姜瑞忠，張福蕾，楊 明，喬 欣，張春光

(1.中國(guó)石油大學(xué)(華東)，山東 青島 266580；2.中海石油(中國(guó))有限公司天津分公司，天津 300452；3.中國(guó)石油北京油氣調(diào)控中心，北京 100007)

0 引 言

近年來(lái)，中高滲油藏在中國(guó)油氣資源產(chǎn)出所占的比重越來(lái)越低，低滲透油藏對(duì)增儲(chǔ)上產(chǎn)起到更加關(guān)鍵的作用，合理高效地開(kāi)發(fā)低滲透油藏成為研究人員關(guān)注的熱點(diǎn)。前人在研究低滲透油藏試井問(wèn)題時(shí)，大多數(shù)考慮擬啟動(dòng)壓力梯度[1-6]和應(yīng)力敏感性[7-12]，而擬啟動(dòng)壓力梯度模型采用不過(guò)原點(diǎn)的直線代替曲線，忽略了低壓力梯度下流體的流動(dòng)能力。袁英同等[1]提出了基于低速非達(dá)西滲流模式的固定邊界數(shù)學(xué)模型，并討論了流動(dòng)邊界和啟動(dòng)壓力梯度的影響；蔡明金等[2]考慮啟動(dòng)壓力梯度、應(yīng)力敏感性，建立了低滲透均質(zhì)油藏試井解釋模型；劉永良等[3]建立了考慮啟動(dòng)壓力梯度的雙重介質(zhì)低滲透油藏?cái)?shù)學(xué)模型；姜瑞忠[13]等基于毛細(xì)管模型和邊界層理論提出了低滲透油藏新的滲流模型，其很好地解釋了啟動(dòng)壓力梯度和非線性滲流的存在。目前，利用FEM數(shù)值方法求解的同時(shí)考慮非線性系數(shù)和應(yīng)力敏感性的低滲透油藏水平井壓力動(dòng)態(tài)分析方法鮮有報(bào)道，因此，針對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行研究。通過(guò)繪制典型曲線對(duì)各類(lèi)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，并對(duì)現(xiàn)場(chǎng)區(qū)塊的實(shí)測(cè)壓力數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。研究成果對(duì)于提高低滲透油藏的開(kāi)發(fā)效果具有一定的理論指導(dǎo)意義。

1 模型建立

1.1 物理模型

建立圓形雙重介質(zhì)儲(chǔ)層水平井物理模型，模型假設(shè)為：雙重介質(zhì)儲(chǔ)層由基質(zhì)系統(tǒng)和裂縫系統(tǒng)組成，基質(zhì)和裂縫間的竄流視為擬穩(wěn)態(tài)，液體先從基質(zhì)流入裂縫后再進(jìn)入水平井井筒，即Warren-Root模型；油藏外邊界為封閉邊界或定壓邊界，儲(chǔ)層水平且厚度一致，儲(chǔ)層滲透率各向異性，水平井位于油藏中心，產(chǎn)量恒定，只考慮裂縫系統(tǒng)的應(yīng)力敏感性，忽略重力和毛細(xì)管力的影響，考慮井筒儲(chǔ)集效應(yīng)和表皮系數(shù)。

1.2 數(shù)學(xué)模型

流體在低滲透油藏中滲流不再遵循達(dá)西模型，根據(jù)邊界層理論和毛細(xì)管滲流模型，采用文獻(xiàn)[14]中的低速非線性滲流方程：

(1)

式中：v為滲流速度，cm/s；K為滲透率，mD；μ為原油黏度，mPa·s；▽p為驅(qū)動(dòng)壓力梯度，10-1MPa/m；c1、c2為非線性系數(shù)，MPa/m；δLV為非線性變量。

其中，c1表示邊界層和屈服應(yīng)力值的影響，c2僅反映邊界層的影響，二者可通過(guò)巖心滲流實(shí)驗(yàn)擬合獲得，擬合結(jié)果表明c1>0，c2<0。

直角空間坐標(biāo)系中，由連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)方程和狀態(tài)方程得到的滲流控制方程為：

(2)

β=Kfv/Kfh

(3)

式中：Kfh為裂縫水平方向滲透率，mD；Kfv為裂縫垂直方向滲透率，mD；x、y、z為空間坐標(biāo)；αK為滲透率模數(shù)，MPa-1；pi為原始地層壓力，MPa；pf為裂縫系統(tǒng)壓力，MPa；pm為基質(zhì)系統(tǒng)壓力，MPa；φf(shuō)為裂縫系統(tǒng)孔隙度；Cft為裂縫系統(tǒng)壓縮系數(shù)，MPa-1；t為時(shí)間，s；σ為形狀因子，1/m2；Km為基質(zhì)滲透率，mD；i為初始條件。

