系統(tǒng)并建立數(shù)學(xué)模型.另外，由于機器人在運行過程中，各關(guān)節(jié)電機的負載轉(zhuǎn)動慣量是不停變化的，該技術(shù)引入在線辨識算法，辨識各關(guān)節(jié)電機的負載轉(zhuǎn)動慣量，實時修正前饋通道上動力學(xué)模型中的慣性參數(shù)，得到更精確的前饋力矩，使伺服系統(tǒng)保持優(yōu)秀的跟蹤性能.為了驗證該技術(shù)的有效性，本文基于實驗室研制的一種輕型模塊化機器人對慣量前饋控制進行了仿真.結(jié)果表明，該技術(shù)能夠顯著提升機器人伺服控制系統(tǒng)的動態(tài)特性和軌跡跟蹤精度.

1 復(fù)合控制系統(tǒng)設(shè)計

1.1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計

慣量前饋控制技術(shù)是在傳統(tǒng)的機器人驅(qū)動器的三閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上增加一個前饋模塊，這個前饋模塊本質(zhì)上屬于力矩前饋，但和一般的力矩前饋有所區(qū)別.普通的力矩前饋模塊中的動力學(xué)模型只需 3個輸入：位移、速度、加速度，便可得到前饋力矩輸出，模型中的慣性矩陣中的慣性參數(shù)多由SolidWorks、UG等三維軟件測量而來，或者通過動力學(xué)參數(shù)離線辨識而來[8].而本文提出的基于機器人動力學(xué)模型的力矩前饋需要 4個輸入：位移、速度、加速度和慣量矩陣，慣量矩陣中對角線上元素由在線辨識的慣量值轉(zhuǎn)化而來.

圖1是本文提出的慣量前饋控制結(jié)構(gòu)示意圖.首先，根據(jù)作業(yè)要求規(guī)劃機器人的笛卡爾空間軌跡，控制器求解機器人的逆運動學(xué)模型，計算出機器人關(guān)節(jié)角位移q、角速度角加速度等.以第i關(guān)節(jié)為例，控制器一方面將該關(guān)節(jié)角位移信號qi和角速度信號˙qi經(jīng)減速比R轉(zhuǎn)換為關(guān)節(jié)電機的位移指令信號和速度指令信號，輸入到驅(qū)動器中，速度指令信號作為前饋速度信號qω與位置控制器的輸出ω進行疊加作為速度環(huán)的輸入，再經(jīng)速度控制器、電流控制器的調(diào)控作用，得到電機的輸入電流im，im與電機轉(zhuǎn)矩常數(shù)K相乘，得到電機電磁力矩Te.被控系統(tǒng)包括電機、負載、電機與負載之間的傳動機構(gòu)，將被控系統(tǒng)等效為兩剛體彈簧系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入為電磁力矩Te，輸出為電機轉(zhuǎn)速mω與負載轉(zhuǎn)速Lω，在機器人運行過程中，采集Te與mω信號，作為在線辨識單元的輸入，輸出第i關(guān)節(jié)電機負載的等效轉(zhuǎn)動慣量辨識值與該關(guān)節(jié)電機轉(zhuǎn)動慣量Jmi相加得到關(guān)節(jié)i的總的等效轉(zhuǎn)動慣量慣量轉(zhuǎn)換單元的輸入為各關(guān)節(jié)總的等效轉(zhuǎn)動慣量，利用等效轉(zhuǎn)動慣量與實際轉(zhuǎn)動慣量以及轉(zhuǎn)動慣量與慣性矩陣的關(guān)系，輸出慣量矩陣作為逆動力學(xué)模型的一個輸入，替換模型中的慣性矩陣；另一方面，控制器將根據(jù)規(guī)劃軌跡計算出的各關(guān)節(jié)角位移q、角速度角加速度˙輸入到動力學(xué)模型當中，計算出機器人在運動過程中各關(guān)節(jié)所需驅(qū)動力矩τ.然后根據(jù)力矩與電流的關(guān)系，將計算出的前饋力矩轉(zhuǎn)換為前饋電流iq，疊加到驅(qū)動器電流環(huán)的輸入端，完成串聯(lián)機器人的慣量前饋控制.

