李 鑫

(浙江省桐鄉(xiāng)第一中學(xué),浙江 嘉興 314500)

高考?jí)狠S題歷來(lái)承擔(dān)著選拔優(yōu)秀學(xué)生的作用,一般物理的壓軸題都會(huì)在物理建模、物理情景復(fù)雜程度以及數(shù)理邏輯鏈上增加難度．[1]由于競(jìng)賽問(wèn)題天然具有這樣的性質(zhì),所以把競(jìng)賽問(wèn)題進(jìn)行降階處理,是高考?jí)狠S題的一個(gè)重要題源．[2]在各種級(jí)別的考試中,試題有明顯的“自上而下”的流動(dòng)形態(tài),[3]即在高級(jí)別測(cè)試的復(fù)雜問(wèn)題經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化“下放”到低一級(jí)考試當(dāng)中．實(shí)際上,歷年物理競(jìng)賽決賽題或復(fù)賽題,就有科研一線(xiàn)實(shí)際問(wèn)題的簡(jiǎn)化降階,在美國(guó)AP和SAT測(cè)試中,[4]這樣的現(xiàn)象亦屢見(jiàn)不鮮．

2004年以來(lái),天津物理試題開(kāi)始自主命題．天津卷一直堅(jiān)持自己理念,辨識(shí)度高,尤其在最后一題選擇上頗多亮點(diǎn)．歷年天津卷壓軸題,有高級(jí)物理技巧的要求、有現(xiàn)實(shí)模型的建立、也有深刻物理原理的追問(wèn)．這些試題不少來(lái)源于各級(jí)別競(jìng)賽試題,本文遴選4道真題并追本溯源,找到各自題源做對(duì)比,首先進(jìn)行分類(lèi),然后講述試題演化歷程,評(píng)析試題物理內(nèi)涵和選拔功效,最后提出競(jìng)賽和高考的一些聯(lián)系,以及師生應(yīng)對(duì)的策略．

1 2015年天津高考?jí)狠S題與“正則動(dòng)量”

1.1 原題展現(xiàn)

現(xiàn)代科學(xué)儀器常利用電場(chǎng)、磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng),如圖1,真空中存在著如圖1所示的多層緊密相鄰的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng),電場(chǎng)與磁場(chǎng)的寬度均為d,電場(chǎng)強(qiáng)度為E,方向水平向右;磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直紙面向里．電場(chǎng)、磁場(chǎng)的邊界互相平行且與電場(chǎng)方向垂直．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子在第1層電場(chǎng)左側(cè)邊界某處由靜止釋放,粒子始終在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),不計(jì)粒子重力及運(yùn)動(dòng)時(shí)的電磁輻射．

(1) 求粒子在第2層磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度v2的大小與軌跡半徑r2;

(2) 粒子從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí),速度的方向與水平方向的夾角為θn,試求sinθn;

(3) 若粒子恰好不能從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出,試問(wèn)在其他條件不變的情況下,也進(jìn)入第n層磁場(chǎng),但比荷較該粒子大的粒子能否穿出該層磁場(chǎng)右側(cè)邊界,請(qǐng)簡(jiǎn)要推理說(shuō)明之．

圖1

1.2 高考角度

天津歷年壓軸題設(shè)問(wèn)方式非常統(tǒng)一,一般都是3個(gè)小問(wèn),3個(gè)設(shè)問(wèn)很注重梯度性,第一問(wèn)是送分問(wèn)題,照顧絕大數(shù)學(xué)生,第二問(wèn)是此題精華,最具區(qū)分度,第三問(wèn)是基于第二問(wèn)的定性討論,很考驗(yàn)物理思維．下面的例子也會(huì)充分體現(xiàn)這個(gè)規(guī)律．

在高考物理試題中,一般數(shù)學(xué)處理技巧難度不大,試題更加側(cè)重于學(xué)生對(duì)物理情景的認(rèn)知和物理過(guò)程的建立．本題第二問(wèn)首先需要學(xué)生對(duì)于粒子在多層電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡有清晰的把握,然后能根據(jù)物理關(guān)系和幾何關(guān)系建立遞歸關(guān)系,難點(diǎn)集中在遞歸關(guān)系建立上,即便對(duì)于高中的數(shù)列壓軸題中,遞歸數(shù)列的問(wèn)題也是一個(gè)難點(diǎn)．所以本問(wèn)不僅物理情景復(fù)雜,數(shù)學(xué)關(guān)系的構(gòu)建更難．

圖2

解析：如圖2所示，粒子進(jìn)入第n層磁場(chǎng)時(shí),速度的方向與水平方向的夾角為αn,從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)速度方向與水平方向的夾角為θn,粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí),垂直于電場(chǎng)線(xiàn)方向的速度分量不變.

