劉暢，楊鎖昌，*，汪連棟，張寬橋

（1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 導(dǎo)彈工程系，石家莊050000； 2.電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，洛陽471003）

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)場的日益復(fù)雜，傳統(tǒng)比例導(dǎo)引已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足制導(dǎo)系統(tǒng)的發(fā)展需求。人們將先進(jìn)的控制理論應(yīng)用于導(dǎo)彈的制導(dǎo)系統(tǒng)中，如最優(yōu)控制、逆系統(tǒng)控制、H∞控制、微分幾何控制、隨機(jī)系統(tǒng)最優(yōu)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制等，以解決強(qiáng)對抗條件下的精確制導(dǎo)問題。最優(yōu)制導(dǎo)律雖然在理論上可以實(shí)現(xiàn)零脫靶量，但形式復(fù)雜，需要信息多，且對信息誤差相當(dāng)敏感。逆系統(tǒng)控制、H∞控制、微分幾何控制、隨機(jī)系統(tǒng)最優(yōu)控制等方法雖然具有一定的魯棒性，但均存在形式復(fù)雜、需要信息多的缺點(diǎn)。

滑模變結(jié)構(gòu)以其抗干擾特性和設(shè)計(jì)簡單而成功的應(yīng)用于導(dǎo)彈制導(dǎo)律設(shè)計(jì)，但受到滑?？刂乒逃械亩墩窈蜐u進(jìn)穩(wěn)定特性影響，滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律普遍存在抖振嚴(yán)重、收斂速度慢等局限[1]?？朔墩竦姆椒ㄖ皇且燥柡秃瘮?shù)或邊界層代替符號(hào)函數(shù)，但這使得系統(tǒng)軌跡穩(wěn)定在滑模面附近而不是滑模面上，進(jìn)而喪失了滑模控制的魯棒性[2]。另一種抑制抖振的方法是采取高階滑模控制，高階滑模在抑制抖振的同時(shí)還能保持對干擾的魯棒性，消除了相對階的限制，提高了控制精度[3]。

二階滑模是目前應(yīng)用最為廣泛的高階滑模控制方法，因?yàn)樗目刂破鹘Y(jié)構(gòu)簡單且需要信息少。螺旋算法、超螺旋（Super-Twisting，ST）算法、次優(yōu)算法和給定收斂律算法是二階滑模中常用的4種算法[4]，與其他二階滑模算法相比，ST算法僅需要滑模變量而不需要滑模變量的一階導(dǎo)數(shù)，因此廣泛應(yīng)用于制導(dǎo)律設(shè)計(jì)。ST算法的有限時(shí)間穩(wěn)定條件需要已知系統(tǒng)不確定性上界，實(shí)際應(yīng)用中這個(gè)界的精確值很難確定，為得到系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，往往選取盡可能大的參數(shù)，結(jié)果帶來系統(tǒng)損壞和劇烈抖振[5]。為此多種自適應(yīng)ST算法相繼被提出[6-8]，但這些算法大多假設(shè)系統(tǒng)不確定性滿足一定形式的假設(shè)，且在系統(tǒng)狀態(tài)距離平衡點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)收斂速度較慢。

針對上述問題，本文在標(biāo)準(zhǔn)ST算法的基礎(chǔ)上引入線性項(xiàng)[9]，設(shè)計(jì)了一種新的自適應(yīng)律，提出了一種新的快速自適應(yīng)超螺旋（Fast Adaptive Super-Twisting，F(xiàn)AST）算法，該算法不需要已知系統(tǒng)不確定性的邊界且收斂速度較快。首先，利用類二次型Lyapunov函數(shù)[10-12]證明了系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性，并給出了收斂時(shí)間公式。隨后，將FAST算法應(yīng)用于末制導(dǎo)問題，提出了一種新的二階滑模制導(dǎo)律。最后，通過數(shù)字仿真將所提制導(dǎo)律與自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律、ST制導(dǎo)律和光滑二階滑模制導(dǎo)律進(jìn)行了對比。仿真結(jié)果表明，本文算法具有更高的命中精度、更快的收斂速度和更強(qiáng)的魯棒性。