圖1 慣量前饋控制結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Structural diagram of inertia feedforward control

1.2 機器人動力學(xué)建模與驗證

實驗用協(xié)作機器人模型如圖2所示.

由于機器人在運行過程中，前3個關(guān)節(jié)的力矩變化較后3個關(guān)節(jié)更為明顯，所以取前3個關(guān)節(jié)為代表對機器人動力學(xué)模型進行驗證，分別給定前3個關(guān)節(jié)的角位移與時間的關(guān)系，即

圖2 機器人三維模型Fig.2 Robot 3D model

利用拉格朗日動力學(xué)公式[9]對圖 2中的輕型模塊化串聯(lián)機器人進行動力學(xué)建模，即

式中q1、q2、q3分別為關(guān)節(jié)1、2、3的角位移，rad.

后3個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速設(shè)為0，機器人從初始零位開始運動，利用 Matlab和 Adams聯(lián)合仿真驗證.圖3(a)、(b)、(c)分別為前 3個關(guān)節(jié)力矩的驗證曲線，圖3(d)為前3關(guān)節(jié)力矩的誤差曲線.

由圖3的驗證結(jié)果可以看出：關(guān)節(jié)1力矩的誤差峰值為0.945 N· m，相對誤差為1.46%；關(guān)節(jié) 2力矩的誤差峰值為3.005 N· m，相對誤差為0.17%；關(guān)節(jié) 3力矩的誤差峰值為1.044 N· m，相對誤差為1.9%.從Matlab軟件中編寫的 Lagrangian動力學(xué)方程計算出的關(guān)節(jié)力矩與在 Adams中測量的關(guān)節(jié)力矩基本一致，驗證了所建立動力學(xué)模型的正確性.

圖3 動力學(xué)模型仿真驗證Fig.3 Verification of dynamic model in simulation

2 兩剛體彈簧系統(tǒng)傳遞函數(shù)建模

工業(yè)機器人的發(fā)展趨勢是使用具有彈性的輕型機器人結(jié)構(gòu)，這種彈性主要來源于齒輪、軸承、彈性地基以及連桿的彎曲與扭轉(zhuǎn)[10-12].本實驗室研制的協(xié)作機器人各個關(guān)節(jié)采用中空模塊化設(shè)計[13-14]，關(guān)節(jié)內(nèi)采用電機加諧波減速器的組合，電機與減速器之間采用帶輪傳動，中空的設(shè)計減輕了各關(guān)節(jié)模塊的質(zhì)量，采用諧波減速器能夠獲得較大的關(guān)節(jié)輸出力矩，采用帶輪傳動能夠使電機軸線偏離減速器軸線，使關(guān)節(jié)內(nèi)部結(jié)構(gòu)更加緊湊，如圖4所示.

圖4 模塊化關(guān)節(jié)內(nèi)部結(jié)構(gòu)Fig.4 Internal structure of modular joint

這些結(jié)構(gòu)特性會使電機與連桿之間出現(xiàn)彈性作用，因此，將被控系統(tǒng)等效為兩剛體彈簧系統(tǒng)，其中，電機轉(zhuǎn)軸與負載分別等效為剛體，具有彈性作用的中間傳動機構(gòu)等效為扭轉(zhuǎn)彈簧，如圖5所示.

圖5 兩剛體彈簧系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意Fig.5 Structural diagram of two rigid body spring system

圖 5中，伺服驅(qū)動器控制電機運行，提供電磁轉(zhuǎn)矩Te，Te與傳動軸系扭轉(zhuǎn)力矩Ts共同作用于轉(zhuǎn)動慣量為Jm、阻尼系數(shù)為Cm的電機轉(zhuǎn)軸，對其角速度mω產(chǎn)生影響.Ts與負載轉(zhuǎn)矩TL共同作用于等效轉(zhuǎn)動慣量為JL、阻尼系數(shù)為CL的執(zhí)行機構(gòu)，最終決定執(zhí)行機構(gòu)的轉(zhuǎn)速Lω.其中，Ks與Cs分別為等效彈簧的扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼系數(shù).

