賈文龍 凡鳳仙 蘇明旭

(上海理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院 上海 200093)

0 引言

懸浮在大氣中空氣動(dòng)力學(xué)直徑小于或等于2.5μm的顆粒物被稱為PM2.5，其極易富集重金屬和多環(huán)芳烴等強(qiáng)致癌污染物，且能夠經(jīng)呼吸系統(tǒng)進(jìn)入人體，對(duì)人群健康帶來(lái)嚴(yán)重危害；同時(shí)，PM2.5影響大氣環(huán)境，加劇酸雨、光化學(xué)煙霧以及霧霾的形成，威脅到人類賴以生存的環(huán)境[1?2]。文獻(xiàn)報(bào)道顯示，燃煤電站、交通車輛、工業(yè)過(guò)程的排放是PM2.5的主要來(lái)源[3?5]。由于PM2.5粒徑細(xì)微，傳統(tǒng)的除塵方式，如慣性除塵、濕式除塵、過(guò)濾式除塵、靜電除塵等對(duì)PM2.5的清除均難以奏效，使得大量PM2.5排放到大氣中。隨著環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的日趨嚴(yán)格，PM2.5排放控制技術(shù)研究顯得尤為重要且迫切。為了控制PM2.5的排放，一些學(xué)者提出了PM2.5凝并預(yù)處理技術(shù)，以期通過(guò)物理或化學(xué)作用促進(jìn)PM2.5長(zhǎng)大為粒徑較大的顆粒，從而提高傳統(tǒng)除塵裝置的效率。聲凝并是一種重要的PM2.5預(yù)處理技術(shù)，其原理是利用外加聲場(chǎng)作用促進(jìn)PM2.5發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)、碰撞接觸進(jìn)而凝并為粒徑較大的顆粒物[6?7]。該項(xiàng)技術(shù)因裝置簡(jiǎn)單、適應(yīng)性強(qiáng)，而備受研究者關(guān)注[8?11]。

為探討聲凝并的內(nèi)在機(jī)理和動(dòng)力學(xué)過(guò)程，一些學(xué)者對(duì)聲場(chǎng)中單顆粒的運(yùn)動(dòng)[12?13]、顆粒間相互作用[14?17]、顆粒碰撞[18]和凝并[9,19?23]開(kāi)展了一系列理論和數(shù)值模擬研究。然而，這些研究主要針對(duì)球形顆粒，甚至在對(duì)聲凝并進(jìn)行建模時(shí)將固體顆粒聲凝并后生成的顆粒團(tuán)也視為球形[9,20,22?23]。事實(shí)上，聲凝并形成的顆粒團(tuán)普遍具有分形結(jié)構(gòu)[19,21,23?24]。雖然研究者利用分形維數(shù)描述顆粒團(tuán)形狀[19,21]，并將分形維數(shù)引入顆粒凝并核函數(shù)以建立聲凝并模型，模擬聲凝并過(guò)程中顆粒粒徑分布的演變，但模型中未能反映出顆粒團(tuán)分形結(jié)構(gòu)對(duì)其運(yùn)動(dòng)特性的影響。趙兵等[24]對(duì)顆粒團(tuán)在駐波聲場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行可視化實(shí)驗(yàn)并對(duì)顆粒團(tuán)弛豫時(shí)間進(jìn)行理論分析，但缺少對(duì)聲場(chǎng)中顆粒團(tuán)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的深入探究。楊旭峰等[25]雖然對(duì)顆粒團(tuán)在聲場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行過(guò)探討，但所針對(duì)的是直鏈顆粒團(tuán)。在聲凝并的實(shí)際應(yīng)用中，一旦顆粒凝并形成顆粒團(tuán)，顆粒團(tuán)的運(yùn)動(dòng)特性將對(duì)聲凝并過(guò)程起決定作用。因此，欲全面掌握聲凝并過(guò)程中顆粒動(dòng)力學(xué)行為的細(xì)節(jié)信息，很有必要對(duì)聲場(chǎng)中顆粒團(tuán)的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行研究。