1 問題描述和相關(guān)引理

1.1 問題描述

為了研究導(dǎo)彈攔截目標(biāo)過程中的制導(dǎo)律，首先建立導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動(dòng)模型。對于非滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈，在末制導(dǎo)過程中，姿態(tài)控制系統(tǒng)可以控制導(dǎo)彈不滾轉(zhuǎn)，因而彈目相對運(yùn)動(dòng)可以解耦成縱向平面和橫向平面的運(yùn)動(dòng)。以縱向平面為例，彈目相對運(yùn)動(dòng)如圖1所示，橫向平面的推導(dǎo)與之類似。

圖1中，M和T分別代表導(dǎo)彈和目標(biāo)所處位置；r為平面內(nèi)兩者的相對距離；q為彈目視線角；vm和vt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度；θm和 θt分別為彈道傾角和目標(biāo)航向角；am和at分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的法向加速度。由圖1可以得出彈目相對運(yùn)動(dòng)方程為[13]

為便于推導(dǎo)，令導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對徑向速度Vr=相對法向速度Vq=˙，將其代入式（1）和式（2）后，對式（1）和式（2）相對于時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，得

圖1 導(dǎo)彈和目標(biāo)相對運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of relative motion of missile and target

令

其中：atr和amr分別為目標(biāo)加速度和導(dǎo)彈加速度在視線方向上的分量；atq和amq分別為目標(biāo)加速度和導(dǎo)彈加速度在視線法向方向上的分量。

整理式（1）～式（5），得

將Vr=和Vq=代入式（7），得到系統(tǒng)方程：

在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)時(shí)，將amq和atq分別視為系統(tǒng)的控制量和干擾量。根據(jù)準(zhǔn)平行接近原理，設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的關(guān)鍵在于如何通過amq控制視線角速率˙，令其趨近于0。由式（5）可知：

在末制導(dǎo)過程中，由于受到過載能力的限制，導(dǎo)彈和目標(biāo)實(shí)際所能提供的最大側(cè)向加速度是有限的。同時(shí)受到導(dǎo)引頭角跟蹤系統(tǒng)的功率、接收機(jī)過載等因素的限制，導(dǎo)引頭存在最小作用距離r0，當(dāng)彈目相對距離小于或等于r0時(shí)，制導(dǎo)回路斷開。記末制導(dǎo)開始時(shí)刻為0，不失一般性制導(dǎo)過程滿足如下假設(shè)。

假設(shè)1 存在常數(shù)Am＞0，At＞0，A1＞0，A2＞0，使得

假設(shè)2 系統(tǒng)（8）中的時(shí)變參數(shù)r（t）滿足：

1.2 相關(guān)引理

引理1[14]對于非線性系統(tǒng)，有

假設(shè)存在連續(xù)可微函數(shù)V（x）：U→R滿足：

1）V（x）為正定函數(shù)。

2）存在正實(shí)數(shù) ζ1＞0和 α∈（0，1），以及包含原點(diǎn)的開鄰域U0?U，使得下式成立：

則系統(tǒng)（12）有限時(shí)間穩(wěn)定；若U=U0=Rn，則系統(tǒng)（12）全局有限時(shí)間穩(wěn)定。收斂時(shí)間treach滿足：

引理2[15]對于非線性系統(tǒng)（12），假設(shè)存在連續(xù)可微函數(shù)V（x）：U→R滿足：

1）V（x）為正定函數(shù)。

2）存在正實(shí)數(shù) ζ1＞0，ζ2＞0和 α∈（0，1），以及包含原點(diǎn)的開鄰域U0?U，使得下式成立：

則系統(tǒng)（12）有限時(shí)間穩(wěn)定；若U=U0=Rn，則系統(tǒng)（12）全局有限時(shí)間穩(wěn)定。收斂時(shí)間treach滿足：

2 FAST算法設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性證明

2.1 ST算法

考慮一階系統(tǒng)：

式中：x∈R 為系統(tǒng)狀態(tài)（同時(shí)也是滑模變量）；u∈R和E∈R分別為控制輸入和不確定項(xiàng)。定義E=E1（x，t）+E2（x，t），E1（x，t）表示不可微的不確定性，E2（x，t）表示可微的不確定性。