設(shè)粒子在第n層磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度為vn,軌跡半徑為rn(下標(biāo)表示粒子所在層數(shù)),有

(1)

(2)

vn-1sinθn-1=vnsinαn.

(3)

由圖2根據(jù)幾何關(guān)系可以得到

rnsinθn-rnsinαn=d.

(4)

聯(lián)立可得

rnsinθn-rn-1sinαn-1=d.

(5)

由此可看出r1sinθ1,r2sinθ2,…,rnsinθn為一等差數(shù)列,公差為d,可得

rnsinθn=r1sinθ1+(n-1)d.

(6)

當(dāng)n=1時(shí):

r1sinθ1=d.

(7)

聯(lián)立可解得

(8)

1.3 競(jìng)賽角度

帶電粒子僅受洛倫茲力情況下,水平方向速度對(duì)應(yīng)的洛倫茲力在豎直方向上,利用動(dòng)量定理,有

qvxBdt=d(mvy)，

積分得

qBx=mvy.

(9)

所以粒子在磁場(chǎng)中在豎直方向獲得的速度是由粒子在磁場(chǎng)中水平方向位移所決定的．

經(jīng)歷n個(gè)區(qū)域電場(chǎng)加速

(10)

qvxBdt=d(mvy).

(11)

經(jīng)歷n個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域偏轉(zhuǎn),得

qBnd=mvy.

(12)

即

(13)

1.4 對(duì)比分析

第1種解法需要學(xué)生有耐心分析物理過(guò)程的能力,還要有出色的數(shù)學(xué)處理能力,至少是要具備構(gòu)建并求解等比數(shù)列和分析幾何圖形的能力,如果學(xué)生都按照這些要求得出正確答案,選拔出來(lái)的學(xué)生無(wú)疑是極為出色的．第2種解法體現(xiàn)出很大優(yōu)越性．對(duì)于競(jìng)賽生來(lái)說(shuō),[5]這道題就是一個(gè)結(jié)論題,掌握熟練的學(xué)生甚至可以在考場(chǎng)上秒殺這道題.

2 兩種模型,不同降階

2016年和2013年天津壓軸題背景都是經(jīng)典模型,這兩個(gè)模型都源自競(jìng)賽問(wèn)題,天津卷對(duì)此做了截然不同的降階處理方式．

2.1 “磁阻尼”問(wèn)題題源對(duì)比

圖3

原題.(2016年天津高考題)電磁緩速器是應(yīng)用于車(chē)輛上以提高運(yùn)行安全性的輔助制動(dòng)裝置,其工作原理是利用電磁阻尼作用減緩車(chē)輛的速度．電磁阻尼作用可以借助如下模型討論:如圖3所示,將形狀相同的兩根平行且足夠長(zhǎng)的鋁條固定在光滑斜面上,斜面與水平方向夾角為θ．一質(zhì)量為m的條形磁鐵滑入兩鋁條間,恰好勻速穿過(guò),穿過(guò)時(shí)磁鐵兩端面與兩鋁條的間距始終保持恒定,其引起電磁感應(yīng)的效果與磁鐵不動(dòng)、鋁條相對(duì)磁鐵運(yùn)動(dòng)相同．磁鐵端面是邊長(zhǎng)為d的正方形,由于磁鐵距離鋁條很近,磁鐵端面正對(duì)兩鋁條區(qū)域的磁場(chǎng)均可視為勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,鋁條的高度大于d,電阻率為ρ．為研究問(wèn)題方便,鋁條中只考慮與磁鐵正對(duì)部分的電阻和磁場(chǎng),其他部分電阻和磁場(chǎng)可忽略不計(jì),假設(shè)磁鐵進(jìn)入鋁條間以后,減少的機(jī)械能完全轉(zhuǎn)化為鋁條的內(nèi)能,重力加速度為g．

