孟憲偉 劉洪杰 王佩文 鄭建軍 劉軍 張浩

中海石油（中國(guó)）有限公司蓬勃作業(yè)公司

水平井作為一項(xiàng)高效開(kāi)采技術(shù)以提高單井產(chǎn)能、提高儲(chǔ)量動(dòng)用程度、提高采收率等優(yōu)勢(shì)，在底水油藏、稠油油藏、裂縫性油藏、低滲透油藏、天然氣藏等各種類(lèi)型油氣藏開(kāi)發(fā)中得到廣泛應(yīng)用。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)水平井的壓力動(dòng)態(tài)分析和產(chǎn)能等關(guān)鍵技術(shù)都進(jìn)行了深入的研究。針對(duì)水平井壓力動(dòng)態(tài)分析，目前有以點(diǎn)源函數(shù)理論為基礎(chǔ)建立不同油藏類(lèi)型下的水平井試井模型，此外還有通過(guò)建立拉氏空間無(wú)因次壓力關(guān)系分析壓力動(dòng)態(tài)的方法。其中以點(diǎn)源函數(shù)理論建立試井模型研究最為廣泛和深入。

1959年，Carslaw第1次將點(diǎn)源函數(shù)和Green函數(shù)引入熱力傳質(zhì)學(xué)［1］。Gringarten于1973年對(duì)于點(diǎn)源函數(shù)方法進(jìn)行了基于實(shí)數(shù)空間下的詳細(xì)推導(dǎo)和說(shuō)明，給出了用于不穩(wěn)定壓力分析的諸多實(shí)用的瞬時(shí)源函數(shù)，為建立水平井實(shí)空間滲流數(shù)學(xué)模型奠定了基礎(chǔ)［2］。一些學(xué)者采用拉普拉斯變換和數(shù)值反演求解不同情況下的壓力動(dòng)態(tài)，如Ozkan于1991年依據(jù)拉氏變換提出一般情況下的拉氏空間中點(diǎn)源解的壓力分布滲流數(shù)學(xué)模型，該通解考慮不同的井型、邊界類(lèi)型以及不同油藏類(lèi)型的拉氏空間解析模型并提供相應(yīng)的快速算法，對(duì)研究不穩(wěn)定壓力分析產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響，但仍然沒(méi)有很好地解決其計(jì)算方法問(wèn)題［3］。Clonts、Goode、Daviau、lssaka等學(xué)者對(duì)水平井試井問(wèn)題進(jìn)行了充分的研究［4-7］。Ezulike從基本流動(dòng)方程出發(fā)，建立了拉氏空間內(nèi)水平井分段無(wú)因次線源函數(shù)解，最后通過(guò)stehfest數(shù)值反演進(jìn)行求解，該方法解決了水平井在分采條件下，關(guān)掉賊層后相應(yīng)水平段流量變化時(shí)的壓力典型曲線，該試井模型假設(shè)在單分采水平段內(nèi)的流量不變［8］。