系統(tǒng)（17）的ST算法可表示為[16]

式中：sgn（x）為符號(hào)函數(shù)；k1和k2為待設(shè)計(jì)的參數(shù)。若和k2的取值滿足[4]：顯然，k1和k2需要根據(jù)不確定性的上界確定。

將式（18）代入式（17），令x1=x，x2=u1，化簡后的控制系統(tǒng)為

式（21）的有限時(shí)間穩(wěn)定性證明及收斂時(shí)間估計(jì)見文獻(xiàn)[4]。

2.2 FAST算法設(shè)計(jì)

假設(shè)3 E1（x，t）和E2（x，t）滿足：

式中：g1和g2為未知正數(shù)；φ1（x）和 φ2（x）為滑模變量的函數(shù)，對不同的控制律有不同的形式。

針對系統(tǒng)（17），設(shè)計(jì)FAST算法如下：

式中：

自適應(yīng)參數(shù)控制器為

式中：a、b、c1和c2為任意正數(shù)。

將式（23）代入式（17），得到控制系統(tǒng)為

式中：

自適應(yīng)參數(shù)控制器為

2.3 有限時(shí)間穩(wěn)定性證明

令ξT=[φ1（x1），x2]，由

可得

式中：

由假設(shè)3可知：

式（31）的等效形式為

式（32）可改寫為

定理1 當(dāng)系統(tǒng)（26）滿足假設(shè)3時(shí)，存在k1*和k2*使得x1和x˙1在有限時(shí)間treach內(nèi)從任意初始位置收斂到0。

證明

令

式中：ε1為足夠小的正常數(shù)。若

則Q11＜0，Q22＜0，Q12=Q21=0，于是Q為半負(fù)定矩陣。令

由分塊矩陣的性質(zhì)可以得到 Φ 為半負(fù)定矩陣。

選取類二次型Lyapunov函數(shù)V=ξTPξ，由式（29）和式（30）得

結(jié)合

可得

因此

由引理2可知，若k1*、k2*滿足式（37），則ξ=在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0，即在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0，且收斂時(shí)間滿足：

由定理1可知，對于未知常數(shù)g1和g2，存在滿足式（37）約束的k*1和k*2使得x1和˙x1在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。

定理2 當(dāng)系統(tǒng)（26）滿足假設(shè)3，控制器參數(shù)k1和k2滿 足 式 （2 8），g1和g2為 未 知 數(shù) 時(shí) ，x1和在有限時(shí)間treach內(nèi)收斂到0。

證明

2）若k1＜k*1，k2＜k*2，選取類二次型Lyapunov函數(shù)：

式中：

顯然

由定理1的證明過程可知：

結(jié)合式（51），得到

式中：

于是有

式中：

由引理1可知，系統(tǒng)（26）有限時(shí)間穩(wěn)定，且收斂時(shí)間滿足：

由于s很難嚴(yán)格收斂至0，而是在0的一個(gè)極小鄰域內(nèi)波動(dòng)，使得k1和k2過大，進(jìn)而引起系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，將自適應(yīng)參數(shù)控制器改進(jìn)為

式中：ε2為很小的正數(shù)。

3 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

式中：c0=0.1。

結(jié)合式（7）可得

式中：

由定理3及式（9）得到FAST制導(dǎo)律為

式中：

其中：k1和k2的值滿足式（60）。

FAST制導(dǎo)律對外界干擾具有魯棒性，且能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂。由制導(dǎo)律的形式可以看出，參數(shù)k1和k2隨著s的變化實(shí)時(shí)改變，且不需要已知外部干擾的上界。

4 仿真分析

為驗(yàn)證所提制導(dǎo)律的有效性，將FAST制導(dǎo)律 （Fast Adaptive Super-Twisting Guidance，F(xiàn)ASTG）與自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律（Adaptive Sliding Mode Guidance，ASMG）、光 滑 二 階 滑 模 制 導(dǎo) 律（Smooth Second Order Sliding Mode Guidance，SSOSMG）、ST制導(dǎo)律（Super-Twisting Guidance，STG）進(jìn)行對比。其中，ASMG為一階滑模制導(dǎo)律，其他為二階滑模制導(dǎo)律，且4種制導(dǎo)律均采取式（61）作為滑模面。