(1) 求鋁條中與磁鐵正對(duì)部分的電流I;

(2) 若兩鋁條的寬度均為b,推導(dǎo)磁鐵勻速穿過(guò)鋁條間時(shí)速度v的表達(dá)式;

(3) 在其他條件不變的情況下,僅將兩鋁條更換為寬度b′>b的鋁條,磁鐵仍以速度v進(jìn)入鋁條間,試簡(jiǎn)要分析說(shuō)明磁鐵在鋁條間運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度和速度如何變化．

(第6屆亞賽題)[6]當(dāng)一磁鐵在靠近非磁性導(dǎo)體如銅和鋁旁邊運(yùn)動(dòng)時(shí),磁鐵將會(huì)受到耗散力的作用,運(yùn)動(dòng)將減緩甚至停止,這一效應(yīng)稱(chēng)為磁剎車(chē)效應(yīng).在物理演示實(shí)驗(yàn)室中,常常表演這一效應(yīng)．實(shí)驗(yàn)表明,磁剎車(chē)力依賴(lài)于磁鐵的磁矩、非磁性導(dǎo)體的電導(dǎo)、磁鐵和導(dǎo)體的尺寸和形狀、磁鐵到導(dǎo)體表面的距離和磁鐵相對(duì)導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)速度．磁剎車(chē)力滿(mǎn)足如下經(jīng)驗(yàn)關(guān)系

FMB=-k0dpvn，

式中k0是一常數(shù),與磁矩、導(dǎo)體的電導(dǎo)和導(dǎo)體及磁體的幾何形狀有關(guān),d為磁鐵中心到導(dǎo)體表面的距離,v為磁鐵的運(yùn)動(dòng)速度．實(shí)驗(yàn)儀器:圓環(huán)形的釹鐵硼磁鐵,厚度tM=(6.3 ±0.1) mm,外環(huán)直徑dM=(25.4 ±0. 1) mm, 質(zhì)量m=(21.5 ±0.5) g．磁極在兩側(cè)面上．另有2根鋁條,塑料支架,數(shù)字秒表, 直尺,傾斜放置的有機(jī)玻璃板,板上有一直線(xiàn)的軌道供磁鐵在其上運(yùn)動(dòng)．

實(shí)驗(yàn)方法和問(wèn)題:

(1) 讓磁鐵沿斜面上的軌道向下滾動(dòng),注意斜面的傾斜角要選擇適當(dāng),不要讓磁鐵滾動(dòng)太快,當(dāng)磁鐵的磁場(chǎng)很強(qiáng)時(shí),由于地磁場(chǎng)作用,磁鐵會(huì)受到顯著的力矩作用,使得磁鐵滾動(dòng)時(shí)發(fā)生扭轉(zhuǎn)而與軌道發(fā)生摩擦,如何擺放實(shí)驗(yàn)裝置才能使得這一力矩最小?并作圖表示．

(2) 如圖4所示,將2條鋁條放置在斜面軌道兩邊,圖中d=5 mm．再次讓磁鐵在軌道上運(yùn)動(dòng),磁鐵的滾動(dòng)因?yàn)榇艅x車(chē)效應(yīng)而比沒(méi)有鋁條時(shí)緩慢得多．畫(huà)出磁感應(yīng)線(xiàn)分布圖以及鋁條和磁鐵的受力圖,解釋磁剎車(chē)機(jī)理．

圖4

(3) 研究磁剎車(chē)力與冪指數(shù)p和n的關(guān)系．實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示,磁鐵與導(dǎo)體間d=5 mm(磁鐵與兩側(cè)導(dǎo)體表面間距約為2 mm)．

① 保持間距d不變,研究磁剎車(chē)力與速度的關(guān)系．確定式(1)中速度冪指數(shù)n的大?。?/p>

② 對(duì)稱(chēng)地移動(dòng)磁鐵兩側(cè)的鋁條以改變導(dǎo)體到磁鐵的間距d,研究磁剎車(chē)力與磁鐵與導(dǎo)體間 距d的依賴(lài)關(guān)系．確定方程(1)中間距d的冪指數(shù)．