本文將基于分形理論，利用顆粒團(tuán)的質(zhì)量-半徑關(guān)系式和無(wú)量綱流體動(dòng)力學(xué)半徑-分形維數(shù)關(guān)系式，求解顆粒團(tuán)的流體動(dòng)力學(xué)半徑和分形維數(shù)，進(jìn)而建立駐波聲場(chǎng)中顆粒團(tuán)動(dòng)力學(xué)模型，并將數(shù)值模擬結(jié)果與文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。在此基礎(chǔ)上，利用數(shù)值模擬方法，預(yù)測(cè)組成顆粒團(tuán)的原生顆粒半徑、數(shù)目和排列情況對(duì)顆粒團(tuán)在聲場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)特性的影響，以揭示顆粒團(tuán)的行為規(guī)律，并為建立更精確的聲凝并模型提供理論基礎(chǔ)。

1 數(shù)學(xué)模型與數(shù)值計(jì)算方法

1.1 分形理論對(duì)顆粒團(tuán)的描述

圖1為球形顆粒組成的顆粒團(tuán)的結(jié)構(gòu)及特征參數(shù)示意圖，圖中ai為組成顆粒團(tuán)的第i個(gè)原生顆粒的半徑，R為顆粒團(tuán)半徑，即能夠包含顆粒團(tuán)的最小球體的半徑；Rh為顆粒團(tuán)的流體動(dòng)力學(xué)半徑，即與顆粒團(tuán)質(zhì)量和動(dòng)力學(xué)特性相同的非滲透性球形顆粒的半徑。

圖1 顆粒團(tuán)結(jié)構(gòu)及特征參數(shù)示意圖Fig.1 Schematic diagram of agglomerate structure and characteristic parameters

組成顆粒團(tuán)的原生顆粒數(shù)目N、原生顆粒半徑a與顆粒團(tuán)的流體動(dòng)力學(xué)半徑Rh的函數(shù)關(guān)系可由質(zhì)量-半徑關(guān)系式給出[26?27]：

式(1)中，Df為顆粒團(tuán)的分形維數(shù)，表示顆粒團(tuán)的空間填充致密程度，取值范圍為1

當(dāng)原生顆粒半徑不相等時(shí)，式(1)中的原生顆粒半徑a可采用體積平均半徑aave代替，即

式(2)中，Vt是組成顆粒團(tuán)的原生顆粒的總體積，

顆粒團(tuán)的流體動(dòng)力學(xué)半徑Rh與顆粒團(tuán)半徑R的比值可寫(xiě)成分形維數(shù)Df的函數(shù)[27?28]，即

聯(lián)立式(1)、式(4)，通過(guò)逐次逼近的迭代算法，即可獲得顆粒團(tuán)的流體動(dòng)力學(xué)半徑和分形維數(shù)。已有研究表明，顆粒團(tuán)的質(zhì)量-半徑關(guān)系式和無(wú)量綱流體動(dòng)力學(xué)半徑-分形維數(shù)關(guān)系式，適用于描述原生顆粒數(shù)目為2～100的顆粒團(tuán)[28?30]。

1.2 聲波的波動(dòng)方程

將水平方向設(shè)為x向，由Navier-Stokes方程可推導(dǎo)出一維水平平面駐波聲場(chǎng)的波動(dòng)方程為

式(5)中，u為聲波引起的氣體振動(dòng)速度；u為速度振幅；k為波數(shù)，k=ω/c，c為聲速，ω=2πf，f為聲波頻率；x為聲波波動(dòng)方向位置坐標(biāo)；t為時(shí)間。

