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        與三個數(shù)論函數(shù)有關(guān)的一類復合方程的可解性*

        2019-07-30 00:39:58張明麗高麗
        關(guān)鍵詞:前提條件素數(shù)正整數(shù)

        張明麗,高麗

        (延安大學 數(shù)學與計算機科學學院,陜西 延安 716000)

        1 引 理

        引理2[5-9]:對于任意的整數(shù)n,設(shè)p是素數(shù),定義p的原數(shù)函數(shù)為最小的正整數(shù)為m,使得pn|m!,即Sp(n)=min{m:pn|m!}.

        引理5[10]:對任意素數(shù)p≥3,Z(p)=p-1.

        引理6[10]:對任意素數(shù)p≥3及k∈N+,Z(pk)=pk-1.當p=2時,有Z(2k)=2k+1-1.

        2 主要結(jié)論及其證明

        定理1:對于任意的正整數(shù)n,混合函數(shù)方程Z(n)=S2(sim(n))無解.

        證明:混合函數(shù)方程

        Z(n)=S2(sim(n))

        (1)

        的解主要分以下兩種情形討論:

        情形一:當n≡0(mod9)時,有S2(sim(n))=S2(9)=min{m:29|m!}=12(由引理1-引理3可得),即Z(n)=12.

        現(xiàn)令n=9l(l=1,2,…),由引理4-引理6知,不存在這樣的n可使得Z(n)=12,故此時(1)式無解.

        情形二:當n≡r(mod9)時,有S2(sim(n))=S2(r)=min{m:2r|m!}(其中0

        當r=1,S2(1)=2,即Z(n)=2,此時n=3,代入(1)式驗證不符合,故此時(1)式無解.

        當r=2,S2(2)=4,即Z(n)=4,此時n=5,10,分別代入(1)式驗證均不符合,故此時(1)式無解.

        當r=3,S2(3)=4,即Z(n)=4,此時n=5,10,分別代入(1)式驗證均不符合,故此時(1)式無解.

        當r=4,S2(4)=6,即Z(n)=6,此時n=7,21,分別代入(1)式驗證均不符合,故此時(1)式無解.

        當r=5,S2(5)=8,即Z(n)=8,此時n=9,12,18,36,分別代入(1)式驗證均不符合,故此時(1)式無解.

        當r=6,S2(6)=8,即Z(n)=8,此時n=9,12,18,36,分別代入(1)式驗證均不符合,故此時(1)式無解.

        當r=7,S2(7)=8,即Z(n)=8,此時n=9,12,18,36,分別代入(1)式驗證均不符合,故此時(1)式無解.

        當r=8,S2(8)=10,即Z(n)=10,此時n=11,55,分別代入(1)式驗證均不符合,故此時(1)式無解.

        定理2:對于任意的正整數(shù)n,混合函數(shù)方程Z(n)=S3(sim(n))的解為n=24,60.

        證明:混合函數(shù)方程

        Z(n)=S3(sim(n))

        (2)

        的解主要分以下兩種情形討論:

        情形一:當n≡0(mod9)時,有S3(sim(n))=S3(9)=min{m:39|m!}=21(由引理1-引理3可得),即Z(n)=21.

        現(xiàn)令n=9l(l=1,2,…),由引理4-引理6知,不存在這樣的n可使得Z(n)=21,故此時(2)式無解.

        情形二:當n≡r(mod9)時,有S3(sim(n))=S3(r)=min{m:3r|m!}(其中0

        當r=1,S3(1)=3,即Z(n)=3,此時n=2,6,分別代入(2)式驗證均不符合,故此時(2)式無解.

        當r=2,S3(2)=6,即Z(n)=6,此時n=7,21,分別代入(2)式驗證均不符合,故此時(2)式無解.

        當r=3,S3(3)=9,即Z(n)=9,此時n=45,sim(45)=9與前提條件矛盾,故此時(2)式無解.

        當r=4,S3(4)=9,即Z(n)=9,此時n=45,sim(45)=9與前提條件矛盾,故此時(2)式無解.

        當r=5,S3(5)=12,即Z(n)=12,此時n=13,26,39,78,分別代入(2)式驗證均不符合,故此時(2)式無解.

        當r=6,S3(6)=15,即Z(n)=15,此時n=24,40,60,120,分別代入(2)式驗證,此時(2)式有解為n=24,60.

        當r=7,S3(7)=18,即Z(n)=18,此時n=19,57,171,分別代入(2)式驗證均不符合,故此時(2)式無解.

        當r=8,S3(8)=18,即Z(n)=18,此時n=19,57,171,分別代入(2)式驗證均不符合,故此時(2)式無解.

        定理3:對于任意的正整數(shù)n,混合函數(shù)方程Z(n)=S5(sim(n))的解為n=11,120.

        證明:混合函數(shù)方程

        Z(n)=S5(sim(n))

        (3)

        的解主要分以下兩種情形討論:

        情形一:當n≡0(mod9)時,有S5(sim(n))=S5(9)=min{m:59|m!}=40(由引理1-引理3可得),即Z(n)=40.

        現(xiàn)令n=9l(l=1,2,…),由引理4-引理6知,不存在這樣的n可使得Z(n)=40,故此時(3)式無解.

        情形二:當n≡r(mod9)時,有S5(sim(n))=S5(r)=min{m:5r|m!}(其中0

        當r=1,S5(1)=5,即Z(n)=5,此時n=15,代入(3)式驗證不符合,故此時(3)式無解.

        當r=2,S5(2)=10,即Z(n)=10,此時n=11,55,分別代入(3)式驗證,此時(3)式有解n=11.當r=3,S5(3)=15,即Z(n)=15,此時n=24,40,60,120,分別代入(3)式驗證,此時(3)式有解n=120.

        當r=4,S5(4)=20,即Z(n)=20,此時n=42,70,210,分別代入(3)式驗證均不符合,故此時(3)式無解.

        當r=5,S5(5)=25,即Z(n)=25,此時n=65,325,分別代入(3)式驗證均不符合,故此時(3)式無解.

        當r=6,S5(6)=25,即Z(n)=25,此時n=65,325,分別代入(3)式驗證均不符合,故此時(3)式無解.

        當r=7,S5(7)=30,即Z(n)=30,此時n=31,93,155,465,分別代入(3)式驗證均不符合,故此時(3)式無解.

        當r=8,S5(8)=35,即Z(n)=35,此時n=63,90,315,630,而sim(63)=9、sim(90)=9、sim(315)=9、sim(630)=9,均與前提條件矛盾,故此時(3)式無解.

        3 相關(guān)推論

        證明:用數(shù)學歸納法易得.

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