毫無(wú)疑問(wèn),兩道題同出一源．

無(wú)論是亞賽題還是天津題,這個(gè)物理模型其實(shí)不難定性理解,磁鐵在下滑過(guò)程中,在正對(duì)鋁條上會(huì)產(chǎn)生渦流,于是會(huì)對(duì)磁鐵有阻礙,但是如何從定性分析轉(zhuǎn)換到定量求解,兩道題都做了不同程度的精彩演繹,亞賽題是把它設(shè)計(jì)成一道實(shí)驗(yàn)題,用到的模型自然就是渦流的模型．

(14)

回路中的電阻為R,則消耗的電功率

(15)

則磁鐵所受的阻力為

(16)

即只要磁鐵和鋁棒之間的距離保持不變,那么磁剎車(chē)力的大小與磁鐵速度成正比．[7]

有了以上對(duì)學(xué)生理論分析能力的要求,本題自然就可以設(shè)計(jì)出第3問(wèn),探究磁剎力和速度以及其他影響因素的關(guān)系,本題是一道實(shí)驗(yàn)題,完美地把理論分析和實(shí)驗(yàn)探究融合起來(lái),非常漂亮．

高考題處理模型方式完全不同,立足點(diǎn)是遴選出高考要求下優(yōu)秀的學(xué)生,試題不能大幅度超綱,所以定量分析渦流模型是不行的,于是做了非常巧妙的設(shè)定.(1) 只有正對(duì)磁鐵部分的鋁塊有磁場(chǎng),(2) 只有正對(duì)磁場(chǎng)部分的鋁塊有電阻,這兩個(gè)設(shè)定很精彩的對(duì)原模型做了降階處理,把渦流模型變成了動(dòng)磁場(chǎng)下的切割模型,鋁塊相對(duì)于磁鐵向上運(yùn)動(dòng),正對(duì)部分鋁塊相當(dāng)于是電源,既有電動(dòng)勢(shì)也有內(nèi)阻,而且內(nèi)阻就是全部電阻．經(jīng)過(guò)這樣的設(shè)定,就可以轉(zhuǎn)換成高考生可以解決的問(wèn)題,勻強(qiáng)磁場(chǎng)中導(dǎo)體棒相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典話(huà)題,可以起到充分選拔作用.

高考題第(2)問(wèn)求解.

磁鐵穿過(guò)鋁條時(shí),在鋁條中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)有

E=Bdv.

(17)

鋁條與磁鐵正對(duì)部分的電阻為R,由電阻定律有

(18)

由歐姆定律有

(19)

聯(lián)立上式可得

(20)

2.2 “超導(dǎo)”問(wèn)題題源對(duì)比

2.2.1 題源介紹

天津高考和競(jìng)賽淵源另一個(gè)經(jīng)典例子是2013年壓軸題,此題關(guān)注的是超導(dǎo)模型,超導(dǎo)體自誕生以來(lái)一直都是熱門(mén)話(huà)題,此題的題源有兩個(gè):分別出自第25屆復(fù)賽和第16屆復(fù)賽．[8]限于篇幅,這里對(duì)比第25屆和天津2013年壓軸題．

2.2.2 原題展現(xiàn)

(第25屆復(fù)賽題)零電阻是超導(dǎo)體的一個(gè)基本特征,但在確認(rèn)這一事實(shí)時(shí)受到實(shí)驗(yàn)測(cè)量精確度的限制．為克服這一困難,最著名的實(shí)驗(yàn)是長(zhǎng)時(shí)間監(jiān)測(cè)浸泡在液態(tài)氦(溫度T=4.2 K)中處于超導(dǎo)態(tài)的用鉛絲做成的單匝線(xiàn)圈(超導(dǎo)轉(zhuǎn)換溫度TC=7.19 K)中電流的變化．設(shè)鉛絲粗細(xì)均勻,初始時(shí)通有I=100 A的電流,電流檢測(cè)儀器的精度為ΔI=1.0 mA,在持續(xù)一年的時(shí)間內(nèi)電流檢測(cè)儀器沒(méi)有測(cè)量到電流的變化．根據(jù)這個(gè)實(shí)驗(yàn),試估算對(duì)超導(dǎo)態(tài)鉛的電阻率為0的結(jié)論認(rèn)定的上限為多大．設(shè)鉛中參與導(dǎo)電的電子數(shù)密度n=8.00×1020m3,已知電子質(zhì)量m=9.11×10-31kg,基本電荷e=1.60×10-19C．(采用的估算方法必須利用本題所給出的有關(guān)數(shù)據(jù))

