徐沛保，張星，殷保國，劉睿丹

(安徽建筑大學 土木工程學院，安徽 合肥 230601)

0 引言

加載速率對混凝土類材料動態(tài)強度的影響，已成為數(shù)值計算和土木工程設計中不可忽視的因素。目前已利用分離式霍普金森壓桿(Split Hopkinson Pressure Bar，SHPB)實驗、落錘實驗等[1-7]測量設備獲得了混凝土類材料的動態(tài)壓縮強度。眾所周知，混凝土類材料的動態(tài)壓縮強度較其靜態(tài)強度有明顯的強度增量，而此強度增量通常用動態(tài)強度與相應靜態(tài)強度的比值，即動態(tài)增強因子(Dynamic In‐crease Factor，DIF)來表示?；趯嶒灁?shù)據(jù)，已有許多研究者[7-11]獲得了描述動態(tài)增強因子的經(jīng)驗公式。

雖然所有混凝土類材料的實驗數(shù)據(jù)都遵循類似的趨勢，即DIF隨著加載應變速率的增加而增加，但是不同實驗的實驗數(shù)據(jù)具有明顯的離散現(xiàn)象[8][12]。這種現(xiàn)象可能是由于材料差異、試樣尺寸、測試儀器和技術等不同的測試條件造成的，在文獻[8][13]中有更加全面的討論，但這些影響因素在實驗測量中難以去除或量化。除此之外，我們還知道，與加載應變速率和試樣尺寸相關的慣性約束效應不可避免地會影響測試結果。眾多學者[14-17]已廣泛研究了慣性約束效應對混凝土類材料DIF的影響。在高應變率下，實驗結果具有明顯的增強效應，通常認為這是由材料本身的應變率效應和慣性約束效應共同作用的結果。因此，有必要對材料應變率效應和慣性約束效應進行量化，從而可以更好地應用于混凝土抗沖擊和爆炸荷載的結構設計。

值得注意的是，在數(shù)值SHPB實驗中，通常取混凝土試樣的長徑比在0.3到1.0之間[3]，且混凝土動態(tài)強度的對比研究應建立在實驗條件一致的基礎上，才能使實驗不確定性降到最低。本文的目的在于提出一種歸一化方法來處理常規(guī)混凝土在高應變率下實驗數(shù)據(jù)分散的問題。為此，在相關實驗結果的基礎上進行SHPB數(shù)值計算，量化混凝土類材料的慣性約束效應，給出能夠描述慣性效應變化規(guī)律的經(jīng)驗公式，推導實驗數(shù)據(jù)、慣性約束效應和材料應變率效應之間的關系以及實驗數(shù)據(jù)和慣性效應之間的標準式。

1 理論公式推導和數(shù)值分析

由于混凝土形態(tài)特征、變形和破壞機制極其復雜，可靠的數(shù)值模擬很大程度上依賴于精確的材料模型。本文采用的材料模型[18]包括孔隙狀態(tài)方程(EOS)、強度模型、損傷判據(jù)等，該模型將被嵌入到ANSYS/LS-DYNA軟件中進行數(shù)值計算。

在材料本構模型的構建過程中，應變率對混凝土材料抗壓強度的影響極其重要，它對強動力載荷作用下混凝土材料的數(shù)值模擬有很大的影響。眾所周知，慣性約束效應不可避免地存在于實驗中，而且難以消除，因此直接利用實驗得到的DIF來建立材料強度增量模型將會高估材料的真實強度。本節(jié)首先利用動態(tài)增強因子的定義推導實驗數(shù)據(jù)、慣性約束效應和應變率效應之間的關系，然后利用率無關材料本構模型(即DIF=1)嵌入到LS-DYNA軟件中，對不同加載條件下的混凝土試樣進行SHPB實驗的數(shù)值模擬。在這種情況下，通過數(shù)值計算得到的試樣強度增量僅歸因于慣性約束效應，由此量化慣性約束效應對混凝土動態(tài)強度的貢獻。