(4)

式中：φm為基質(zhì)系統(tǒng)孔隙度；Cmt為基質(zhì)系統(tǒng)的壓縮系數(shù)，MPa-1。

初始條件為：

pf(x，y，z=0)=pi

(5)

封閉外邊界條件為：

(6)

式中：re為外邊界的半徑，m；ze為頂邊界z方向的坐標(biāo)，m。

定壓外邊界條件為：

pf(r=re)=pf(z=ze)=pi

(7)

定義無(wú)因次變量：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

式中：L為水平井半長(zhǎng)，m；zw為井中心z方向的坐標(biāo)，m；rw為井半徑，m；h為儲(chǔ)層厚度，m；Q為水平井產(chǎn)量，m3/d；B為體積系數(shù)；Kv為垂直方向滲透率，mD；Kh為水平方向滲透率，mD；C為井筒儲(chǔ)集系數(shù)，m3/MPa；ω為彈性儲(chǔ)容比；λ為竄流系數(shù)；lc為特征長(zhǎng)度，m。

由式(2)—(23)建立的雙重介質(zhì)低滲透油藏?zé)o因次水平井滲流數(shù)學(xué)模型為：

(24)

(25)

pfD(xD，yD，zD，tD=0)=0

(26)

(27)

pfD(rD=reD)=pfD(zD=0，1)=0

(28)

2 模型求解

采用隱式求解裂縫系統(tǒng)，顯式求解基質(zhì)系統(tǒng)的方法。

2.1 裂縫系統(tǒng)

使用Galerkin方法得到不考慮源/匯項(xiàng)的有限元方程，再通過(guò)格林函數(shù)得到的內(nèi)部單元和封閉邊界單元的有限元方程為：

(29)

(30)

(31)

(32)

式中：Nj為形函數(shù)(j=1，2，3，…)；Ωe為單元域；V為單元域體積；ΔtD為無(wú)因次時(shí)間步長(zhǎng)；n為某時(shí)刻的時(shí)變量值；Ke為非線性系數(shù)矩陣，求解時(shí)給Ke初始值并線性化后再求解壓力解。

2.2 基質(zhì)系統(tǒng)

利用相同的方法得到單元有限元方程矩陣形式的簡(jiǎn)化形式為：

(33)

(34)

(35)

竄流項(xiàng)的處理采用同一時(shí)間步的裂縫系統(tǒng)求解結(jié)果。將水平井視為均勻流量線源，所在網(wǎng)格引入單元內(nèi)源匯項(xiàng)，應(yīng)用Delta函數(shù)獲取與水平井位置相關(guān)的線源匯方程。

(36)

式中：m為水平井劃分結(jié)點(diǎn)的數(shù)量；δ為Delta函數(shù)；x0，y0，z0為結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。

因此，單元源匯項(xiàng)的有限元方程為：

(37)

無(wú)因次形式為：

(38)

利用離散數(shù)據(jù)點(diǎn)拉氏變換法，將實(shí)空間中壓力的數(shù)值解轉(zhuǎn)換到拉氏空間中，從而將井筒儲(chǔ)集系數(shù)和表皮系數(shù)引入壓力公式中。

(39)

利用Stehfest數(shù)值反演方法得到實(shí)際空間中的無(wú)因次壓力。

3 結(jié)果驗(yàn)證及敏感性分析

3.1 結(jié)果驗(yàn)證

當(dāng)非線性系數(shù)c1D=0、c2D=0，滲透率模數(shù)αKD=0時(shí)，將計(jì)算出的數(shù)值解與李曉平等[14]的解析解進(jìn)行比較，數(shù)值解與解析解的曲線結(jié)果一致，證明建立的模型是可靠的(圖1)。

圖1 數(shù)值解的驗(yàn)證

3.2 典型圖版

繪制不同模型的水平井壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線(圖2，CD=100，s=0，LD=5，hD=200，λ=0.05，ω=0.05)。達(dá)西模型中c1D=0.0，c2D=0.0，αKD=0.0，應(yīng)力敏感性模型中c1D=0.0，c2D=0.0，αKD=0.1，非線性模型中c1D=0.2，c2D=-0.2，αKD=0.0，考慮應(yīng)力敏感性和非線性滲流的2個(gè)因素模型中c1D=0.2，c2D=-0.2，αKD=0.1。

考慮應(yīng)力敏感性時(shí)，壓力及導(dǎo)數(shù)曲線上移，壓力導(dǎo)數(shù)曲線值大于0.5，偏離了達(dá)西模型下中期和晚期徑向流的水平段，隨著時(shí)間的推移，偏差的程度變大?？紤]非線性滲流時(shí)，壓力導(dǎo)數(shù)曲線的“凹子”變淺，并向右移動(dòng)。與非線性系數(shù)相比，應(yīng)力敏感性對(duì)曲線的影響更加顯著。