根據(jù)上述理論分析，可推出驅(qū)動端與負載端的Laplace形式的關(guān)系式[15]為

式中：s為Laplace算子；mθ為電機輸出軸角位移；Lθ為連桿角位移，由于系統(tǒng)中摩擦阻尼對系統(tǒng)影響較小，忽略不計[15]，得到電磁轉(zhuǎn)矩到電機輸出軸角速度的傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)中含有電機負載的等效轉(zhuǎn)動慣量JL，電磁轉(zhuǎn)矩Te與電機輸出軸角速度mω能夠直接被測出或者通過測量量轉(zhuǎn)換得到，所以，式(4)將作為負載轉(zhuǎn)動慣量在線辨識的基礎(chǔ).

3 慣量在線辨識

3.1 慣量辨識算法構(gòu)建

機器人在運行過程中，隨著位置和姿態(tài)的改變，各關(guān)節(jié)電機的負載轉(zhuǎn)動慣量也在不停變化，轉(zhuǎn)動慣量的辨識是否及時，辨識結(jié)果是否準確，會直接影響到前饋力矩的輸出，進而決定整個慣量前饋控制技術(shù)的控制效果.最小二乘辨識算法具有原理簡單，易于實現(xiàn)，算法跟蹤時變參數(shù)能力強，辨識結(jié)果具有無偏性和一致性等特點[16]，同時，為了降低舊的觀測數(shù)據(jù)對由新觀測數(shù)據(jù)辨識出的結(jié)果產(chǎn)生影響，本文采用經(jīng)過改進的帶有遺忘因子的最小二乘辨識算法對各關(guān)節(jié)電機的負載轉(zhuǎn)動慣量進行在線辨識.辨識算法原理如圖6所示.

以某一關(guān)節(jié)為例，為實現(xiàn)對轉(zhuǎn)動慣量的在線辨識，將被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)式(4)轉(zhuǎn)化為差分方程

其中，待辨識參數(shù)

式中：ωm(k)為k時刻電機輸出軸角速度采樣數(shù)據(jù)；Te(k- 1)為k-1時刻電磁力矩采樣數(shù)據(jù)；，為兩剛體彈簧系統(tǒng)的諧振頻率；T為采樣周期.

將式(5)轉(zhuǎn)化為最小二乘標準式：

圖6 辨識算法原理圖Fig.6 Schematic diagram of identification algorithm

其中

式中θ=[a，b，c]T，為待辨識參數(shù)列向量.

經(jīng)推導(dǎo)，第i關(guān)節(jié)負載轉(zhuǎn)動慣量JLi與θ向量中各元素的關(guān)系為

將辨識出的θ向量中各元素值代入式(10)中，即可得到此刻該關(guān)節(jié)電機負載等效轉(zhuǎn)動慣量的估計值.

將第k-1次辨識出的θ向量代入式(7)中，得到y(tǒng)( k)的估計值為

則第k次辨識的先驗誤差為

引入增益向量K(k)和協(xié)方差矩陣P(k)，則帶有遺忘因子的最小二乘辨識算法的標準表達式[17]為

式中λ( 0 ＜λ≤ 1)為遺忘因子.普通遺忘因子最小二乘法中λ為常數(shù)，λ較大時，辨識算法對輸入的波動不敏感，辨識結(jié)果比較穩(wěn)定，收斂時辨識誤差也較小，但對時變參數(shù)的跟蹤能力較弱；λ較小時，算法對時變參數(shù)的跟蹤能力較強，但辨識結(jié)果易波動，穩(wěn)定誤差較大.綜合考慮，為了提升對負載轉(zhuǎn)動慣量的辨識效果，需要根據(jù)辨識誤差值實時改變遺忘因子λ的取值，本文采用常鐵原等[18]提出的倒置雙曲線正切函數(shù)的改進方式對遺忘因子λ的取值進行修正.

記λ(k+1)為第k+1次辨識的遺忘因子，

式中參數(shù)f、l、d、m均為常數(shù)，由試驗確定.f和l控制λ(k+1)的取值范圍，d和m控制雙曲線正切函數(shù)收斂速度快慢并改善倒置后曲線頂部的形狀.d較大、m較小時，辨識結(jié)果收斂速度快、跟蹤能力強；d較小、m較大時，辨識結(jié)果的穩(wěn)定性增強、穩(wěn)態(tài)誤差減小.