ASMG為[17]

式中：k1=k2=2。

SSOSMG為[18]

STG為[19]

式中：k1=4，k2=3。

FASTG形式如式（64）所示，參數(shù)滿足：a=0.5，b=1，c1=c2=1，ε2=0.1。

制導(dǎo)律所需的r、˙r、˙q等信息均由導(dǎo)彈導(dǎo)引頭測量得到，且不考慮噪聲和干擾。導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀視為理想環(huán)節(jié)，即不考慮延遲。仿真終止時(shí)間為彈目相對距離最近的時(shí)間點(diǎn)，仿真步長為0.01 s。

為了全面分析4種制導(dǎo)律的特點(diǎn)，分別在目標(biāo)無機(jī)動(dòng)和目標(biāo)有機(jī)動(dòng)2種情形下對制導(dǎo)性能進(jìn)行比較。

4.1 目標(biāo)無機(jī)動(dòng)（情形1）

仿真條件：導(dǎo)彈初始位置為（0，0）km，初始速度為500 m/s，初速度方向?yàn)?0°，初始過載約束為15g，切向過載為0，法向過載由制導(dǎo)律得到。目標(biāo)初始位置為（10，5）km，初始速度為300 m/s，初速度方向?yàn)?80°，切向過載和法向過載均為0。

MATLAB仿真仿真結(jié)果如表1和圖2～圖4所示。表1為情形1的仿真結(jié)果，其中Δ為脫靶量，treach和分別為滑模變量實(shí)際和理論收斂時(shí)間，tf為制導(dǎo)時(shí)間。圖2為導(dǎo)彈彈道曲線，黑色虛線為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)曲線，綠色、黑色、紅色、藍(lán)色實(shí)線分別為ASMG、SSOSMG、STG、FASTG四種制導(dǎo)律下的導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)曲線。圖3（a）和圖3（b）分別為滑模變量s（t）及滑模變量的一階導(dǎo)數(shù)˙s（t）變化曲線。圖4為導(dǎo)彈法向過載變化曲線。

由圖2及表1中的 Δ和tf可知，4種制導(dǎo)律的彈道平直且差異很小，制導(dǎo)時(shí)間接近，脫靶量STG最大，ASMG最小，SSOSMG和FASTG略高于ASMG，由于脫靶量遠(yuǎn)小于導(dǎo)彈殺傷半徑，因此可視為直接命中目標(biāo)。由圖3及表1中的treach可知，4種制導(dǎo)律均能夠在有限時(shí)間內(nèi)使得s（t）及t）收斂至0，其中，F(xiàn)ASTG收斂速度最快，STG和ASMG略慢，SSOSMG最慢且時(shí)間遠(yuǎn)大于其他方法。由此可以看出，F(xiàn)ASTG在收斂速度方面較其他方法有一定的提高，但優(yōu)勢并不明顯。由圖4可知，在導(dǎo)彈發(fā)射的前5 s內(nèi)，導(dǎo)彈過載a由大變小并逐漸穩(wěn)定到0，其中FASTG的過載遠(yuǎn)大于其他制導(dǎo)律且變化最為劇烈，最大過載高于其他制導(dǎo)律4倍以上。

總之，在目標(biāo)無機(jī)動(dòng)的情形下，由于彈道接近直線，與其他方法相比，F(xiàn)ASTG的脫靶量和制導(dǎo)時(shí)間相近，收斂速度最快，過載最大，其優(yōu)勢并不明顯。

表1 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果 （情形1）Table 1 Simulation experimental results（Case 1）

圖2 導(dǎo)彈彈道曲線 （情形1）Fig.2 Missile ballistic curves（Case 1）

圖3 滑模變量及其一階導(dǎo)數(shù)變化曲線 （情形1）Fig.3 Variation curves of sliding-mode variable and its first-order derivative（Case 1）

