劉風(fēng)

摘 要：現(xiàn)有毒品濫用流行病模型假設(shè)吸毒者康復(fù)后對(duì)毒品擁有永久“免疫”力，而忽視了其再次成為毒品易感者的可能性。針對(duì)這一問(wèn)題，通過(guò)考慮社區(qū)治療和隔離治療兩種措施，分析了毒品濫用人群的演化過(guò)程，提出了基于暫時(shí)“免疫”力的毒品濫用流行病模型，并計(jì)算了模型的基本再生數(shù)，討論了模型平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性。當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)，模型存在一個(gè)局部漸進(jìn)穩(wěn)定的無(wú)毒平衡點(diǎn);當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí)，模型存在唯一的地方病平衡點(diǎn)，并利用幾何方法證明了地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性;當(dāng)基本再生數(shù)等于1時(shí)，如果滿足一定條件，模型出現(xiàn)后向分支現(xiàn)象。數(shù)值模擬驗(yàn)證了上述所有結(jié)果。研究結(jié)果表明提高隔離治療率、改善社區(qū)治療效果和降低接觸傳染率可以有效抑制毒品濫用的流行。

關(guān)鍵詞：毒品濫用;數(shù)學(xué)流行病學(xué);無(wú)病平衡點(diǎn);地方病平衡點(diǎn);全局穩(wěn)定性

中圖分類(lèi)號(hào)：TP391.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract： The recovered drug users maybe become susceptible to drug again， but this possibility is neglected in the existing drug abuse epidemic model in which the drug users are assumed to be permanently immune to drugs after recovery. Aiming at the problem， the evolution process of drug abuse population was analyzed with considering both community treatment and isolation therapy， and a drug abuse epidemic model based on temporary immunity was proposed. Furthermore， the basic reproduction number of the proposed model was calculated and the existence and stability of the proposed model equilibrium were discussed. It is shown that the proposed model has a drug free equilibrium which is locally asymptotically stable and a unique endemic equilibrium when the basic reproduction number is less and more than unity respectively. And the global stability of the endemic equilibrium was proved by using a geometric approach. Otherwise， the proposed model has the phenomenon of backward bifurcation under certain conditions when the basic reproduction number is equal to unity. The above results were verified by the numerical simulations. The results indicate that the prevalence of drug abuse can be effectively inhibited by increasing the rate of isolation therapy， improving the effect of community treatment and reducing the infection rate.

英文關(guān)鍵詞Key words： drug abuse; mathematical epidemiology; Drug Free Equilibrium （DFE）; endemic equilibrium; global stability

0 引言

毒品濫用又稱(chēng)為物質(zhì)濫用，是指蓄意過(guò)度使用鴉片類(lèi)、大麻類(lèi)等精神活性物質(zhì)以達(dá)到使人興奮的效果，從而導(dǎo)致產(chǎn)生依賴性癥狀的現(xiàn)象。近年來(lái)，新型合成毒品的出現(xiàn)更是加劇了毒品濫用的蔓延。2008 — 2017年《中國(guó)禁毒報(bào)告》數(shù)據(jù)顯示，我國(guó)登記在冊(cè)的吸毒人員由112.67萬(wàn)人上升到255.3萬(wàn)人，增長(zhǎng)了1.27倍，年均增長(zhǎng)率為9.5%?？梢?jiàn)，十年間我國(guó)毒品濫用問(wèn)題整體呈現(xiàn)出不斷上升的趨勢(shì)。毒品濫用不僅嚴(yán)重?fù)p害吸毒者個(gè)人的身心健康，同時(shí)還會(huì)加快艾滋病等疾病的傳播速度，導(dǎo)致各類(lèi)刑事案件的大量發(fā)生，社會(huì)危害性極大。因此，研究毒品濫用的流行傳播機(jī)制，為有效控制毒品濫用問(wèn)題提供理論指導(dǎo)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