(2013年天津高考題)超導(dǎo)現(xiàn)象是20世紀(jì)人類(lèi)重大發(fā)現(xiàn)之一,日前我國(guó)己研制出世界傳輸電流最大的高溫超導(dǎo)電纜并成功示范運(yùn)行．

(1) 超導(dǎo)體在溫度特別低時(shí)電阻可以降到幾乎為0,這種性質(zhì)可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究．將一個(gè)閉合超導(dǎo)金屬圈環(huán)水平放置在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,磁感線(xiàn)垂直于圈環(huán)平面向上,逐漸降低溫度使環(huán)發(fā)生由正常態(tài)到超導(dǎo)態(tài)的轉(zhuǎn)變后突然撤去磁場(chǎng),若此后環(huán)中的電流不隨時(shí)間變化,則表明其電阻為0．請(qǐng)指出自上往下看環(huán)中電流方向,并說(shuō)明理由．

(2) 為探究該圓環(huán)在超導(dǎo)狀態(tài)的電阻率上限ρ,研究人員測(cè)得撤去磁場(chǎng)后環(huán)中電流為I,并經(jīng)一年以上的時(shí)間t未檢測(cè)出電流變化．實(shí)際上儀器只能檢測(cè)出大于ΔI的電流變化,其中ΔI?I,當(dāng)電流的變化小于ΔI時(shí),儀器檢測(cè)不出電流的變化,研究人員便認(rèn)為電流沒(méi)有變化．設(shè)環(huán)的橫截面積為S,環(huán)中定向移動(dòng)電子的平均速率為v,電子質(zhì)量為m、電荷量為e．試用上述給出的各物理量,推導(dǎo)出ρ的表達(dá)式．

(3) 若仍使用上述測(cè)量?jī)x器,實(shí)驗(yàn)持續(xù)時(shí)間依舊為t,為使實(shí)驗(yàn)獲得的該圓環(huán)在超導(dǎo)狀態(tài)的電阻率上限ρ的準(zhǔn)確程度更高,請(qǐng)?zhí)岢瞿愕慕ㄗh,并簡(jiǎn)要說(shuō)明實(shí)現(xiàn)方法．

2.2.3 對(duì)比分析

和上一題不同,這道“超導(dǎo)”的問(wèn)題高考題完全脫胎于第25屆的復(fù)賽題,并沒(méi)有做“模型”認(rèn)知上的降階．只做了兩點(diǎn)變化,其一是設(shè)了3個(gè)小問(wèn),讓學(xué)生有分可拿,其二是把原題的具體數(shù)值舍去,降低了數(shù)值計(jì)算的要求,當(dāng)然,拋卻了具體數(shù)值也降低了題目設(shè)計(jì)上的難度,避免了科學(xué)性錯(cuò)誤．對(duì)于學(xué)生,建模難度也會(huì)下降,因?yàn)椴粫?huì)受到數(shù)值的干擾,全部注意力都在物理量上,高考題比復(fù)賽題設(shè)問(wèn)指向性更明顯,復(fù)賽題的建模含義有些模糊,需要學(xué)生判斷清楚．

細(xì)致分析高考題設(shè)問(wèn),試題沒(méi)有體現(xiàn)出分層設(shè)問(wèn)的特點(diǎn),第1問(wèn)是送分問(wèn)題,并沒(méi)有為第2問(wèn)做鋪墊,第2問(wèn)是此題核心一問(wèn).這種設(shè)問(wèn)方式和過(guò)去高考?jí)狠S題只有一問(wèn)的方式?jīng)]有本質(zhì)區(qū)別,因?yàn)轭}目設(shè)計(jì)者并沒(méi)有充分搭設(shè)橋梁,為學(xué)生建模開(kāi)拓思維．筆者以為此題做為高考題實(shí)在太難了,這可是物理競(jìng)賽的復(fù)賽試題,對(duì)于學(xué)生物理素養(yǎng)提出極高要求,而且中間還涉及到電流微觀表達(dá)式和小量計(jì)算,需要學(xué)生對(duì)高中物理知識(shí)的本源有非常透徹的了解．下面是高考題第(2)問(wèn)求解過(guò)程.