通常采用聲壓級(jí)來(lái)描述聲場(chǎng)的強(qiáng)度，聲壓級(jí)的表達(dá)式為

式(6)中，L為聲壓級(jí)；ρg為氣體密度；Pr為參考聲壓，Pr=2×10?5Pa。

1.3 顆粒團(tuán)的動(dòng)力學(xué)模型

為著重探討水平駐波聲場(chǎng)中單個(gè)顆粒團(tuán)的動(dòng)力學(xué)特性，忽略顆粒團(tuán)的破碎和重組。聲場(chǎng)中顆粒團(tuán)所受作用力包括重力、浮力、Stokes力和非穩(wěn)定力(Basset力、虛擬質(zhì)量力、壓力梯度力等)，對(duì)于氣相中的固體顆粒，與Stokes力相比，非穩(wěn)定力可以忽略不計(jì)[13]。因此，若將重力方向設(shè)為y向，顆粒團(tuán)的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)為

其中，m為顆粒團(tuán)質(zhì)量，m=ρVt；ρ為顆粒材料密度；v為顆粒團(tuán)速度，下標(biāo)x、y表示在x向和y向的分量；μg為氣體動(dòng)力黏度；g為重力加速度；Cc為Cunningham修正系數(shù)，其表達(dá)式為[9,18]

式(9)中，Kn為Knudsen數(shù)，Kn=λg/Rh，λg為氣體分子平均自由程。

1.4 數(shù)值計(jì)算方法

依據(jù)式(7)、式(8)給出的顆粒團(tuán)運(yùn)動(dòng)方程，采用四階變步長(zhǎng)Runge-Kutta算法計(jì)算出經(jīng)歷一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)后顆粒團(tuán)的速度。在一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的初速度和末速度已知的前提下，采用二階隱式Adams插值算法求解顆粒團(tuán)的位移，即

其中，X和Y分別為顆粒團(tuán)的x向和y向位移；?t為時(shí)間步長(zhǎng)。?t通常要比聲波周期T=1/f和顆粒團(tuán)弛豫時(shí)間τ小得多，其中弛豫時(shí)間τ可寫(xiě)為

2 數(shù)值模擬結(jié)果

2.1 模型驗(yàn)證

趙兵等[24]曾采用高速顯微攝像系統(tǒng)對(duì)水平駐波聲場(chǎng)中單個(gè)顆粒團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行可視化實(shí)驗(yàn)。圖2給出了趙兵等[24]的實(shí)驗(yàn)及本文數(shù)值模擬所得到的顆粒團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡。圖2(b)給出的數(shù)值模擬結(jié)果中顆粒團(tuán)的尺寸采用流體動(dòng)力學(xué)直徑(2Rh)表示。數(shù)值模擬采用的參數(shù)條件與實(shí)驗(yàn)一致，具體數(shù)值見(jiàn)表1。其中，T為氣體溫度，p為氣體靜壓，x0為顆粒初始位置。根據(jù)顆粒團(tuán)的組成和結(jié)構(gòu)參數(shù)(a、N、Df)，利用式(1)計(jì)算得到顆粒團(tuán)的流體動(dòng)力學(xué)半徑Rh=2.17μm，據(jù)此計(jì)算顆粒團(tuán)的運(yùn)動(dòng)。結(jié)果顯示，數(shù)值模擬得到的顆粒團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好，都反映出由于水平方向聲波對(duì)顆粒的黏性?shī)A帶作用，顆粒團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡呈現(xiàn)出“S”形；駐波聲場(chǎng)作用使得顆粒團(tuán)在水平方向發(fā)生往復(fù)振動(dòng)的同時(shí)，振動(dòng)中心向波節(jié)點(diǎn)漂移，這種定向漂移效應(yīng)是由駐波聲場(chǎng)中氣體介質(zhì)的非對(duì)稱運(yùn)動(dòng)引起的[9,18,31]。這表明本文的數(shù)學(xué)模型和計(jì)算方法能夠合理預(yù)測(cè)顆粒團(tuán)在駐波聲場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)特性。