采用數(shù)學(xué)方法建立流行病學(xué)模型，是研究和揭示疾病傳播規(guī)律、預(yù)測(cè)其發(fā)展趨勢(shì)以及制定有效防控措施的重要理論基礎(chǔ)。通過(guò)將發(fā)病地區(qū)總體人群劃分為易感（Susceptible）人群、感染（Infected）人群和移出（Removed）人群，并采用常微分方程系統(tǒng)刻畫(huà)各群體間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移變化關(guān)系，Kermac和McKendrick建立了經(jīng)典的SIR（SusceptibleInfectedRemoved）流行病倉(cāng)室模型。SIR模型假設(shè)患者康復(fù)后可獲得永久免疫力，不會(huì)再進(jìn)入易感人群， 但是某些傳染病，例如瘧疾，患者在治愈后可能再次被感染， 因此，在SIR模型的基礎(chǔ)上，又出現(xiàn)了SIS（SusceptibleInfectedSusceptible）、SIRS（SusceptibleInfectedRemovedSusceptible）等模型[1-2]。隔離（Quarantine）治療是有效防止傳染病流行的一種常規(guī)措施。文獻(xiàn)[3]采用標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率建立了帶有隔離治療措施的SIQR（SusceptibleInfectedQuarantineRemoved）模型，得到了疾病消失和一致持續(xù)的充分條件。Li等[4]構(gòu)建了雙線性發(fā)生率的SIQRS（SusceptibleInfectedQuarantineRemovedSusceptible）模型，并得出了提高隔離治療比例將降低感染人群數(shù)量的結(jié)論。Huang等[5]建立了帶有疫苗接種措施的SIQRS模型，發(fā)現(xiàn)隔離治療在傳染病控制過(guò)程中比接種疫苗更加有效。

由于毒品濫用與大多數(shù)傳染病都是通過(guò)接觸（毒品/病毒）傳播的，其擴(kuò)散機(jī)制具有高度相似性，于是一些學(xué)者根據(jù)流行病學(xué)原理研究毒品濫用流行擴(kuò)散的內(nèi)在規(guī)律。White等[6]在SIR倉(cāng)室模型的基礎(chǔ)上構(gòu)建了研究海洛因吸食者流行演變的常微分方程模型，針對(duì)基本再生數(shù)進(jìn)行了敏感性分析，證明了無(wú)毒平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性并給出了產(chǎn)生后向分支現(xiàn)象的充分條件。Mulone等[7]利用Lyapunov函數(shù)證明了文獻(xiàn)[6]中地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[8]在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，將甲基苯丙胺使用者劃分為輕度和重度兩個(gè)人群，引入康復(fù)治療機(jī)制，建立了物質(zhì)濫用的流行病模型，并討論了模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)。

SIQRS模型假設(shè)得到治療且未死亡的患者將全部治愈，不再具有傳染性，這與接受隔離治療的吸毒人群中只有部分人員能夠康復(fù)，其余人員解除隔離后仍具有傳染性的特點(diǎn)不相符合，因此，不能直接應(yīng)用SIQRS模型分析研究毒品濫用的流行規(guī)律。而上述毒品濫用流行病學(xué)研究成果的取得又都是基于SIR模型，以假設(shè)康復(fù)人群對(duì)毒品擁有永久“免疫”力為前提條件的，沒(méi)有考慮經(jīng)治療康復(fù)后的吸毒人員仍然存在再次成為毒品易感者的可能性， 所以，建立符合毒品濫用人群演化特點(diǎn)的流行病模型，揭示毒品濫用現(xiàn)象的內(nèi)在傳播規(guī)律是十分有必要的。

本文在假設(shè)康復(fù)人群對(duì)毒品僅具有暫時(shí)“免疫”力的基礎(chǔ)上，通過(guò)考慮社區(qū)治療和強(qiáng)制隔離治療兩種措施，分析毒品濫用人群演化過(guò)程的特點(diǎn)，構(gòu)建毒品濫用流行病模型，針對(duì)模型的基本再生數(shù)，討論模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，為有效抑制毒品濫用的流行提供理論依據(jù)。