以第i個關(guān)節(jié)為例，事先給定一個足夠小的誤差節(jié)點E0，機器人開始動作時，辨識算法運行，對待辨識參數(shù)和協(xié)方差矩陣賦初值，控制系統(tǒng)在線采集電磁力矩信號和電機轉(zhuǎn)速信號并將其輸入到最小二乘標準式(7)中，初始遺忘因子設(shè)為 1，利用帶有遺忘因子的最小二乘法對式(13)進行迭代運算，輸出辨識結(jié)果和辨識慣量，定義誤差E( k)為第k次各參數(shù)的辨識結(jié)果與第k-1次各參數(shù)辨識結(jié)果的差的絕對值之和.從式(6)可以看出，參數(shù)a的量級與“1”一致，參數(shù)b、c的量級與周期T一致，為了保證 3個參數(shù)的辨識誤差對E( k)的貢獻一致，定義的表達式為

當E(k)≤E0時，認為辨識結(jié)果穩(wěn)定，電磁力矩信號和電機轉(zhuǎn)速信號變化平穩(wěn)，此時令下一時刻遺忘因子λ(k+ 1 )=1，保證辨識結(jié)果具有較強的穩(wěn)定性和較小的穩(wěn)態(tài)誤差；當 E ( k)＞E0時，認為辨識結(jié)果發(fā)生波動，辨識算法的輸入信號變化明顯，此時令，利用先驗誤差與遺忘因子的關(guān)系對λ的取值進行修正，加快辨識結(jié)果的收斂速度.

不斷進行在線辨識算法的循環(huán)，即可獲得實時的電機所帶負載的轉(zhuǎn)動慣量的辨識值

3.2 慣量辨識算法仿真驗證

在快速響應(yīng)的伺服系統(tǒng)中，相較于較高的采樣頻率，串聯(lián)機器人各關(guān)節(jié)電機負載的等效轉(zhuǎn)動慣量變化緩慢，在仿真驗證中，改變傳遞函數(shù)式(4)中負載轉(zhuǎn)動慣量JL的數(shù)值，使其按照的規(guī)律變化，取仿真的采樣周期 T = 0 .1ms，取誤差節(jié)點E0= 0 .0001，為了兼顧辨識結(jié)果具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差和較強的跟蹤能力，經(jīng)過多次仿真實驗，式(14)中取m= 150，d=20，f=0.2，l=0.75，通過慣量在線辨識得到相應(yīng)的結(jié)果，如圖7所示.

圖7 在線辨識算法仿真驗證Fig.7 Verification of online identification algorithm in simulation

從辨識結(jié)果可以看出，辨識算法剛啟動時，辨識結(jié)果波動明顯，辨識誤差較大，屬于過渡階段.約0.1s后，辨識結(jié)果收斂理論值，辨識慣量緊緊跟隨理論慣量變化，收斂后，最大的辨識誤差為0.012 2 kg· m2，相對誤差為0.0228%，辨識結(jié)果的均方根誤差為 5 .56× 1 0-5kg· m2.驗證結(jié)果表明：改進型的遺忘因子最小二乘辨識算法具有很好的適應(yīng)性和較高的辨識精度，能夠應(yīng)用于對串聯(lián)機器人運行過程中各關(guān)節(jié)電機負載轉(zhuǎn)動慣量的在線辨識.

3.3 慣量轉(zhuǎn)換

在線辨識算法辨識出的負載轉(zhuǎn)動慣量不能直接被利用，需要通過一系列轉(zhuǎn)換關(guān)系將其轉(zhuǎn)換成動力學(xué)模型中的慣性力項參與前饋控制.

4 慣量前饋控制技術(shù)仿真

式中Ri為第i關(guān)節(jié)電機到連桿的減速比.

將得到的各關(guān)節(jié)前饋電流疊加到驅(qū)動器電流環(huán)的輸入端，完成6自由度串聯(lián)機器人的慣量前饋控制.

基于本實驗室研制的模塊化串聯(lián)機器人，利用Solidworks+Adams+Matlab進行聯(lián)合仿真，在Simulink環(huán)境中，搭建機器人慣量前饋控制系統(tǒng)，如圖 8所示.系統(tǒng)輸入為預(yù)先規(guī)劃的各關(guān)節(jié)的角位移、角速度和角加速度，系統(tǒng)輸出為各連桿實際角位移和角速度，各關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)中 PID控制器參數(shù)由工程法進行整定，整定結(jié)果如表1所示.