設(shè)圓環(huán)周長(zhǎng)為l、電阻為R,由電阻定律得

(21)

設(shè)t時(shí)間內(nèi)環(huán)中電流釋放焦耳熱而損失的能量為ΔE,由焦耳定律得

ΔE=I2Rt.

(22)

設(shè)環(huán)中單位體積內(nèi)定向移動(dòng)電子數(shù)為n,則

I=nevS，

(23)

式中n、e、S不變,只有定向移動(dòng)電子的平均速率的變化才會(huì)引起環(huán)中電流的變化,電流變化大小取ΔI時(shí),相應(yīng)定向移動(dòng)電子的平均速率的變化得大小為Δv,則

ΔI=neSΔv.

(24)

設(shè)環(huán)中定向移動(dòng)電子減少的動(dòng)能總和為ΔEk,則

(25)

由于ΔI?I,可得

(26)

根據(jù)能量守恒定律

ΔE=ΔEk.

(27)

聯(lián)立上述各式,得

(28)

t=365×24×3600 s=3.15×107s.

ρ=1.4×10-26Ω·m.

所以電阻率為0的結(jié)論在這一實(shí)驗(yàn)中只能認(rèn)定到ρ≤1.4×10-26Ω·m.

2.3 小結(jié)

對(duì)比2013年和2016年天津高考?jí)狠S題,共同之處都是來(lái)源于競(jìng)賽的物理模型,但是2013年的壓軸題沒(méi)有經(jīng)過(guò)什么“降階”處理,幾乎是照搬競(jìng)賽原題,或許是前車(chē)之鑒,2016年天津壓軸題的設(shè)計(jì)要精彩得多,把看似高考考生沒(méi)辦法解決的問(wèn)題通過(guò)兩點(diǎn)假設(shè)約定變成了可以解決的問(wèn)題,是一個(gè)經(jīng)典的從競(jìng)賽到高考的好問(wèn)題．

3 “磁懸浮”列車(chē)問(wèn)題的“前世今生”

天津高考?jí)狠S題和競(jìng)賽最經(jīng)典例子還要數(shù)2008年的高考?jí)狠S題,此題也可以說(shuō)是天津高考?jí)狠S和競(jìng)賽的淵藪,[9]試題的背景是當(dāng)時(shí)很熱的磁懸浮列車(chē),題源是第23屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽的第5題,第23屆考試時(shí)間是2006年,2007年上海的最后一題就是承接此題,2008年天津壓軸題可以視作一脈相承,下面就來(lái)比較這3道題．

3.1 試題對(duì)比

(第23屆復(fù)賽題)磁懸浮列車(chē)是一種高速運(yùn)載工具．它具有兩個(gè)重要系統(tǒng)．一是懸浮系統(tǒng),利用磁力(可由超導(dǎo)電磁鐵提供)使車(chē)體在導(dǎo)軌上懸浮起來(lái)與軌道脫離接觸．另一是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),在沿軌道上安裝的三相繞組(線(xiàn)圈)中,通上三相交變電流,產(chǎn)生隨時(shí)間、空間作周期性變化的磁場(chǎng),磁場(chǎng)與固連在車(chē)體下端的感應(yīng)金屬板相互作用,使車(chē)體獲得牽引力．

