李陳峰，高 超，馬開開，張旭輝，周學(xué)謙

（哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

0 引 言

極限強(qiáng)度和剩余強(qiáng)度評(píng)估是船體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)非常重要的兩個(gè)方面，其中極限彎矩（承載能力）計(jì)算是其中重要的工作之一。目前，極限彎矩計(jì)算方法除了類似始屈彎矩法這類基于剖面應(yīng)力分布假定的解析法外，最常用的是逐步破壞法。逐步破壞分析方法又分為簡(jiǎn)化逐步破壞法（Smith法）[1]、非線性有限元法[2]和理想結(jié)構(gòu)單元法[3]等。相比于非線性有限元法和理想結(jié)構(gòu)單元法，Smith法通過(guò)離散剖面結(jié)合曲率增加和單元應(yīng)力的確定，計(jì)算船體彎矩-曲率曲線來(lái)確定極限彎矩，使用方便，且計(jì)算效率和計(jì)算精度較高，在船體初步設(shè)計(jì)階段被廣泛采用。2014年IACS發(fā)布的《Common Structural Rules for Bulk Carriers and Oil Tankers》（HCSR）[4]，將其作為船體梁極限彎矩計(jì)算主要方法之一，并對(duì)計(jì)算流程作出了明確規(guī)定。

Smith法的計(jì)算精度很大程度上取決于兩個(gè)方面：?jiǎn)卧獞?yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的計(jì)算精度和剖面瞬時(shí)中和軸的計(jì)算精度。對(duì)于單元的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，已有很多學(xué)者提出了確定的方法，HCSR也詳細(xì)給出了不同失效模式下單元應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的簡(jiǎn)化計(jì)算方法。對(duì)于中和軸位置的確定，在HCSR規(guī)范[4]給出的Smith法中，中和軸位置的確定通過(guò)中和軸上下部分拉壓力平衡準(zhǔn)則來(lái)確定。該方法可以有效解決完整船剖面中和軸位置確定的問(wèn)題，但是當(dāng)船體發(fā)生橫傾或者破損時(shí)，剖面中和軸不僅會(huì)發(fā)生平移還會(huì)有一定的偏轉(zhuǎn)，所以Choung等人[5]給出了另一準(zhǔn)則-力矢量平衡準(zhǔn)則。這兩個(gè)平衡準(zhǔn)則對(duì)于中和軸的確定提供了可靠的理論方法，但是在實(shí)際應(yīng)用求解過(guò)程中，需要采用一定的數(shù)值技術(shù)來(lái)使力平衡準(zhǔn)則及力矢量平衡準(zhǔn)則達(dá)到預(yù)期的收斂精度。李陳峰等[6]提出采用線性搜索法追蹤中和軸位置，求解過(guò)程中以力平衡誤差值和力矢量平衡誤差值作為判斷準(zhǔn)則，在給定的一系列解中選取一個(gè)最優(yōu)解作為瞬時(shí)中和軸的位置。這種求解方法考慮了中和軸的偏轉(zhuǎn)，雖然將中和軸的平移和偏轉(zhuǎn)作為兩個(gè)問(wèn)題分開求解，與中和軸的實(shí)際移動(dòng)情況不符，但是其計(jì)算結(jié)果達(dá)到了較高的精度。

剖面瞬時(shí)中和軸的求解，實(shí)際上是一個(gè)在給定空間內(nèi)尋求群體最優(yōu)解的過(guò)程，Kennedy和Eberhart[7]提出的粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）可以很好地解決這一問(wèn)題。PSO是一種智能優(yōu)化算法，這種優(yōu)化算法受到鳥群社會(huì)行為的啟發(fā)，群體中每個(gè)粒子都能夠從臨近的粒子和歷史經(jīng)驗(yàn)中獲得有利信息。在迭代過(guò)程中，每個(gè)粒子都會(huì)在個(gè)體最優(yōu)解與群體最優(yōu)解的“指導(dǎo)”下更新粒子的位置和速度，粒子搜索范圍將很快縮小，并以最快的趨勢(shì)趨向問(wèn)題空間內(nèi)的最優(yōu)解。將這種搜索方式用于Smith法追蹤中和軸位置，可以同時(shí)考慮中和軸的平移和偏轉(zhuǎn)，并以非線性迭代的方式更快地靠攏群體最優(yōu)解。