圖8 串聯(lián)機器人慣量前饋控制仿真系統(tǒng)Fig.8 Inertia feedforward control simulation system of serial robot

式中Mkj表示原慣性矩陣M( q)中第k行第 j列位置元素.

機器人在運行過程中，控制系統(tǒng)不斷把實時的運動學(xué)信息和慣量矩陣輸入到動力學(xué)方程式(19)中，即可輸出當前時刻的目標前饋力矩估計向量.對于第i關(guān)節(jié)，記其前饋力矩為力矩不

表1 PID參數(shù)Tab.1 PID parameters

圖 8中，被控系統(tǒng)為 Solidworks所建機器人三維模型經(jīng)由 Adams導(dǎo)入 Matlab的機器人正動力學(xué)模型.由于在線辨識算法剛啟動時存在過渡階段，辨識誤差較大，所以在系統(tǒng)中加入時間選擇器，并將時間節(jié)點定為0.1s.系統(tǒng)剛開始運行時，辨識結(jié)果未收斂，選擇器輸出原動力學(xué)模型中的慣性矩陣M( q)，進行普通的力矩前饋，0.1s后辨識結(jié)果收斂并穩(wěn)定，選擇器輸出含有辨識轉(zhuǎn)動慣量的慣量矩陣慣量前饋開始作用.

為了展現(xiàn)慣量前饋技術(shù)的控制效果，利用Matlab中的機器人工具箱分別在笛卡爾空間中的水平面與豎直面內(nèi)規(guī)劃圓形軌跡，如圖 9所示，軌跡參數(shù)如表 2所示，其中，圓心坐標是在機器人底座坐標系下的坐標.

圖9 笛卡爾空間圓形軌跡Fig.9 Circular trajectories in Cartesian space

表2 圓形軌跡參數(shù)Tab.2 Circular trajectory parameters mm

分別在施加慣量前饋、施加普通力矩前饋、不施加前饋3種不同控制條件下，使機器人末端沿著圓形軌跡運動，通過對比機器人各關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的軌跡跟蹤誤差以及機器人末端在笛卡爾空間中的軌跡跟蹤誤差，來驗證慣量前饋控制性能，由于機器人在運行過程中，前 3個關(guān)節(jié)電機的負載慣量變化較大，所以在關(guān)節(jié)空間中，選取前 3個關(guān)節(jié)進行驗證.本文選擇最大跟蹤誤差和均方根誤差對跟蹤誤差進行量化，均方根誤差的定義如下：

式中：N為采樣點數(shù)；e為跟蹤誤差.

4.1 水平面仿真

根據(jù)水平面內(nèi)圓形軌跡，利用機器人工具箱中的“robotname.ikine”函數(shù)逆解出前3個關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)空間軌跡，如圖10所示，其中圖10(a)為各關(guān)節(jié)角位移曲線，由于機器人不是從設(shè)定零位開始運動，而是以圓形軌跡上某一點為初始點開始運動，所以各關(guān)節(jié)在零時刻的初始位移不為零，圖 10(b)為各關(guān)節(jié)角速度曲線，圖10(c)為各關(guān)節(jié)角加速度曲線.

圖10 水平圓關(guān)節(jié)空間軌跡Fig.10 Joint space trajectories of horizontal circle

將逆解出的關(guān)節(jié)空間軌跡作為圖 8所示仿真系統(tǒng)的輸入進行仿真，得到各關(guān)節(jié)在不同控制條件下的軌跡跟蹤誤差如圖 11所示，機器人末端在不同控制條件下的軌跡跟蹤誤差如圖12所示.

圖11 水平圓關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差Fig.11 Joint trajectory tracking error of horizontal circle

圖12 水平圓跟蹤誤差Fig.12 Tracking error of horizontal plane

從圖 11的仿真結(jié)果可以看出，當機器人穩(wěn)定運行后，各關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差峰值出現(xiàn)的時刻與其角加速度峰值出現(xiàn)的時刻一致，誤差為0的時刻與其角加速度為0的時刻一致，這表明各關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤誤差與各自的角加速度的大小密切相關(guān)，這是因為加速度越大，控制所需的慣性力越大，機器人各關(guān)節(jié)電機所帶的負載產(chǎn)生的慣性效應(yīng)越大，就越會對該關(guān)節(jié)的伺服系統(tǒng)的控制產(chǎn)生不利影響，當采用慣量前饋控制技術(shù)時，控制系統(tǒng)根據(jù)在線辨識出的各關(guān)節(jié)電機的負載的慣量值實時計算并輸出準確的前饋力矩來對機器人進行控制，從而抑制了機器人在運行過程中的超調(diào)，減小誤差波動的范圍，降低軌跡跟蹤誤差.