5 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)數(shù)學(xué)流行病學(xué)原理，本文通過(guò)分析毒品濫用人群的演化過(guò)程及反饋回路，構(gòu)建了具有暫時(shí)“免疫”力的毒品濫用流行病模型，基于基本再生數(shù)R0，討論了模型的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性。理論分析和仿真結(jié)果表明，毒品濫用現(xiàn)象能否得到有效控制，取決于基本再生數(shù)R0的取值：如果R0<1，模型存在一個(gè)局部漸進(jìn)穩(wěn)定的無(wú)毒平衡點(diǎn)，徹底杜絕毒品濫用現(xiàn)象是可能的;如果R0>1，模型存在唯一全局漸進(jìn)穩(wěn)定的地方病平衡點(diǎn)，此時(shí)，毒品濫用終將發(fā)展成為地方病，不能根除;如果R0接近于1且滿足條件β2γ（u+w）>（σ+γ+u+δ1）Z，則出現(xiàn)后向分支現(xiàn)象，這意味著無(wú)毒平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)可能同時(shí)存在，即使R0<1，仍須付出額外的努力，使R0變得足夠小，才能夠阻止毒品濫用發(fā)展成為地方病。基于此研究結(jié)果，可得出結(jié)論：提高隔離治療率、改善社區(qū)治療效果和降低接觸傳染率是抑制毒品濫用流行的有效方式。

參考文獻(xiàn) （References）

[1] ZHANG J， SUN J. Stability analysis of an SIS epidemic model with feedback mechanism on networks[J]. Physica A： Statistical Mechanics and Its Applications， 2014， 394（15）： 24-32.

[2] LI T， ZHANG F Q， LIU H W， et al. Threshold dynamics of an SIRS model with nonlinear incidence rate and transfer from infectious to susceptible[J]. Applied Mathematics Letters， 2017， 70： 52-57.

[3] LIU Q， JIANG D Q， SHI N Z. Threshold behavior in a stochastic SIQR epidemic model with standard incidence and regime switching[J]. Applied Mathematics and Computation， 2018， 316： 310-325.

[4] LI T， WANG Y M， GUAN Z H. Spreading dynamics of a SIQRS epidemic model on scalefree networks[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2014， 19（3）： 686-692.

[5] HUANG S Y， CHEN F D， CHEN L J. Global dynamics of a networkbased SIQRS epidemic model with demographics and vaccination [J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2017， 43： 296-310.

[6] WHITE E， COMISKEY C. Heroin epidemics， treatment and ODE modeling[J]. Mathematical Biosciences， 2007， 208：312-324.

[7] MULONE G， STRAUHAN B. A note on heroin epidemics[J]. Mathematical Biosciences， 2009， 218（1）： 138-141.

[8] NYABADZA F， HOVEMUSEKWA S D. From heroin epidemics to methamphetamine epidemics： modelling substance abuse in a South African province[J]. Mathematical Biosciences， 2010， 225（2）： 132-140.

[9] BUTLER G， WALTMAN P. Persistence in dynamical systems[J]. Journal of Differential Equations， 1986， 63（2）： 255-263.

[10] HOFBAUER J， SO J WH. Uniform persistence and repellors for maps[J]. Proceedings of the American Mathematical Society， 1989， 107（4）： 1137-1142.

[11] LI Y M， MULDOWNEY J S. A geometric approach to globalstability problems[J]. SIAM Journal on Mathematical Analysis， 1996， 27（4）： 1070-1083.

[12] LI Y M， MULDOWNEY J S. On R.A.Smiths autonomous convergence theorem[J]. Rocky Mountain Journal of Mathematics， 1995， 25（1）： 365-379.

[13] MARTIN R H， JR. Logarithmic norms and projections applied to linear differential systems[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 1974， 45： 432-454.

[14] CASTILLOCHAVEZ C， SONG B J. Dynamical models of tuberculosis and their applications[J]. Mathematical Biosciences & Engineering， 2004， 1（2）：361-404.