本文在考慮力平衡準(zhǔn)則和力矢量平衡準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，結(jié)合多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法（Multi-Objective Particle Swarm Optimization，MOPSO）研究建立了一種非對(duì)稱剖面中和軸確定方法，并在此基礎(chǔ)上改進(jìn)了現(xiàn)有的Smith法，以實(shí)現(xiàn)非對(duì)稱剖面的極限承載能力分析。通過(guò)對(duì)Dow1/3護(hù)衛(wèi)艦試驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚8]完整正浮工況和多個(gè)破損橫傾工況的極限彎矩計(jì)算，證明了對(duì)于受損船舶，中和軸偏轉(zhuǎn)對(duì)剖面彎矩有顯著影響，且基于MOPSO的中和軸確定方法具有較好的自適應(yīng)和計(jì)算精度。

1 Smith法基本原理及中和軸收斂準(zhǔn)則分析

1.1 Smith法基本原理

Smith法通過(guò)荷載增量迭代來(lái)反映剖面構(gòu)件破壞的實(shí)際過(guò)程，對(duì)每一增量步，根據(jù)平斷面假設(shè)以及船體剖面的瞬時(shí)中和軸計(jì)算得到剖面上每一單元的應(yīng)變，由單元的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可進(jìn)一步得到單元的應(yīng)力。剖面所有單元的應(yīng)力對(duì)瞬時(shí)中和軸取矩，得到的總和即為對(duì)應(yīng)增量步的剖面彎矩。逐步增加曲率，得到彎矩-曲率曲線，曲線斜率為零或?yàn)樨?fù)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的彎矩值即為艦船的極限彎矩。

HCSR規(guī)范中，Smith法的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算流程如圖1所示。其中，Ni代表中和軸的瞬時(shí)位置，χi代表每一迭代步的瞬時(shí)曲率值，Δχ代表曲率增量，χF代表終止曲率，F(xiàn)代表剖面總合力，Mi代表每一迭代步的船體梁彎矩。

1.2 非對(duì)稱剖面中和軸收斂準(zhǔn)則

對(duì)于剖面中和軸的確定，HCSR規(guī)范中考慮剖面的力平衡，中和軸上下拉壓力合力為零，如圖2所示，給出的收斂準(zhǔn)則如下式：

其中：Fc為剖面所有單元壓力的合力，F(xiàn)t為剖面所有單元拉力的合力，ξT為力平衡誤差值，一般取小于0.01。

HCSR規(guī)范提出的力平衡準(zhǔn)則只適用于船體橫剖面為對(duì)稱剖面的情況，但是當(dāng)船體剖面為非對(duì)稱剖面時(shí)，其受力情況如圖2所示。根據(jù)Choung等人[5]對(duì)于非對(duì)稱剖面狀態(tài)下中和軸移動(dòng)情況的研究，為保證剖面的拉壓力平衡，此時(shí)中和軸將會(huì)同時(shí)發(fā)生偏轉(zhuǎn)和平移，此時(shí)要確定中和軸的位置除滿足力平衡準(zhǔn)則外，還需要滿足力矢量平衡準(zhǔn)則：

圖1 Smith法基本流程圖[4] Fig.1 Flow chart of procedure of Smith’s method[4]

理論上，根據(jù)上述給出的力平衡準(zhǔn)則和力矢量平衡準(zhǔn)則，可以確定任意剖面的中和軸位置，但要同時(shí)滿足兩個(gè)收斂準(zhǔn)則需要一定的數(shù)值技術(shù)。

2 基于粒子群算法的中和軸確定方法及其在Smith法中的應(yīng)用

圖2非對(duì)稱剖面受力情況Fig.2 Force condition under asymmetric hull cross-section

非對(duì)稱剖面中和軸的求解，實(shí)際上是一個(gè)在給定空間內(nèi)尋求群體最優(yōu)解的過(guò)程。粒子群算法是一種基于隨機(jī)智能搜索的迭代方法，在搜索過(guò)程中，對(duì)于中和軸既發(fā)生平移又發(fā)生偏轉(zhuǎn)的情況，粒子群算法可將平移和偏轉(zhuǎn)作為粒子的兩個(gè)維度，通過(guò)目標(biāo)函數(shù)的建立搜索中和軸位置，實(shí)現(xiàn)中和軸同時(shí)平移和偏轉(zhuǎn)；粒子的搜索空間及粒子的移動(dòng)均具有隨機(jī)性，可以實(shí)現(xiàn)中和軸的非線性迭代，擴(kuò)大搜索空間；并且隨著迭代的不斷進(jìn)行，粒子群算法會(huì)考慮粒子之間的相互作用，帶著隨機(jī)擾動(dòng)不斷更新粒子的最優(yōu)位置，可以提高中和軸計(jì)算的精度。因此，本文考慮將PSO用于非對(duì)稱剖面中和軸的確定，將其應(yīng)用于改進(jìn)現(xiàn)有的Smith法。