1.1 理論公式推導

通過實驗得到的壓縮動態(tài)增強因子DIFc的公式可以表示為：

式中fcd和f′c分別是壓縮動態(tài)和靜態(tài)強度；Δfcd= Δfε+ Δfi中的 Δfε和 Δfi分別是材料應變率效應和慣性約束效應引起的強度增量。

令Δfε=0，可以得到慣性約束效應引起的動態(tài)增強因子Rc，即：

令Δfi=0，可以得到應變率效應引起的動態(tài)增強因子 DIFcε，并把(1)和(2)式代入到(3)式得：

針對不同的SHPB實驗數(shù)據(jù)具有明顯的分散現(xiàn)象，為了盡可能地改善這種分散現(xiàn)象，根據(jù)已有研究結果[19](即慣性約束效應依賴于是應變率和試樣尺寸，而材料應變率效應是材料的固有特性。)可將所有SHPB實驗結果都歸一化為同一種體積試樣的動態(tài)增強因子DIFc0：

式中Rc0是由慣性效應引起的標準體積試樣的動態(tài)增強因子。將(3)式代入到(4)式可得到標準體積試樣的動態(tài)增強因子DIFc0，即：

式中Rc0和Rc均由1.2節(jié)中的數(shù)值模擬確定，再利用(5)式自然得到標準體積試樣的動態(tài)增強因子DIFc0，進而消除因慣性約束效應的不同對混凝土動態(tài)強度的影響。由此可得混凝土SHPB實驗數(shù)據(jù)歸一化后的實驗數(shù)據(jù)，這樣可以顯著改善實驗數(shù)據(jù)的分散性。

為了量化慣性約束效應，我們采用了類似于文獻[20]中的經(jīng)驗公式來描述混凝土類材料的Rc，具體表達式如下：

式中 ε?= εε0是無量綱應變率，ε是實時應變 率 ，ε0=1.0s-1是 參 考 應 變 率 ；Bx0=tanh[(log(εs0/ε0)-Wx)S]為靜態(tài)參考點，其中 εs0=10-7s-1為準靜態(tài)應變率λ=1-Bx0，Wx和S分別為曲線拐點的橫坐標值和切線斜率；Fm表示應變率趨于無窮時Rc的極限值，如圖1所示。

圖1 Rc曲線特征

1.2 數(shù)值分析

文中搜集的動態(tài)增強因子的實驗數(shù)據(jù)主要來源于直徑在10-100 mm和長度12-51 mm之間的圓柱形試樣的實驗，且試樣和壓桿之間經(jīng)過潤滑處理，這樣可以忽略端部摩擦效應對動態(tài)強度的影響。由于試樣的慣性約束效應是尺寸相關的，所以數(shù)值模擬所用試樣應與實驗所用試樣尺寸相同，若試樣尺寸不同，應進行歸一化以消除慣性約束效應對動態(tài)強度的影響。由于動態(tài)增強因子是無量綱參數(shù)，因此它對混凝土類材料的靜態(tài)強度不敏感，所以本文采用f′c=45.6 MPa作為“標準混凝土”，材料模型中各種參數(shù)參考文獻[21]，如表1所示。應力邊界條件如圖2所示，其中，入射應力從零開始，經(jīng)過 t1=27 μs迅速上升到峰值 Ppeak并保持 t2=200 μs不變，然后經(jīng)過 t3=25 μs降到零。

表1 混凝土材料參數(shù)

圖2 應力加載函數(shù)

針對試樣長徑比對慣性約束效應的影響問題，文獻[22]研究了相同體積不同長徑比的試樣引起的慣性約束效應如圖3所示。這說明在相同體積的情況下，慣性效應主要與體積有關而對試樣的長徑比不敏感，由此可忽略長徑比對慣性效應的影響。

圖3 相同體積不同長徑比的慣性效應

為了研究試樣尺寸對慣性約束效應的影響，在此以Φ64×32 mm(直徑×長度)圓柱試樣作為基準試樣，建立長徑比均為0.5而體積不同的圓柱試樣進行數(shù)值模擬。數(shù)值結果表明：在相同應變率下，慣性效應隨著研究對象體積的增大而增大(Fm與試樣體積有關)如圖4(a)所示。以Φ64×32 mm為基準試樣得到標準體積的慣性效應Rc0，再通過調整(6)式中極限值Fm擬合圖4(a)中其他數(shù)據(jù)點可得Rc與Rc0之間的關系如表2所示。利用Rc與Rc0的關系可以把任意體積試樣引起的Rc轉化成標準體積的Rc0如圖4(b)，反之亦然。經(jīng)過關系式轉化得到的圖4(b)中的數(shù)據(jù)點一致性較好，這也說明了考慮試樣尺寸大小影響的慣性效應方程式(6)具有很好的適用性。