為了有助于了解磁懸浮列車(chē)的牽引力的來(lái)由,我們求解下面的問(wèn)題．

設(shè)有一與軌道平面垂直的磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t和空間位置x變化規(guī)律為B(x,t)=B0cos(ωt-kx)式中B0、ω、k均為已知常量,坐標(biāo)軸x與軌道平行．在任一時(shí)刻t,軌道平面上磁場(chǎng)沿x方向的分布是不均勻的,如圖5所示．圖中Oxy平面代表軌道平面,“×”表示磁場(chǎng)的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙里,“·”表示磁場(chǎng)的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙外．規(guī)定指向紙外時(shí)B取正值．“×”和“·”的疏密程度表示沿著x軸B的大小分布．一與軌道平面平行的具有一定質(zhì)量的金屬矩形框MNPQ處在該磁場(chǎng)中,已知與軌道垂直的金屬框邊MN的長(zhǎng)度為l,與軌道平行的金屬框邊MQ的長(zhǎng)度為d,金屬框的電阻為R,不計(jì)金屬框的電感．

(1) 試求在時(shí)刻t,當(dāng)金屬框的MN邊位于x處時(shí)磁場(chǎng)作用于金屬框的安培力,設(shè)此時(shí)刻金屬框沿x軸正方向移動(dòng)的速度為v．

(2) 試討論安培力的大小與金屬框幾何尺寸的關(guān)系．

圖5

(2007年上海高考題)如圖6(a)所示,光滑的平行長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌置于水平面內(nèi),間距為L(zhǎng)、導(dǎo)軌左端接有阻值為R的電阻,質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒垂直跨接在導(dǎo)軌上．導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻均不計(jì),且接觸良好.在導(dǎo)軌平面上有一矩形區(qū)域內(nèi)存在著豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．開(kāi)始時(shí),導(dǎo)體棒靜止于磁場(chǎng)區(qū)域的右端,當(dāng)磁場(chǎng)以速度v1勻速向右移動(dòng)時(shí),導(dǎo)體棒隨之開(kāi)始運(yùn)動(dòng),同時(shí)受到水平向左、大小為f的恒定阻力,并很快達(dá)到恒定速度,此時(shí)導(dǎo)體棒仍處于磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)．

圖6

(1) 求導(dǎo)體棒所達(dá)到的恒定速度v2;

(2) 為使導(dǎo)體棒能隨磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng),阻力最大不能超過(guò)多少?

(3) 導(dǎo)體棒以恒定速度運(yùn)動(dòng)時(shí),單位時(shí)間內(nèi)克服阻力所做的功和電路中消耗的電功率各為多大?

(4) 若t=0時(shí)磁場(chǎng)由靜止開(kāi)始水平向右做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)較短時(shí)間后,導(dǎo)體棒也做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),其v-t關(guān)系如圖6(b),已知在時(shí)刻t導(dǎo)體棒瞬時(shí)速度大小為vt,求導(dǎo)體棒做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大?。?/p>

(2008年天津高考題)磁懸浮列車(chē)是一種高速低耗的新型交通工具,它的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為如下模型,固定在列車(chē)下端的動(dòng)力繞組可視為一個(gè)矩形純電阻金屬框,電阻為R,金屬框置于xOy平面內(nèi),長(zhǎng)邊MN為l平行于y軸,寬為d的NP邊平行于x軸,如圖7(a)所示．列車(chē)軌道沿Ox方向,軌道區(qū)域內(nèi)存在垂直于金屬框平面的磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿Ox方向按正弦規(guī)律分布,其空間周期為λ,最大值為B0,如圖7所示,金屬框同一長(zhǎng)邊上各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度相同,整個(gè)磁場(chǎng)以速度v0沿Ox方向勻速平移．設(shè)在短暫時(shí)間內(nèi),MN、PQ邊所在位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化可以忽略,并忽略一切阻力．列車(chē)在驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)作用下沿Ox方向加速行駛,某時(shí)刻速度為v(v

(1) 簡(jiǎn)要敘述列車(chē)運(yùn)行中獲得驅(qū)動(dòng)力的原理;

(2) 為使列車(chē)獲得最大驅(qū)動(dòng)力,寫(xiě)出MN、PQ邊應(yīng)處于磁場(chǎng)中的什么位置及λ與d之間應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式;