結(jié)合圖11與圖12可以看出，關(guān)節(jié)誤差會累積到機器人末端的軌跡跟蹤誤差上，影響整體的控制效果.通過對比水平面內(nèi)機器人各關(guān)節(jié)和機器人末端在3種不同控制條件下的軌跡跟蹤誤差曲線，可以看出，慣量前饋控制技術(shù)能夠顯著提升機器人伺服控制系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度，提高機器人的控制精度，而且機器人運行的加速度越大，該技術(shù)對慣性效應(yīng)的抑制作用越明顯.

由于機器人運行0.1s后慣量前饋才開始作用，所以對0.1s之后的仿真數(shù)據(jù)進行處理，得到水平面內(nèi)前3關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤誤差量化結(jié)果如表3所示，機器人末端軌跡跟蹤誤差量化結(jié)果如表 4所示.根據(jù)表 3和表4可得，慣量前饋控制技術(shù)能將傳統(tǒng)無前饋作用的控制系統(tǒng)的控制精度提高 94%以上，與普通力矩前饋技術(shù)相比，能將控制精度提高70%以上.

表3 水平圓關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差Tab.3 Joint trajectory tracking error of horizontal circle 10-5 rad

表4 水平圓跟蹤誤差Tab.4 Tracking error in horizontal plane 10-2mm

4.2 豎直面仿真

根據(jù)豎直面內(nèi)圓形軌跡，同樣利用機器人工具箱逆解出前 3個關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)空間軌跡如圖 13所示，其中圖 13(a)為各關(guān)節(jié)角位移曲線，圖 13(b)為各關(guān)節(jié)角速度曲線，圖13(c)為各關(guān)節(jié)角加速度曲線.

將逆解出的關(guān)節(jié)空間軌跡作為仿真系統(tǒng)的輸入進行仿真，得到各關(guān)節(jié)在不同控制條件下的軌跡跟蹤誤差如圖 14所示，機器人末端在不同控制條件下的豎直圓跟蹤誤差如圖15所示.

結(jié)合圖13、圖14和圖15可以看出，機器人末端在豎直面內(nèi)運行時，其末端軌跡跟蹤誤差依然是由各關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差累積而來，各關(guān)節(jié)的跟蹤誤差依然由各自的角加速度來決定，角加速度較大時，慣性效應(yīng)明顯，導(dǎo)致控制精度下降.而慣量前饋控制技術(shù)能夠保證系統(tǒng)在加速度較大時也能具有較高的軌跡跟蹤精度、較小的穩(wěn)態(tài)誤差和較小的超調(diào)量.

對0.1s之后的仿真數(shù)據(jù)進行處理，得到前3關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤誤差量化結(jié)果如表5所示，機器人末端軌跡跟蹤誤差量化結(jié)果如表 6所示.根據(jù)表 5和表 6的具體數(shù)值，可以算出當機器人末端在豎直面內(nèi)走圓形軌跡時，慣量前饋控制技術(shù)能將傳統(tǒng)無前饋作用的控制系統(tǒng)的控制精度提高 90%以上，與普通力矩前饋技術(shù)相比，能將控制精度提高70%以上.

圖13 豎直圓關(guān)節(jié)空間軌跡Fig.13 Joint space trajectories of vertical circle

圖14 豎直圓關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差Fig.14 Joint trajectory tracking error of vertical circle