2.1 多目標(biāo)粒子群算法基本原理

PSO的優(yōu)化過(guò)程為初始化產(chǎn)生N個(gè)粒子，每個(gè)粒子對(duì)應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)解，解中包含的變量個(gè)數(shù)即為粒子的維度，粒子i用d維向量xi和vi表示其位置和速度。粒子不斷更新自己的位置和速度直到發(fā)現(xiàn)滿足最大迭代次數(shù)的全局最優(yōu)解。粒子i第k次迭代的速度和位置更新方程如下：

其中：c1、c2為學(xué)習(xí)因子；rand（）為 ［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)；w為慣性權(quán)重；Pid為粒子本身最優(yōu)解，即局部最優(yōu)解；Pgd為所有Pid中的最優(yōu)值，即全局最優(yōu)解。粒子群在開始迭代時(shí)的初始位置和速度是隨機(jī)的，然后依照公式（3）、（4）迭代，直至滿足約束函數(shù)。

由于實(shí)際問(wèn)題中，中和軸的平移和偏轉(zhuǎn)為優(yōu)化問(wèn)題的兩個(gè)變量，此時(shí)粒子群算法的搜索空間為二維空間，可通過(guò)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法（MOPSO）搜索中和軸的位置。

相對(duì)于單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何選擇個(gè)體最優(yōu)和群體最優(yōu)。

本文采用線性加權(quán)法將多目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)，其核心思想是根據(jù)各個(gè)目標(biāo)f（x）的重要程度，分別賦予一個(gè)非負(fù)的權(quán)系數(shù)，然后把這些帶權(quán)的目標(biāo)加起來(lái)構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)通過(guò)這個(gè)評(píng)價(jià)函數(shù)，將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題求解這個(gè)單目標(biāo)問(wèn)題可以得到最優(yōu)解。

2.2 基于粒子群算法的中和軸確定及改進(jìn)的Smith法

對(duì)于剖面中和軸的求解，問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：

變量—中和軸的垂向位置z和與水平軸的轉(zhuǎn)角α；

約束函數(shù)—f1≤0.01，f2≤0.01。

粒子群搜索中和軸的具體流程如下：

（1）初始化粒子群：基于上一次曲率步得到的中和軸位置，在中和軸上下的最大可能移動(dòng)范圍內(nèi)等距離劃分得到初始的中和軸粒子群（粒子在整個(gè)搜索空間內(nèi)均勻分布），存入初始集POP0中，粒子數(shù)為中和軸位移步數(shù)，n2為中和軸轉(zhuǎn)角步數(shù)，本文的粒子數(shù)n=50×50=2 500，步長(zhǎng)step（）z和）視剖面尺寸而定。 初始化粒子的速度v（i）=0，i∈［1，…，n］，設(shè)置粒子的慣性權(quán)重w、學(xué)習(xí)因子c、迭代次數(shù)tmax、粒子最大速度vmax，慣性權(quán)重因子采用線性遞減方式，其中，學(xué)習(xí)因子為迭代次數(shù)；限定粒子最大移動(dòng)范圍

（3）更新粒子群：設(shè)置迭代步數(shù)為100，第j步POPj第i個(gè)粒子的速度為，位置為，采用目標(biāo)函數(shù)評(píng)價(jià)粒子，為第j步粒子選擇個(gè)體最優(yōu)解和群體最優(yōu)解依據(jù)以下公式，更新中和軸位置，得到第j+1步粒子群：

（4）達(dá)到迭代步數(shù)時(shí)，如滿足收斂要求，則結(jié)束搜索；如未滿足收斂要求，則返回步驟（1）繼續(xù)搜索直至滿足收斂要求。

進(jìn)一步，將基于PSO的中和軸確定方法與Smith法結(jié)合，建立改進(jìn)的Smith法以實(shí)現(xiàn)非對(duì)稱船體剖面的極限彎矩計(jì)算，其流程圖如圖3所示。