表1 數(shù)值模擬參數(shù)Table 1 The numerical simulation parameters

圖2 實(shí)驗(yàn)與數(shù)值模擬得到的顆粒團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡的對(duì)比Fig.2 Comparison of the motion trajectories of particle agglomerate obtained by experiment and numerical simulation

2.2 顆粒團(tuán)的運(yùn)動(dòng)特性

由式(1)、式(2)可知，顆粒團(tuán)的分形維數(shù)和流體動(dòng)力學(xué)半徑由組成顆粒團(tuán)的原生顆粒半徑、數(shù)目和排列情況所決定，而流體動(dòng)力學(xué)半徑直接影響到顆粒團(tuán)的動(dòng)力學(xué)特性。鑒于駐波聲場(chǎng)中的顆粒團(tuán)在聲波波動(dòng)方向上存在邊振動(dòng)、邊漂移的運(yùn)動(dòng)特性，同時(shí)由于慣性顆粒團(tuán)的振動(dòng)相位滯后于聲波引起的氣體介質(zhì)振動(dòng)相位，下文利用夾帶系數(shù)和相位滯后表示顆粒團(tuán)的振動(dòng)特性，利用漂移系數(shù)表示顆粒團(tuán)的漂移特性。其中，夾帶系數(shù)定義為顆粒團(tuán)速度振幅與顆粒團(tuán)振動(dòng)中心位置氣體介質(zhì)速度振幅之比，相位滯后定義為顆粒團(tuán)振動(dòng)相位滯后于氣體介質(zhì)的量，漂移系數(shù)定義為顆粒團(tuán)振動(dòng)中心的漂移速度與顆粒團(tuán)振動(dòng)中心位置氣體介質(zhì)速度振幅之比。本部分?jǐn)?shù)值模擬采用的氣相溫度T、氣相靜壓p、顆粒材料密度ρ、時(shí)間步長(zhǎng)?t同表1一致，采用的聲場(chǎng)為L(zhǎng)=150 dB、f=2000 Hz的駐波聲場(chǎng)，顆粒初始位置為x0=7λ/8。

2.2.1 原生顆粒半徑對(duì)顆粒團(tuán)運(yùn)動(dòng)特性的影響

圖3 原生顆粒半徑對(duì)顆粒團(tuán)運(yùn)動(dòng)特性的影響Fig.3 effect of the radius of primary particles on the motion characteristics of particle agglomerate

圖3給出了由半徑為a1和a2的兩個(gè)原生顆粒組成的顆粒團(tuán)的夾帶系數(shù)、相位滯后和漂移系數(shù)，及與等體積球形顆粒的對(duì)比關(guān)系。等體積球形顆粒的半徑為圖中顆粒團(tuán)及相應(yīng)的等體積球形顆粒的曲線顏色相同。可見(jiàn)，當(dāng)a1<0.1μm或a1>5μm時(shí)，顆粒團(tuán)與等體積球形顆粒的夾帶系數(shù)、相位滯后和漂移系數(shù)的差異很??；當(dāng)0.1μm 6a16 5μm時(shí)，顆粒團(tuán)的夾帶系數(shù)低于等體積球形顆粒，相位滯后高于等體積球形顆粒；a2較小時(shí)，顆粒團(tuán)的漂移系數(shù)低于等體積球形顆粒，a2較大時(shí)，顆粒團(tuán)的漂移系數(shù)大于等體積球形顆粒。這是因?yàn)楫?dāng)a1<0.1μm或a1>5μm 時(shí)，兩原生顆粒的半徑相差較大，顆粒團(tuán)的運(yùn)動(dòng)特性由粒徑較大的原生顆粒決定；同時(shí)，等體積球形顆粒的半徑也由較大的原生顆粒所主導(dǎo)，使得顆粒團(tuán)的運(yùn)動(dòng)特性與等體積球形顆粒差異很小。然而，當(dāng)兩原生顆粒的半徑相差不多時(shí)，顆粒團(tuán)和等體積球形顆粒運(yùn)動(dòng)特性的差異變得明顯，此時(shí)，若將顆粒團(tuán)當(dāng)作球形顆粒進(jìn)行處理，將帶來(lái)較大的計(jì)算誤差。