(3) 計(jì)算在滿(mǎn)足第(2)問(wèn)的條件下列車(chē)速度為v時(shí)驅(qū)動(dòng)力的大小．

圖7

3.2 分析

顯然上面3道題是一脈相承的,3道題目最本源的區(qū)別在于對(duì)磁懸浮列車(chē)驅(qū)動(dòng)電機(jī)建模,深圳大學(xué)編擬的競(jìng)賽題采用的是真實(shí)物理情景,而天津高考題和上海高考題都做了不同程度的簡(jiǎn)化．上海高考題簡(jiǎn)化程度更大些,而天津高考題的磁場(chǎng)隨空間還是交變的,難度相應(yīng)也較大．

評(píng)斷一道試題的編擬好壞可以看一看跟隨者的腳步,在往后的各地市模擬題中,關(guān)于磁場(chǎng)和導(dǎo)體棒相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題基本上都假定磁場(chǎng)是勻強(qiáng)磁場(chǎng),從這個(gè)角度來(lái)說(shuō),上海試題的處理更近地氣一些．但是筆者認(rèn)為上海的模型過(guò)于簡(jiǎn)約了．天津卷第2問(wèn)為了降低難度,提醒學(xué)生關(guān)注金屬框和磁場(chǎng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,第3問(wèn)則對(duì)學(xué)生理解感生電動(dòng)勢(shì)提出了更本質(zhì)的追問(wèn),需要分析清楚磁通量變化量,本題對(duì)于物理知識(shí)遷移和實(shí)際情景把握更加真實(shí)有力．

當(dāng)然此題更大價(jià)值在于引發(fā)電磁感應(yīng)試題一場(chǎng)“小革命”,此后,磁場(chǎng)和導(dǎo)體相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型、關(guān)于磁懸浮列車(chē)諸種問(wèn)題如雨后春筍般出現(xiàn),而且各設(shè)問(wèn)角度,如相對(duì)速度、安培力電功率等都來(lái)源于這3道題,[10]可以算是一大類(lèi)問(wèn)題的淵藪．限于篇幅,關(guān)于這3道題目詳細(xì)解析可以參見(jiàn)《中學(xué)物理原創(chuàng)題集》中關(guān)于這三道題目的文章．[11]

4 總結(jié)

天津高考?jí)狠S題設(shè)問(wèn)方式有如下特征:

(1) 問(wèn)面向全體學(xué)生的基礎(chǔ)問(wèn)題,比較容易拿分； (2) 問(wèn)全題核心一問(wèn),難度大,對(duì)學(xué)生建立物理模型或者數(shù)理過(guò)程分析能力提出高要求；(3) 問(wèn)基于第二問(wèn)發(fā)散的問(wèn)題,通常是定性半定量問(wèn)題.

通過(guò)前文對(duì)比分析,天津壓軸題來(lái)源于競(jìng)賽的問(wèn)題通常是3類(lèi),即來(lái)源于數(shù)理技巧問(wèn)題、實(shí)際物理模型、物理本質(zhì)追問(wèn),關(guān)于物理模型處理方式又可以進(jìn)一步分類(lèi):

(1) 數(shù)理技巧應(yīng)用(2013、2015年壓軸題)二階小量計(jì)算、正則動(dòng)量應(yīng)用； (2) 實(shí)際物理模型(2008年壓軸題)磁懸浮列車(chē)模型； (3) 實(shí)驗(yàn)室模型(2016年壓軸題)磁阻尼模型降階成相對(duì)運(yùn)動(dòng)切割模型； (4) 物理本質(zhì)問(wèn)題(2013年壓軸題) 超導(dǎo)模型、把握能量守恒本質(zhì).

從競(jìng)賽到高考是一個(gè)歷久彌新的話(huà)題,教師經(jīng)常在高考?jí)狠S題復(fù)習(xí)時(shí),對(duì)如何挑選試題源挑選的困惑.本文指出從競(jìng)賽題里尋覓靈感是一個(gè)不錯(cuò)的選擇,[12]不妨從物理模型、物理本質(zhì)和數(shù)理技巧3個(gè)層面進(jìn)行分類(lèi),注重試題演化過(guò)程,尤其是競(jìng)賽題、高考題和模擬題之間的關(guān)聯(lián),這樣系統(tǒng)的梳理有助于學(xué)生把握試題的動(dòng)向和提升建模分析物理情景的能力．