圖4 導(dǎo)彈法向過載變化曲線 （情形1）Fig.4 Variation curves of missile normal overload（Case 1）

4.2 目標(biāo)有機(jī)動(dòng)（情形2）

仿真條件：導(dǎo)彈初始位置為（0，0）km，初始速度為500 m/s，初速度方向?yàn)?5°，最大過載為30g，切向過載為0，法向過載由制導(dǎo)律得到。目標(biāo)初始位置為（2，2）km，初始速度為300 m/s，初速度方向?yàn)?0°，切向過載為0，法向過載nt=（5cos t）g。

MATLAB仿真結(jié)果如表2和圖5～圖7所示，其中曲線和變量含義與情形1相同。

表2 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果 （情形2）Table 2 Simulation experimental results（Case 2）

圖5 導(dǎo)彈彈道曲線（情形2）Fig.5 Missile ballistic curve（Case 2）

圖6 滑模變量及其一階導(dǎo)數(shù)變化曲線 （情形2）Fig.6 Variation curves of sliding-mode variable and its first-order derivative（Case 2）

圖7 導(dǎo)彈法向過載變化曲線 （情形2）Fig.7 Variation curves of missile normal overload（Case 2）

圖5與圖2相比，導(dǎo)彈彈道彎曲，其中ASMG最高，STG和SSOSMG次之，F(xiàn)ASTG最低。表2中的脫靶量STG最小，ASMG和SSOSMG次之，F(xiàn)ASTG最大，由于均遠(yuǎn)小于導(dǎo)彈殺傷半徑，均可視為直接命中目標(biāo)。制導(dǎo)時(shí)間FASTG 最短，ASMG最長，STG和SSOSMG介于兩者之間。由圖6可知，F(xiàn)ASTG能夠使得s（t）及˙s（t）在很短的時(shí)間內(nèi)收斂至0，SSOSMG的收斂速度很慢，收斂時(shí)間接近制導(dǎo)時(shí)間，而ASMG和STG不能收斂，且s（t）大幅度波動(dòng)。由此可見，F(xiàn)ASTG在收斂速度方面明顯優(yōu)于其他制導(dǎo)律。由圖7可知，由于s（t）的波動(dòng)，過載在0附近上下波動(dòng)。初始階段，F(xiàn)ASTG由于s（t）變化最為劇烈，因此過載最大。中間階段4種制導(dǎo)律均小于5g。制導(dǎo)末段，STG和ASMG 的過載迅速增加并達(dá)到最大過載，F(xiàn)ASTG的過載在10g左右，SSOSMG的過載為5g左右。

總之，目標(biāo)機(jī)動(dòng)情形下，彈道彎曲，F(xiàn)ASTG制導(dǎo)時(shí)間最短，脫靶量相近，收斂特性明顯優(yōu)于其他方法，僅在初始階段的過載較大。因此，F(xiàn)ASTG在此情形下的表現(xiàn)更為優(yōu)異。

5 結(jié) 論

1）在標(biāo)準(zhǔn)ST算法的基礎(chǔ)上，增加了自適應(yīng)參數(shù)控制器和線性項(xiàng)，提出了FAST算法。在系統(tǒng)不確定性上界未知的前提下，一方面控制器參數(shù)能夠自適應(yīng)調(diào)節(jié)，避免參數(shù)過大造成系統(tǒng)不穩(wěn)定；另一方面系統(tǒng)在遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)具有更快的收斂速度，提升了標(biāo)準(zhǔn)ST算法的收斂特性。

2）利用二次型Lyapunov函數(shù)證明了FAST算法的有限時(shí)間穩(wěn)定性，與其他證明方法相比，該方法計(jì)算較為簡單，且能夠得到收斂時(shí)間的估計(jì)公式。

3）將FAST算法成功地應(yīng)用于制導(dǎo)律設(shè)計(jì)。仿真結(jié)果表明，本文算法在保留標(biāo)準(zhǔn)ST算法有效抑制抖振、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，具有快速收斂特性且不需要已知不確定性的上界，使得制導(dǎo)系統(tǒng)擁有更高的命中精度和穩(wěn)定性。