由圖3還可以看出，當(dāng)原生顆粒2的半徑a2為0.25μm、0.5μm和1μm時(shí)，隨著原生顆粒1的半徑a1的增加，顆粒團(tuán)的漂移系數(shù)先增加后減小，存在一個(gè)漂移系數(shù)峰值；當(dāng)a2=2.5μm時(shí)，隨著a1的增加，顆粒團(tuán)的漂移系數(shù)趨于減小，這是由顆粒團(tuán)的慣性決定的。當(dāng)a2較小(a2<1μm)時(shí)，a1由0.01μm增加至10μm的過(guò)程中，顆粒團(tuán)的質(zhì)量增加，顆粒團(tuán)由零慣性顆粒向有限慣性顆粒轉(zhuǎn)變[32]；顆粒團(tuán)處于零慣性區(qū)域時(shí)，其能夠被聲波充分夾帶，運(yùn)動(dòng)特性表現(xiàn)為隨聲波往復(fù)振動(dòng)，此時(shí)夾帶系數(shù)接近1，相位滯后接近0，漂移系數(shù)接近0；隨著慣性增加，顆粒團(tuán)處于有限慣性區(qū)域，夾帶系數(shù)單調(diào)減小，相位滯后單調(diào)增加，起初顆粒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)歷的流場(chǎng)非對(duì)稱性增強(qiáng)，顆粒團(tuán)漂移系數(shù)增加，但是當(dāng)顆粒團(tuán)慣性增加到一定程度時(shí)，顆粒團(tuán)將難以被聲波夾帶，特別是在極限情況下顆粒團(tuán)既不發(fā)生振動(dòng)又不發(fā)生漂移，漂移系數(shù)為0，因此存在一個(gè)漂移系數(shù)峰值。然而，當(dāng)a2較大(如a2=2.5μm)時(shí)，顆粒團(tuán)慣性始終保持在較高的水平，顆粒團(tuán)漂移系數(shù)由0增大的階段將不再存在，因此顆粒團(tuán)漂移系數(shù)呈現(xiàn)出單調(diào)減小的特征。