圖15 豎直圓跟蹤誤差Fig.15 Tracking error of vertical plane

對比以上仿真結(jié)果中的跟蹤誤差曲線，可以看出，在控制系統(tǒng)不施加前饋和施加慣量前饋兩種條件下得到的誤差曲線變化趨勢是相同的，而且都與施加普通力矩前饋得到的誤差曲線變化趨勢相反，這是因為不施加前饋的控制系統(tǒng)單純依靠反饋作用進行調(diào)節(jié)，只有當控制偏差出現(xiàn)之后才發(fā)揮作用，屬于滯后控制；施加慣量前饋的控制系統(tǒng)需要根據(jù)上一周期采集的關(guān)節(jié)電機的角速度與電磁力矩，在線辨識出上一周期各關(guān)節(jié)的負載轉(zhuǎn)動慣量，將慣量辨識值輸入到前饋通道上的動力學(xué)模型中計算出此刻的前饋力矩，所以慣量前饋控制滯后了一個速度環(huán)的周期，也屬于滯后調(diào)節(jié)，但由于速度環(huán)周期較小，處在“ms”級，與此相比，機器人動作緩慢，可以認為相鄰兩個周期內(nèi)，機器人各關(guān)節(jié)電機所帶負載的轉(zhuǎn)動慣量沒有變化，所以上一周期辨識出的負載慣量可以在下一個控制周期使用；而普通的力矩前饋只與輸入有關(guān)，與控制系統(tǒng)的各項輸出無關(guān)，是一種預(yù)見性控制，屬于超前調(diào)節(jié)，得到的跟蹤誤差的方向與滯后調(diào)節(jié)的誤差方向相反.又因為在機器人開始運行的 0.1s內(nèi)，辨識誤差較大，圖8所示的慣量前饋仿真系統(tǒng)采用的是普通前饋，0.1s后辨識結(jié)果穩(wěn)定，慣量前饋開始發(fā)揮作用，所以在最初的0.1s內(nèi)，本文提出的慣量前饋技術(shù)與普通的力矩前饋技術(shù)的作用效果一致.基于上述原因，最終使得機器人在3種不同控制條件下的軌跡跟蹤誤差曲線的變化趨勢如圖 11、圖 12、圖 14和圖15所示.

表5 豎直圓關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差Tab.5 Joint trajectory tracking error of vertical circle 10-5 rad

表6 豎直圓跟蹤誤差Tab.6 Tracking error in vertical plane 10-2 mm

綜上，從水平面和豎直面內(nèi)的仿真圖像與誤差量化結(jié)果可以看出，無前饋控制下的超調(diào)量大，跟蹤誤差的波動范圍大，穩(wěn)態(tài)誤差大；普通力矩前饋控制下的超調(diào)量有所減小，跟蹤誤差的波動范圍與穩(wěn)態(tài)誤差都比較??；慣量前饋控制下的超調(diào)量幾乎為零，誤差波動范圍更小，穩(wěn)態(tài)誤差基本為零.

所以，本文提出的慣量前饋控制技術(shù)能夠明顯加快各關(guān)節(jié)的響應(yīng)速度，減小超調(diào)量，改善機器人控制系統(tǒng)的動態(tài)特性；能夠大幅度降低機器人控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提升軌跡跟蹤精度；能夠提高機器人運行的穩(wěn)定性，對于輸入信號的波動具有很強的適應(yīng)性.其控制效果明顯優(yōu)于普通的力矩前饋控制方法.

5 結(jié) 語

為了降低串聯(lián)協(xié)作機器人在運行過程中自身慣量變化對機器人各關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)產(chǎn)生的不利影響，本文提出了一種基于在線辨識的慣量前饋控制技術(shù)，保證機器人運行過程具有非常好的動態(tài)性能和較高的軌跡跟蹤精度.該技術(shù)利用在線辨識算法對任意時刻各關(guān)節(jié)電機所帶負載的轉(zhuǎn)動慣量進行在線辨識，通過辨識值實時修正動力學(xué)模型中的慣性力矩，提供更加準確的前饋力矩.另外，為了保證辨識慣量更接近真實慣量，將被控系統(tǒng)等效為兩剛體彈簧系統(tǒng)進行辨識算法構(gòu)建.仿真結(jié)果表明，結(jié)合了在線辨識功能的慣量前饋控制技術(shù)能夠顯著提升機器人控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度與跟蹤特性，驗證了該慣量前饋控制技術(shù)的優(yōu)越性.由于該技術(shù)無需對動力學(xué)模型進行離線參數(shù)辨識也可以輸出較為準確的前饋力矩，所以降低了動力學(xué)前饋技術(shù)的復(fù)雜性，適用范圍更廣.