邢家省， 楊義川

(1.北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院， 北京100191；2.數(shù)學、信息與行為教育部重點實驗室， 北京100191)

引言

Holder連續(xù)函數(shù)空間是一類重要的函數(shù)空間[1-10]，在偏微分方程[1-8]和泛函分析[9-21]的研究中得到廣泛使用。Holder連續(xù)函數(shù)空間的完備性[1-8]，嵌入的空間和緊嵌入的空間都得到充分的研究[1-10]。

Holder連續(xù)函數(shù)空間的嵌入空間和緊嵌入的空間，在文獻[1-8]都是分別進行的，沒有形成統(tǒng)一的理論方法。本文在文獻[1-8]的基礎上建立了Holder連續(xù)函數(shù)空間的插值空間不等式這一結果，并將這個結果應用于Holder連續(xù)函數(shù)空間的嵌入的空間和緊嵌入的空間，對分散的經(jīng)典結果給予系統(tǒng)的明確改造，表現(xiàn)學術發(fā)展，推進學術認識。

1 Holder連續(xù)函數(shù)空間

CB(Ω)是由定義在Ω上的有界連續(xù)函數(shù)全體組成。類似地可以定義

?x,y∈Ω,0≤|α|≤m

這里K是常數(shù)，它可以依賴于函數(shù)

中元素f的范數(shù)由等式

證明設

定理2設0

(1)對任意實數(shù)x≥y≥0，成立xp-yp≤(x-y)p；

(2)對任意實數(shù)u,v，成立

|f(x)-f(y)|=|(|x-x0|λ-|y-x0|λ)|≤

顯然

顯然，對每一x∈Ω，有

|f(x)|≤|f(x)-fN+1(x)|+|fN+1(x)|≤

可知，f(x)在Ω上有界；再由fN+1(x)在Ω上一致連續(xù)，對上述ε>0，存在δ>0，當x,y∈Ω且|x-y|<δ時，成立|fN+1(x)-fN+1(y)|<ε。于是

|f(x)-f(y)|≤|f(x)-fN+1(x)|+

|fN+1(x)-fN+1(y)|+|f(y)-fN+1(y)|<3ε

定理3的結果，在文獻[1-8]都有涉及，但給出證明表述的僅在文獻[6]中出現(xiàn)。

?x,y∈Ω,x≠y,n∈N*

令n→∞，取極限，得

中，令m→∞，取極限，得

|f(x)-fn(x)|≤ε

?x,y∈Ω,x≠y

證明[1-8]由不等式

4 Holder連續(xù)函數(shù)空間的插值空間不等式

?x,y∈Ω,x≠y

得

故成立

定理10的結果表述在文獻[1-8] 不是明確單獨出現(xiàn)的，盡管在文獻[1-8]中的定理證明過程中出現(xiàn)了這種估計不等式，但都沒有被認識到它的獨立表述結果意義。

定理11[2,4]設Ω是Rn中的開集，0<λ<μ≤1，則有

證明[2,4]設

顯然

得

A1A2+B1B2≤

定理11僅出現(xiàn)在文獻[2,4]中，雖然文獻[2]出現(xiàn)很早，但沒有充分認識到定理11的深刻有效性，沒有利用定理11去改進相關結果的證明。這也說明了定理10不曾在文獻[1,3,5-8]出現(xiàn)的原因。

5 Holder連續(xù)函數(shù)空間的嵌入和緊嵌入的證明

證明利用定理10或定理11的結果，即可得到。

定理12的結果在文獻[1-8]中都是給出相同的原始證明過程，這些過程不能導致定理10和定理11的發(fā)現(xiàn)。

定理13結果的證明，在文獻[1-8]中有，但都沒有意識到從中可以單獨提煉出定理10或定理11的結果。在文獻[2,4]中出現(xiàn)定理11，但也沒有認識到可以用來證明定理12和定理13。這里給出的明確認識改造過程，建立知識捷徑道路，推進學術認識發(fā)展。

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