圖4 利用率無關模型的數(shù)值結果

表2 慣性效應Rc與Rc0的參數(shù)

2 數(shù)值驗證及其應用

理論公式和慣性效應Rc的經(jīng)驗公式已在上節(jié)中給了推導過程和說明，這節(jié)將利用經(jīng)驗公式(6)與已有的數(shù)值結果進行比較，驗證公式的適用性；再利用公式(5)把不同體積的混凝土試樣歸一化為同種體積的實驗數(shù)據(jù)從而改善不同實驗所得數(shù)據(jù)的分散性。

2.1 數(shù)值驗證

Li等人[3][17]利用ABAQUS軟件中的Drucker-Prager模型研究了靜態(tài)強度為44.9 MPa混凝土的動態(tài)力學行為。由慣性效應引起的Rc如圖5(a)所示，圖中有5種體積試樣引起的慣性效應，利用(6)式可以把不同體積試樣引起的慣性效應歸一化為體積為Φ74×24 mm慣性效應如圖5(b)所示。從圖5可以明顯地看出，將不同體積試樣轉換為相同體積試樣后，分散的數(shù)據(jù)點變得更為集中，這進一步說明了(6)式有較好的適用性。

圖5 既有的數(shù)值結果

2.2 SHPB實驗數(shù)據(jù)歸一化分析

眾所周知，不同的混凝土SHPB實驗得到的動態(tài)增強因子DIFc具有明顯的分散現(xiàn)象，為了進一步研究這種分散現(xiàn)象，本文只搜集了涂有潤滑油的試樣-壓桿界面的實驗數(shù)據(jù)如圖6(a)所示，以減小端部摩擦效應對動態(tài)強度的影響。利用(5)式消除因試樣體積不同而引起的慣性效應不同的影響，即把實驗實測數(shù)據(jù)DIFc歸一化為體積均為Φ51×51 mm的數(shù)據(jù)DIFc0如圖6(b)所示。

圖6 動態(tài)壓縮實驗數(shù)據(jù)

圖6 (a)中的分散數(shù)據(jù)經(jīng)過轉換式(5)消除了慣性效應不同的影響，得到了試樣體積歸一化后的實驗數(shù)據(jù)如圖6(b)所示。對比圖6(a)和(b)可以發(fā)現(xiàn)，特別是當高應變率下的動態(tài)增強因子的分散現(xiàn)象得到了明顯的改善，這意味著對混凝土SHPB實驗數(shù)據(jù)分散性的處理方法是可行的。因此，本文提出了一種有效的方法可以改善不同試樣尺寸SHPB實驗數(shù)據(jù)的分散性。

3 結論

本文首先理論推導了實驗數(shù)據(jù)、應變率效應和慣性效應之間的關系，并進一步推出了試樣體積歸一化的公式，同時給出了考慮尺寸效應的慣性效應公式。其次借助率無關本構模型數(shù)值分析了慣性約束效應，數(shù)值結果表明慣性效應隨試樣尺寸的增大而增大，特別是當應變率超過102s-1時，這種效應對混凝土類材料的動態(tài)強度具有明顯的增強作用，這與SHPB實驗觀察到的應變率敏感性一致。由此可知，實驗觀察到的強度增量主要是由慣性約束效應引起的，而直接擬合實驗數(shù)據(jù)得到的應變率效應公式高估了混凝土材料應變率效應。最后，根據(jù)數(shù)值模擬結果，量化了慣性效應，并用一個簡單的數(shù)學公式進行了表示。利用歸一化公式有效地改善了分散的SHPB實驗數(shù)據(jù)，這為SHPB實驗數(shù)據(jù)的處理提供了一種方法。