于新堂

摘 要：本文找到并證明了“素數(shù)倍數(shù)的分布規(guī)律”，以此為前提，推證出了“存在無窮多對差為2的素數(shù)”。

關(guān)鍵詞：素數(shù)倍數(shù); 素數(shù)倍數(shù)的分布規(guī)律

中圖分類號：O413? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ?文章編號：1006-3315（2019）11-037-001

素數(shù)倍數(shù)的分布規(guī)律：任一素數(shù)的倍數(shù)項在自然數(shù)列中占有的比例等于素數(shù)自身值的倒數(shù)。（《科學(xué)大眾》972期56頁）

自然數(shù)列中包含任意素數(shù)的倍數(shù)項子數(shù)列，例如，包含素數(shù)2的倍數(shù)項子數(shù)列為2，4，6，8，10，12，……

任一素數(shù)的倍數(shù)項子數(shù)列中又包含其它任一素數(shù)的倍數(shù)項子數(shù)列。例如素數(shù)2的倍數(shù)項數(shù)列中又包含素數(shù)3和素數(shù)5等所有除2以外的素數(shù)的倍數(shù)項子數(shù)列。

引理 包含于任一素數(shù)的倍數(shù)項子數(shù)列中的其它任一素數(shù)的倍數(shù)項的比例，等于被包含素數(shù)自身值的倒數(shù)。

證明 任一素數(shù)pj的倍數(shù)項子數(shù)列中，包含其它任一素數(shù)pi（i[≠j]）的倍數(shù)項，且從前至后每隔項都必有且僅有一項pi的倍數(shù)項，因此，包含其它任一素數(shù)pi的倍數(shù)項的比例[ηpi=1pi]

如果從自然數(shù)列中去除任一素數(shù)的倍數(shù)項，則由于去除的任一素數(shù)的倍數(shù)項子數(shù)列中包含的其它任一素數(shù)的倍數(shù)項的比例，與自然數(shù)列中包含的每一相同素數(shù)的倍數(shù)項的比例相同，都等于被包含素數(shù)值的倒數(shù)，因此，剩余數(shù)列中所包含的未被去除的任一素數(shù)的倍數(shù)項的比例保持不變。因此有

推論1 奇數(shù)數(shù)列中包含2以外的任一素數(shù)的倍數(shù)項的比例，等于該被包含素數(shù)值的倒數(shù)。

但在奇數(shù)數(shù)列的前有限項所組成的奇數(shù)有限數(shù)列中，由于從自然數(shù)列中去除偶數(shù)的不對稱原因，就使得有限項奇數(shù)數(shù)列中所含任一奇素數(shù)的倍數(shù)項的比例并不嚴(yán)格的等于[1p1]。但當(dāng)數(shù)列的最后一項是某一素數(shù)的倍數(shù)項時，含有該素數(shù)倍數(shù)項的比例最大，此時，若含有素數(shù)pi的合數(shù)倍數(shù)項的項數(shù)為tpi，則總項數(shù)應(yīng)為[12]（pi+1）+tpi，于是數(shù)列中含有pi的合數(shù)倍數(shù)項的比例為[ηi=112（pi+1）+tpi][<][1p1]

因此得推論2 奇數(shù)數(shù)列的前有限項中，所包含的2以外的任一素數(shù)的合數(shù)倍數(shù)項的比例小于被包含的素數(shù)值的倒數(shù)。

有了以上推論，就可以證明如下命題：

命題 存在無窮多對差為2的素數(shù)。

證明 將奇數(shù)無窮數(shù)列

1，3，5，7，……2n-1……

從前至后每2項合并為一對，形成奇數(shù)對無窮數(shù)列

（1，3），（5，7），（9，11），……（2n-1，2n+1），……

由推論2可知，前有限對奇數(shù)對中，包含任一素數(shù)倍數(shù)合數(shù)的奇數(shù)對占有的比例，小于[2pi]，設(shè)N為4n型偶數(shù)，N以內(nèi)奇數(shù)所組成的有限奇數(shù)對數(shù)列

（1，3），（5，7），（9，11），……（N-3，N-1）中含有[N4]個奇數(shù)對，所包含的任一素數(shù)合數(shù)倍數(shù)的奇數(shù)對占有比例一定小于[2pi]，很顯然，若按[2pi]的比例篩除所含所有素數(shù)合數(shù)倍數(shù)的奇數(shù)對，屬于超量篩除，若篩除后再減去第一對含有1的奇數(shù)對，則剩余未被篩除的奇數(shù)對就一定是素數(shù)對。

設(shè)N以內(nèi)實際含有素數(shù)對的個數(shù)為[π2（x）]，顯然有[π2（x）][>N4]·[i=2x]（1-[2pi]）-1

因有[i=2x]（1-[2pi]）[>] [m=112（Px-1）]（1-[22m+1]）=[1px]

其中Px[<N]，為最大篩除素數(shù)。

因此有[π2（x）][>N4][·][1N]-1

即[π2（x）][>][N4]-1

因N[→∞]，故[π2（x）][→∞]

即存在無窮多對差為2的素數(shù)。

命題得證。

依據(jù)與這一證明相同的前提，筆者給出了“每個大于4的偶數(shù)都可拆分為兩個素數(shù)的和”的初等證明。不急于發(fā)表的原因，是激勵相信并深刻了解筆者的理論的研究者能夠利用筆者所給出的基本前提給出證明，期待并愿意共同分享我們各自的證明。