蔡 恒，盧海林，顏燕祥，嚴若愚

(1.武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，湖北武漢 430072；2.武漢工程大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，湖北武漢 430074)

薄壁箱梁廣泛用于現(xiàn)代橋梁結(jié)構(gòu)中。薄壁箱梁的空間受力比較復(fù)雜，在對稱荷載作用下其基本變形包括豎向彎曲和剪力滯變形[1]；在偏載作用下，將會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)[2-4]；對于薄壁箱形曲梁 ，由于存在曲率的影響，不論荷載是否對稱，將會產(chǎn)生相互耦聯(lián)的彎曲、扭轉(zhuǎn)、翹曲、畸變和剪力滯變形，受力復(fù)雜。

文獻[5-6]由剛度法原理推導(dǎo)各節(jié)點10自由度的直線箱梁空間單元剛度矩陣和剛度方程，考慮了約束扭轉(zhuǎn)、畸變和剪力滯效應(yīng)。文獻[7]基于有限元理論提出同時考慮拉壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)、翹曲、畸變、剪力滯效應(yīng)及其交互作用的每節(jié)點14自由度的薄壁曲線箱梁空間分析單元剛度矩陣。文獻[8]建立薄壁曲梁撓曲扭轉(zhuǎn)分析的彈性控制微分方程組，考慮彎曲、扭翹、畸變和剪力滯效應(yīng)，得到精確的解析解。文獻[9]直接從殼體結(jié)構(gòu)特點出發(fā)，由8 節(jié)點曲邊四邊形膜單元和基于Reinssner 中厚板理論的彎曲單元，推導(dǎo)考慮剪切閉鎖效應(yīng)的薄壁箱梁空間殼單元剛度矩陣及相應(yīng)的剛度方程，以計算箱梁的剪力滯效應(yīng)。可以看出上述研究完善了薄壁箱梁的靜力分析理論。

近年來，為了滿足大跨度橋梁結(jié)構(gòu)抗風(fēng)、抗震需要，學(xué)者們對箱形橋梁的動力特性也進行了研究。文獻[10]由廣義坐標法和能量原理推導(dǎo)曲線梁橋振動控制微分方程，給出顯式剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，但未考慮畸變和剪力滯效應(yīng)。文獻[11]推導(dǎo)曲線橋地震分析的有限單元法，同樣未考慮畸變和剪力滯效應(yīng)。而現(xiàn)代大跨度PC箱梁橋施工時都不再設(shè)橫隔板，使得剛性扭轉(zhuǎn)和畸變產(chǎn)生的縱向翹曲應(yīng)力會達到恒載和活載共同作用下縱向彎曲應(yīng)力的24%～26%[12]。此外還存在剪力滯效應(yīng)，剪力滯不僅造成箱梁肋板交界處應(yīng)力集中，引起梁體局部開裂，還會削弱彎箱梁的剛度，引起附加撓度增大[13]?；诖?，本文采用動力有限元理論，通過在節(jié)點位移中引入高階位移插值函數(shù)，綜合考慮薄壁曲線箱梁的拉壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)、翹曲、畸變和剪力滯效應(yīng)，推導(dǎo)每個節(jié)點的11自由度單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，求解薄壁曲線箱梁的振動頻率和振型，并采用有限元軟件ANSYS加以驗證，為曲線箱梁橋的抗風(fēng)和抗震研究提供依據(jù)。

1 單元剛度矩陣

1.1 基本假定

為簡化薄壁曲線箱梁的空間力學(xué)模型，做如下假定：

(1)材料處于線彈性工作階段；

(2)只在豎向彎曲中計入剪力滯變形；

(3)采用二次拋物線構(gòu)造剪力滯翹曲位移函數(shù)；

(4)不計扭轉(zhuǎn)翹曲、畸變和剪力滯三者之間小量耦聯(lián)變形；

(5)薄壁曲梁截面尺寸相對于跨度和曲率半徑是小量級的。

1.2 剪力滯效應(yīng)

圖1為薄壁曲梁示意圖，以橫向為x軸，豎向為y軸，縱向為z軸，單元節(jié)點位移可表示為

(1)

圖1 薄壁曲梁示意

式中：i、j為單元節(jié)點編號；u、v、w分別為箱梁縱向、豎向和橫向位移；v′、w′、φ分別為豎向轉(zhuǎn)角、橫向轉(zhuǎn)角和扭轉(zhuǎn)角；w″為橫向曲率；φ′、γ、γ′分別為扭轉(zhuǎn)翹曲、畸變和畸變翹曲位移；ζ為翼板剪切位移最大差值。ζ對于考慮剪力滯效應(yīng)是必要的，按照假定(3)，剪力滯翹曲位移函數(shù)表示為

頂板：

(2)

底板：

(3)

懸臂板：

(4)

則箱梁縱向剪力滯翹曲位移可表示為

ξ(x,z,t)=ω(x)ζ(z,t)

(5)

式中：h1、h2分別為形心O到頂板、底板壁厚中線的距離；b1、b2分別為頂板寬度的一半和翼緣板寬度，如圖2所示。

圖2 曲線箱梁截面

圖2中，O1為扭轉(zhuǎn)中心，其到形心的距離記作e1；O2為畸變中心，是指只發(fā)生畸變而無其他位移時，各周邊切向分量對應(yīng)的轉(zhuǎn)動中心，其位置可由文獻[14]確定，畸變中心到形心的距離記為e2。

1.3 剛度矩陣

根據(jù)彈性力學(xué)幾何方程，薄壁曲線箱梁廣義應(yīng)變可表示為

(6)

寫成矩陣形式為

(7)

式中：等號右邊第一項為微分算子，記作P；等號右邊第二項為箱梁任一點的廣義位移列陣，記作δ；則式(7)可表示為

ε=Pδ

(8)