2.2.2 原生顆粒數(shù)目對(duì)顆粒團(tuán)運(yùn)動(dòng)特性的影響

為了探究原生顆粒數(shù)目對(duì)駐波聲場(chǎng)中顆粒團(tuán)運(yùn)動(dòng)特性的影響，在顆粒團(tuán)分形維數(shù)Df=1.85、原生顆粒半徑a=0.25μm條件下，對(duì)原生顆粒數(shù)目N=2～100時(shí)顆粒團(tuán)的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行數(shù)值模擬，得到了顆粒團(tuán)及其等體積球形顆粒的夾帶系數(shù)、相位滯后和漂移系數(shù)隨原生顆粒數(shù)目的變化關(guān)系，如圖4所示。結(jié)果表明，隨著原生顆粒數(shù)目的增加，顆粒團(tuán)的慣性趨于增大，導(dǎo)致其夾帶系數(shù)減小，相位滯后增加，漂移系數(shù)先增大后減小。此外，當(dāng)原生顆粒數(shù)目較少時(shí)，顆粒團(tuán)及相應(yīng)的等體積球形顆粒的質(zhì)量均較小，二者都接近于零慣性區(qū)域，對(duì)聲波有很強(qiáng)的跟隨性，顆粒團(tuán)與等體積球形顆粒的運(yùn)動(dòng)特性差異較??；但隨著原生顆粒數(shù)目的增加，顆粒團(tuán)及等體積球形顆粒慣性增加，由于顆粒團(tuán)流體動(dòng)力學(xué)半徑和等體積球形顆粒半徑的差異帶來(lái)的運(yùn)動(dòng)特性的差異變得顯著。需要指出的是，圖4(c)中，顆粒團(tuán)和等體積球形顆粒的漂移系數(shù)曲線存在一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的原生顆粒數(shù)目為72，這表明此時(shí)顆粒團(tuán)和等體積球形顆粒漂移系數(shù)相等。究其原因是，漂移系數(shù)隨流體動(dòng)力學(xué)半徑的增加先增加后減小[31]，由于非球形顆粒團(tuán)的流體動(dòng)力學(xué)半徑大于等體積球形顆粒的流體動(dòng)力學(xué)半徑，等體積球形顆粒漂移系數(shù)的變化滯后于非球形顆粒團(tuán)，進(jìn)而引起顆粒團(tuán)和等體積球形顆粒的漂移系數(shù)曲線相交。圖4中結(jié)果還表明，在聲凝并過(guò)程中，隨著聲波作用時(shí)間的延長(zhǎng)，形成了更多顆粒團(tuán)，并且顆粒團(tuán)的粒度也更大，考慮到顆粒團(tuán)和等體積球形顆粒在運(yùn)動(dòng)特性上的顯著差異，在對(duì)聲凝并進(jìn)行建模時(shí)若將顆粒團(tuán)視為球形，將帶來(lái)較大的誤差，因此有必要在聲凝并模型中充分考慮顆粒團(tuán)的分形結(jié)構(gòu)對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為的影響。

圖4 原生顆粒數(shù)目對(duì)顆粒團(tuán)運(yùn)動(dòng)特性的影響Fig.4 effect of the number of primary particles on the motion characteristics of particle agglomerate

2.2.3 原生顆粒排列情況對(duì)顆粒團(tuán)運(yùn)動(dòng)特性的影響

分形維數(shù)Df的大小直接反映了顆粒團(tuán)中原生顆粒排列的致密程度。Df越小，原生顆粒排列越松散；Df越大，原生顆粒排列越致密。為了探討原生顆粒排列情況對(duì)顆粒團(tuán)運(yùn)動(dòng)特性的影響，對(duì)由5個(gè)相同半徑的原生顆粒組成的顆粒團(tuán)在駐波聲場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行數(shù)值預(yù)測(cè)。圖5給出了顆粒團(tuán)中原生顆粒的排列示意圖。圖中，θ為旋轉(zhuǎn)角，即以直鏈形顆粒團(tuán)為基準(zhǔn)，右邊3個(gè)顆粒繞基準(zhǔn)顆粒團(tuán)的質(zhì)心旋轉(zhuǎn)，與基準(zhǔn)位置的夾角。對(duì)于圖5所示的顆粒團(tuán)結(jié)構(gòu)，在原生顆粒半徑a和旋轉(zhuǎn)角θ給定的條件下，根據(jù)幾何關(guān)系確定顆粒團(tuán)的半徑R，聯(lián)立式(1)、式(4)，求解獲得顆粒團(tuán)的分形維數(shù)Df和流體動(dòng)力學(xué)半徑Rh。

圖5 顆粒團(tuán)中原生顆粒排列情況示意圖Fig.5 Schematic diagram of the packing structure of primary particles in particle agglomerate