圖3基于粒子群算法的Smith法的基本流程圖Fig.3 Flow chart of the PSO-based Smith’s method

3 計(jì)算結(jié)果與分析

本文選取Dow1/3護(hù)衛(wèi)艦試驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚8]作為參考算例。該算例船在過(guò)去的幾十年里一直是人們使用各種計(jì)算方法計(jì)算的模板，且已存在可參考的計(jì)算結(jié)果，因此可用來(lái)驗(yàn)證提出的PSO算法是否合理。

3.1 計(jì)算模型與工況定義

Dow1/3護(hù)衛(wèi)艦的半中橫剖面圖如圖4所示。船體剖面的加強(qiáng)筋類型及尺寸參數(shù)如表1所示，且船用鋼材的楊氏模量和泊松比分別取206 GPa和0.3。

表1 Dow1/3護(hù)衛(wèi)艦試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臋M剖面型材表Tab.1 Dimensions of longitudinals of Dow’s test hull-1/3 scale frigate

圖4 Dow1/3護(hù)衛(wèi)艦試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷陌胫袡M剖面圖Fig.4 Half mid-ship section of Dow’s test hull-1/3 scale frigate

考慮船體結(jié)構(gòu)和傾斜狀態(tài)，選取了Dow試驗(yàn)?zāi)Ｐ屯暾」r和多個(gè)破損橫傾工況作為計(jì)算工況，具體情況如表2所示。其中，破損狀態(tài)的破口位置位于右舷，破口中心坐標(biāo)（y，z）為（2.0 m，2.8 m），破損半徑為1.0 m。

3.2 權(quán)重系數(shù)分析

采用線性加權(quán)法解決多目標(biāo)粒子群優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，權(quán)重系數(shù)的選取是影響計(jì)算精度的一個(gè)重要方面。本文首先采用Case 2開展計(jì)算分析，對(duì)于權(quán)重系數(shù)w1、w2分別選取以下幾組分配方式進(jìn)行計(jì)算：（1）w1=0.2，w2=0.8；（2）w1=w2=0.5；（3）w1=0.8，w2=0.2。由于中垂及中拱狀態(tài)下得到的收斂系數(shù)值變化趨勢(shì)及數(shù)值基本一致，故只列出中垂?fàn)顟B(tài)下的力平衡誤差值和力矢量平衡誤差值，如圖5所示。

表2計(jì)算工況定義Tab.2 Difinition of calculation condition

圖5不同權(quán)重分配下Dow1/3護(hù)衛(wèi)艦破損船中垂工況下的力平衡誤差和力矢量平衡誤差Fig.5 Force equilibrium errors and force vector equilibrium errors in the calculation with different weight coefficients for the damaged hull in sagging condition

通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，隨著船體梁曲率的增加，不同權(quán)重比重下的力平衡誤差值和力矢量平衡誤差值均達(dá)到了收斂要求，且遠(yuǎn)小于收斂系數(shù)。此外，不同權(quán)重系數(shù)的分配下，得到的力平衡誤差或力矢量平衡誤差值相差不大。這說(shuō)明權(quán)重系數(shù)的分配對(duì)收斂模式?jīng)]有明顯的影響，故后續(xù)的計(jì)算采用w1=w2=0.5的權(quán)重分配。

3.3 不同工況計(jì)算結(jié)果與分析

（1）完整工況Case1計(jì)算結(jié)果

分別采用基于PSO的改進(jìn)Smith法和基于線性搜索法的改進(jìn)Smith法對(duì)Dow1/3護(hù)衛(wèi)艦試驗(yàn)?zāi)Ｐ屯暾rCase1進(jìn)行計(jì)算，得到的中垂、中拱狀態(tài)下剖面中和軸移動(dòng)情況及極限彎矩結(jié)果如圖6所示，將中垂、中拱狀態(tài)下剖面極限彎矩結(jié)果列入表3，并與現(xiàn)有的文獻(xiàn)中所有極限強(qiáng)度計(jì)算方法得到的值進(jìn)行對(duì)比，其中Ms為中垂彎矩，Mh為中拱彎矩。

圖6 Dow1/3護(hù)衛(wèi)艦完整船正浮狀態(tài)下中和軸的移動(dòng)及彎矩結(jié)果Fig.6 Bending moment&motions of NA-curvature relationships of the Dow’s 1/3 frigate model in intact condition