由文獻[15]，假設(shè)橫向位移按五次多項式插值，豎向位移和扭轉(zhuǎn)角按三次多項式插值，軸向位移按一次多項式插值，這4個插值與式(1)節(jié)點位移是相對應(yīng)的，可以得到位移形函數(shù)矩陣

(9)

式中：N1～N12為位移插值函數(shù)，具體可表示為

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

式中：l為單元長度；z為插值點的長度。

因此，單元內(nèi)任一點位移可表示為

δ=Nδe

(22)

式中：δe為單元節(jié)點位移矩陣。將式(22)代入式(8)中，得到

ε=PNδe

(23)

令B=PN，則ε=Bδe，B稱為應(yīng)變矩陣，薄壁箱梁的彈性矩陣可表示為

(24)

式中：E、G分別為彈性模量和剪切模量；Ix、Iy分別為箱梁截面對x軸和y軸的慣性矩；Id、Iw分別為自由扭轉(zhuǎn)慣性矩和翹曲扭轉(zhuǎn)慣性矩；IR、Ir分別為畸變框架慣性矩和畸變翹曲慣性矩。

單元內(nèi)任一點應(yīng)力可表示為

σ=Dε=DBδe

(25)

令S=DB，則σ=Sδe，稱S為應(yīng)力矩陣。

根據(jù)虛功原理，單元內(nèi)任一點虛應(yīng)變?yōu)?/p>

ε*=Bδ*e

(26)

單元內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上做的功為

(27)

桿端力在虛位移上做的功為

δW2=δ*eTFe

(28)

由δW1=δW2，得到

(29)

單元的剛度矩陣為

(30)

將應(yīng)變矩陣B和彈性矩陣D代入式(30)，可得單元剛度矩陣K的表達式為

(31)

2 單元質(zhì)量矩陣

根據(jù)圖2，考慮到質(zhì)心與扭心、畸心不重合，由牛頓第二定律，箱梁任一點橫向慣性力為

(32)

式中：ρ為箱梁的密度；點表示對時間t的導(dǎo)數(shù)。

同樣由于偏心，橫向慣性力會引起附加扭矩和附加畸變矩，扭轉(zhuǎn)慣性力矩和畸變慣性力矩分別為

(33)

(34)

式中：Iρ為箱梁極慣性矩。箱梁任一點慣性力為

(35)

寫成矩陣形式

(36)

(37)

等效節(jié)點力為

(38)

將式(37)代入式(38)中，有

(39)

由此可得質(zhì)量矩陣為

(40)

式中：l為曲線箱梁跨徑(單元長度)，將M寫成矩陣形式

(41)

3 振動頻率方程

把薄壁曲梁沿z軸方向劃分為若干個單元，每個單元有2個節(jié)點i和j，每個節(jié)點有11個自由度，如圖3所示。

圖3 薄壁曲線箱梁離散元

將單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣按對號入座法則進行組裝形成總剛度矩陣、總質(zhì)量矩陣。本文采用流動圓柱坐標系，故不需要對薄壁曲梁進行坐標轉(zhuǎn)換。

薄壁曲梁的振動方程為

(K-ω2M)δe=0

(42)

式中：ω為振動頻率，當薄壁曲梁發(fā)生自由振動時，式(42)有非零解，故有

K-ω2M=0

(43)

根據(jù)式(43)，引入相應(yīng)的邊界條件，便可以求得薄壁曲梁振動頻率。

4 算例

以文獻[12]薄壁簡支箱梁為例，截面尺寸如圖4所示，跨徑為40 m，計算過程中認為它是曲線梁，即不改變截面尺寸、邊界條件和跨徑，按曲率半徑R=100 m的曲線梁考慮。

圖4 箱梁截面尺寸(單位：m)

將薄壁曲線箱梁沿軸向劃分為3個單元，采用MATLAB編制計算程序求解特征值方程。由于ANSYS中的Beam188梁單元不能反映結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)振動特性，故采用Shell63單元建立有限元模型，在腹板與底板交界處結(jié)點施加約束，兩端約束Ux、Uy、Uz。在結(jié)構(gòu)的動力分析中，主要考慮低階模態(tài)，故取前5階自振頻率，結(jié)果見表1。

表1 簡支曲線箱梁自振頻率

注：誤差=|本文解-ANSYS結(jié)果|/ANSYS結(jié)果。

由表1可以看出，本文解與ANSYS結(jié)果存在一定的誤差，主要是因為在ANSYS中約束位于梁端腹板與底板交界處的結(jié)點，而理論計算中約束的是截面的中心，二者邊界條件約束存在差異，但誤差大部分不超過5%，理論計算結(jié)果與ANSYS有限元結(jié)果吻合良好，表明本文所構(gòu)造的薄壁曲線箱梁單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣是正確可靠的。此外，當曲率半徑R趨于無窮時，便可計算直線箱梁的自振特性，所提出的方法具有通用性，優(yōu)于以往僅能計算直線箱梁自振特性的方法，限于篇幅，不再舉例說明。

5 結(jié)論

(1)提出一種綜合考慮曲線箱梁拉壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)、翹曲、畸變和剪力滯變形的單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣以計算自振頻率，經(jīng)算例驗證與ANSYS有限元方法結(jié)果吻合良好，表明本文方法是正確可靠的。

(2)所提出的方法沿梁長方向僅劃分為數(shù)個單元便取得滿意的效果，表明本文方法的高效性。

(3)提出的單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣不僅可以計算單跨和多跨曲線箱梁橋的自振頻率，還可以結(jié)合車輛模型或者地震質(zhì)量矩陣，形成結(jié)構(gòu)的達朗伯方程，采用Newmark-β法求解車-橋耦合振動響應(yīng)或者結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)。