圖6給出了數(shù)值模擬得到的顆粒團(tuán)的夾帶系數(shù)、相位滯后和漂移系數(shù)隨分形維數(shù)的變化關(guān)系。在θ由0?增加至120?的過(guò)程中，原生顆粒的排列變得更加致密，顆粒團(tuán)的分形維數(shù)增加，由式(1)可見(jiàn)顆粒團(tuán)的流體動(dòng)力學(xué)半徑減小，顆粒團(tuán)更容易被聲波夾帶，導(dǎo)致夾帶系數(shù)增加，同時(shí)相位滯后減小。由于等體積球形顆?？梢暈樵w粒的最致密排列形成的顆粒團(tuán)(對(duì)應(yīng)于Df=3)，等體積球形顆粒的運(yùn)動(dòng)特性不隨顆粒團(tuán)分形維數(shù)的變化而變化，且其夾帶系數(shù)比實(shí)際顆粒團(tuán)高，而相位滯后比實(shí)際顆粒團(tuán)低，等體積球形顆粒與線形顆粒團(tuán)振動(dòng)特性差異最大。圖6的結(jié)果還表明，顆粒團(tuán)與等體積球顆粒漂移系數(shù)的差異隨分形維數(shù)的增加而減小，這是因?yàn)榉中尉S數(shù)越大，顆粒團(tuán)的結(jié)構(gòu)越致密，顆粒團(tuán)流體動(dòng)力學(xué)半徑與等體積球顆粒粒徑差異越小，導(dǎo)致漂移速度差異縮小。此外，在原生顆粒粒徑較小時(shí)(a6 0.5μm時(shí))，漂移系數(shù)隨分形維數(shù)的增加而減??；在原生顆粒粒徑較大時(shí)(a>1.0μm時(shí))，漂移系數(shù)隨分形維數(shù)的增加而增大。其原因是原生顆粒粒徑的增加導(dǎo)致顆粒團(tuán)的流體動(dòng)力學(xué)半徑增加，當(dāng)顆粒團(tuán)的流體動(dòng)力半徑達(dá)到一定值時(shí)，顆粒團(tuán)的定向漂移運(yùn)動(dòng)受到抑制。

圖6 原生顆粒排列情況對(duì)顆粒團(tuán)運(yùn)動(dòng)特性的影響Fig.6 effect of the packing structure of primary particles on the motion characteristics of particle agglomerate

3 結(jié)論

基于分形理論的質(zhì)量-半徑關(guān)系式和顆粒團(tuán)無(wú)量綱流體動(dòng)力學(xué)半徑分形維數(shù)關(guān)系式，建立外加聲場(chǎng)作用下球形原生顆粒組成的顆粒團(tuán)的動(dòng)力學(xué)模型，利用四階變步長(zhǎng)Runge-Kutta算法和二階Adams插值算法對(duì)顆粒團(tuán)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解，將模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了數(shù)值模擬結(jié)果的正確性。在此基礎(chǔ)上，對(duì)顆粒團(tuán)在駐波聲場(chǎng)中的夾帶系數(shù)、相位滯后和漂移系數(shù)隨原生顆粒半徑、數(shù)目和排列情況的變化特性進(jìn)行數(shù)值預(yù)測(cè)，并與等體積球形顆粒進(jìn)行比較。通過(guò)本文研究，得出以下結(jié)論：

(1)對(duì)于兩個(gè)原生顆粒組成的顆粒團(tuán)，兩個(gè)原生顆粒的半徑相差較大，顆粒團(tuán)與等體積球形顆粒的運(yùn)動(dòng)特性差異很??；當(dāng)兩原生顆粒的半徑相差不多時(shí)，顆粒團(tuán)和等體積球形顆粒運(yùn)動(dòng)特性的差異變得明顯。

(2)分形維數(shù)一定時(shí)，隨著原生顆粒數(shù)目的增多，顆粒團(tuán)的夾帶系數(shù)減小，相位滯后增加，漂移系數(shù)先增大后減小，顆粒團(tuán)與等體積球形顆粒的動(dòng)力學(xué)行為存在顯著差異。

(3)原生顆粒的排列情況決定了顆粒團(tuán)的分形維數(shù)，原生顆粒的排列趨于致密時(shí)，分形維數(shù)增加，引起顆粒團(tuán)的夾帶系數(shù)增加，相位滯后減小，漂移系數(shù)發(fā)生單調(diào)變化，顆粒團(tuán)與等體積球形顆粒的運(yùn)動(dòng)特性的差異趨于減小。