由圖6可得：采用基于PSO的改進(jìn)Smith法計(jì)算極限彎矩時(shí)，隨著船體梁曲率的增加，剖面中和軸的移動(dòng)曲線及船體剖面彎矩-曲率曲線均與基于線性搜索法的改進(jìn)Smith法計(jì)算結(jié)果有很好的吻合性，這表明PSO應(yīng)用于Smith法中和軸的計(jì)算可行，能夠很好地實(shí)現(xiàn)算法目的。

通過(guò)與表3列出的結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，基于PSO的改進(jìn)Smith法計(jì)算結(jié)果與其他學(xué)者計(jì)算結(jié)果吻合良好。中垂情況下，與實(shí)驗(yàn)值相比誤差值為2.8%；中拱情況下，參照Paik采用非線性有限元計(jì)算方法的結(jié)果，結(jié)果相比誤差為6.64%。另外，基于PSO的Smith法與基于線性搜索法的改進(jìn)Smith法對(duì)于完整船對(duì)稱剖面得到的計(jì)算結(jié)果完全吻合，表明基于PSO算法的Smith方法在實(shí)際計(jì)算中的可行性。

表3 Dow1/3護(hù)衛(wèi)艦試驗(yàn)?zāi)Ｐ屯暾乃袠O限強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果Tab.3 Summary of ultimate strength of Dow’s test hull-1/3 scale frigate

（2）破損工況計(jì)算結(jié)果

采用基于PSO的改進(jìn)Smith法對(duì)Dow1/3護(hù)衛(wèi)艦試驗(yàn)?zāi)Ｐ虲ase 2-4工況計(jì)算剖面極限彎矩，與基于線性搜索法的改進(jìn)Smith法進(jìn)行結(jié)果對(duì)比，得到的中垂、中拱狀態(tài)下剖面中和軸移動(dòng)情況以及極限彎矩對(duì)比圖如圖7-9所示。

圖7 Dow1/3護(hù)衛(wèi)艦破損船左傾10°狀態(tài)下中和軸的移動(dòng)及彎矩結(jié)果Fig.7 Bending moment&motions of NA-curvature relationships of the Dow’s 1/3 frigate model with damaged hull and a heeling angle of 10°

圖8 Dow1/3護(hù)衛(wèi)艦破損船左傾20°狀態(tài)下中和軸的移動(dòng)及彎矩結(jié)果Fig.8 Bending moment&motions of NA-curvature relationships of the Dow’s 1/3 frigate model with damaged hull and a heeling angle of 20°

圖9 Dow1/3護(hù)衛(wèi)艦破損船左傾30°狀態(tài)下中和軸的移動(dòng)及彎矩結(jié)果Fig.9 Bending moment&motions of NA-curvature relationships of the Dow’s 1/3 frigate model with damaged hull and a heeling angle of 30°

從圖7-9可以看出，對(duì)于Dow1/3護(hù)衛(wèi)艦試驗(yàn)?zāi)Ｐ停溆?jì)算得到的中和軸移動(dòng)、船體剖面彎矩均與李陳峰等提出的改進(jìn)Smith算法計(jì)算結(jié)果基本吻合，中和軸移動(dòng)趨勢(shì)及彎矩變化趨勢(shì)基本一致。這說(shuō)明，本文提出的基于PSO算法的Smith方法用于極限強(qiáng)度計(jì)算是可行的，且精度較高。

4 結(jié) 論

本文考慮非對(duì)稱剖面中和軸偏轉(zhuǎn)的問(wèn)題，在力平衡準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上考慮剖面力矢量的平衡，并結(jié)合多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法，建立了一種適用于非對(duì)稱剖面極限彎矩計(jì)算的改進(jìn)Smith法。通過(guò)Dow1/3護(hù)衛(wèi)艦?zāi)Ｐ偷挠?jì)算分析，得到以下結(jié)論：

（1）基于剖面的力平衡準(zhǔn)則和力矢量平衡準(zhǔn)則，可有效地確定非對(duì)稱剖面的中和軸位置；

（2）基于PSO的中和軸確定方法具有較好的自適應(yīng)和計(jì)算精度；

（3）對(duì)于受損船舶，中和軸偏轉(zhuǎn)對(duì)剖面彎矩有顯著影響，目前HCSR規(guī)范推薦的Smith法是不完全適用的。