圖2 不同模型的試井典型曲線

3.3 敏感性分析

3.3.1 非線性系數(shù)c1D、c2D對(duì)試井曲線的影響

非線性系數(shù)作用于從基質(zhì)到裂縫的非線性流動(dòng)階段，c1D或c2D增大時(shí)，最小啟動(dòng)壓力梯度增大，竄流減弱。c1D主要影響壓力導(dǎo)數(shù)曲線“凹子”的深度和位置，當(dāng)c1D增大時(shí)，“凹子”變淺，出現(xiàn)變晚(圖3)；非線性系數(shù)c2D影響“凹子”的深度，當(dāng)c2D增大時(shí)，“凹子”上移(圖4)。

圖3 非線性系數(shù)c1D對(duì)試井曲線的影響

3.3.2 滲透率模數(shù)對(duì)試井曲線的影響

應(yīng)力敏感性主要導(dǎo)致曲線在井筒儲(chǔ)存階段上移，隨著滲透率模數(shù)的增加，曲線后期上翹更加嚴(yán)重，“凹子”的深度和位置不變。因?yàn)楫?dāng)應(yīng)力敏感性增強(qiáng)時(shí)，滲透率的損害更加嚴(yán)重，流體流動(dòng)變得更加困難，所需的壓降更大(圖5)。

3.3.3 竄流系數(shù)對(duì)試井曲線的影響

竄流系數(shù)表征流體從基質(zhì)到裂縫的竄流能力。竄流系數(shù)越大，竄流階段出現(xiàn)越早，“凹子”向左移動(dòng)，其大小和深度保持不變。較大的竄流系數(shù)表示基質(zhì)和裂縫之間的物理性質(zhì)差異較小，竄流更容易發(fā)生。由于應(yīng)力敏感性的影響，“凹子”出現(xiàn)時(shí)間不同，竄流系數(shù)增大，“凹子”最低點(diǎn)的高度下降。壓力及導(dǎo)數(shù)曲線在晚期徑向流階段重合(圖6)。

圖4 非線性系數(shù)c2D對(duì)試井曲線的影響

圖5 滲透率模數(shù)對(duì)試井曲線的影響

圖6 竄流系數(shù)對(duì)試井曲線的影響

3.3.4 頂?shù)走吔鐚?duì)試井曲線的影響

當(dāng)頂?shù)走吔绶欠忾]時(shí)，井筒儲(chǔ)存階段后的流動(dòng)階段消失。當(dāng)壓力波傳播到定壓邊界后，壓力變?yōu)楹愣ㄇ覊毫?dǎo)數(shù)迅速下降，混合邊界導(dǎo)數(shù)下降晚于定壓邊界(圖7)。

圖7 頂?shù)走吔鐚?duì)試井曲線的影響

4 實(shí)例應(yīng)用

對(duì)南海西部文昌油田一口水平井的壓力測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，油藏厚度為10.8 m，孔隙度為0.241，滲透率為24.5 mD，原油黏度為1.33 mPa·s，總壓縮系數(shù)為2.215×10-3MPa-1。利用模型得到的理論曲線與實(shí)測(cè)曲線進(jìn)行擬合，擬合程度高(圖8)，該研究對(duì)低滲透油藏試井分析有很好的指導(dǎo)作用。

圖8 理論曲線與實(shí)測(cè)曲線擬合結(jié)果

5 結(jié) 論

(1) 建立的雙重介質(zhì)低滲透油藏水平井?dāng)?shù)學(xué)模型可以研究非線性系數(shù)和應(yīng)力敏感性對(duì)試井曲線的影響，實(shí)現(xiàn)了FEM數(shù)值方法求解數(shù)學(xué)模型。

(2) 試井典型曲線顯示數(shù)值解與解析解的曲線結(jié)果一致，分析非線性系數(shù)、滲透率模數(shù)、竄流系數(shù)、頂?shù)走吔绲雀黝?lèi)參數(shù)敏感性，實(shí)際區(qū)塊壓力數(shù)據(jù)與理論曲線可以良好擬合。

(3) 考慮應(yīng)力敏感性時(shí)，壓力導(dǎo)數(shù)曲線值大于0.5，偏離了達(dá)西模型下中期和晚期徑向流的水平段，偏差程度隨時(shí)間推移增大?？紤]非線性滲流時(shí)，壓力導(dǎo)數(shù)曲線的“凹子”變淺，且向右移動(dòng)。與非線性系數(shù)相比，應(yīng)力敏感性對(duì)曲線的影響更加顯著。