國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)點(diǎn)源函數(shù)理論研究及水平井試井模型的研究始于上世紀(jì)90年代?？紫檠葬槍?duì)分支水平井各向異性氣藏，導(dǎo)出氣藏?cái)M壓力的瞬時(shí)點(diǎn)源解,利用瞬時(shí)源函數(shù)和Newman乘積原理，給出氣藏中各種分支水平井的Green函數(shù)解析表達(dá)式，并給出了常用的基本源函數(shù)表，方便了點(diǎn)源函數(shù)理論應(yīng)用［9］。廖新維用點(diǎn)源函數(shù)和格林函數(shù)法推導(dǎo)出拉普拉斯空間線源解。沿井筒平均流量解可得無(wú)限導(dǎo)流解,在拉普拉斯空間用疊加原理加上井筒儲(chǔ)存和表皮效應(yīng)的影響,再用數(shù)值反演方法得到含井儲(chǔ)和表皮的真實(shí)空間解。通過(guò)參數(shù)組合得出考慮井筒儲(chǔ)存和表皮因子的更具有實(shí)用價(jià)值的理論圖版［10］。宋付權(quán)應(yīng)用源函數(shù)理論研究了單一直線邊界油藏水平井的壓力動(dòng)態(tài)，得到水平井應(yīng)平行于單一直線邊界布置的結(jié)論為實(shí)際的水平井布井提供理論依據(jù)［11］。王曉冬、劉慈群利用積分變換方法和源匯疊加原理建立了拉氏空間箱式封閉油藏中定產(chǎn)量水平井無(wú)因次壓力分布式，分析了箱式油藏水平井壓力動(dòng)態(tài)分析，提供了實(shí)用可靠的計(jì)算方法；用積分變換、匯源疊加方法求得其數(shù)學(xué)模型的Laplace變換解式并建立了快速、實(shí)用的應(yīng)用方法，通過(guò)典型曲線計(jì)算方法、調(diào)參分析方便了水平井不穩(wěn)定試井資料的分析與解釋?zhuān)?2-13］。汪志明根據(jù)Newman乘積原理和疊加原理，利用瞬時(shí)點(diǎn)源方法推導(dǎo)出了多分支水平井在箱形有限地層中的壓力分布通式，研究了水平井分支數(shù)、滲透率平面非均質(zhì)性以及水平井水平段長(zhǎng)度與水平井產(chǎn)量的關(guān)系［14］。段永剛采用點(diǎn)源函數(shù)的方法通過(guò)對(duì)水平井在無(wú)限大油藏、一條斷層、直角斷層以及封閉矩形等條件下的壓力動(dòng)態(tài)，在數(shù)值反演計(jì)算中同時(shí)考慮表皮系數(shù)和井筒存儲(chǔ)對(duì)壓力動(dòng)態(tài)的影響,分析了水平井壓力動(dòng)態(tài)［15］。李成勇利用點(diǎn)源函數(shù)的思想建立了邊水氣藏滲流常產(chǎn)量下的數(shù)學(xué)模型，利用stehfest反演算法求解該模型；并且利用點(diǎn)源函數(shù)的思想,求解了各向異性無(wú)限大地層水平井在拉氏空間中的無(wú)因次壓力響應(yīng)，在拉氏空間中,討論了無(wú)窮累加項(xiàng)中累加次數(shù)的取值問(wèn)題,簡(jiǎn)化了其理論壓力動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線的計(jì)算過(guò)程［16］。李樹(shù)松利用點(diǎn)源函數(shù)為基礎(chǔ)建立了水平井和多分支井的不穩(wěn)定滲流模型，同時(shí)在拉氏空間進(jìn)行了求解［17］。劉振宇以點(diǎn)源函數(shù)和格林函數(shù)的思想為基礎(chǔ)求解出一條直線邊界油藏中的水平井壓力響應(yīng)模型，對(duì)流動(dòng)階段及邊界影響進(jìn)行分析認(rèn)為邊界對(duì)水平井壓力的影響主要表現(xiàn)在邊界的類(lèi)型及距離上［18］。周密采用Green函數(shù)和疊加原理方法求解了在Laplace空間下水平井井底壓力計(jì)算公式，并利用改進(jìn)的Stehfest算法反演得到實(shí)空間的井底壓力，分析了水平方向鉆遇斷層后壓力變化特征［19］。楊志剛運(yùn)用Lord Kelvin點(diǎn)源修正解，考慮啟動(dòng)壓力梯度影響，結(jié)合杜哈美原理和泊松公式求解了低滲透油藏水平井的點(diǎn)源解，通過(guò)無(wú)因次壓力導(dǎo)雙對(duì)數(shù)圖版分析了低滲氣藏水平井滲流特征及其影響因素［20］。方思冬利用Green函數(shù)和拉普拉斯變換建立裂縫流動(dòng)的一維單元，建立有限導(dǎo)流裂縫井底壓力的求解方法分析了多裂縫水平井在不同流動(dòng)形態(tài)下的壓降變化和對(duì)產(chǎn)能影響［21］。王家航應(yīng)用點(diǎn)源函數(shù)理論和邊界元思想，建立一種可用于非均質(zhì)油藏多段壓裂水平井非穩(wěn)態(tài)壓力分析的半解析模型，對(duì)儲(chǔ)容比、竄流因數(shù)、裂縫導(dǎo)流能力、長(zhǎng)度及各裂縫泄流面積的影響進(jìn)行討論［22］。

對(duì)于各向異性油藏的研究，劉月田利用坐標(biāo)變換，將各向異性油藏轉(zhuǎn)化為各向同性油藏進(jìn)行求解［23］；何應(yīng)付將各向異性坐標(biāo)變換應(yīng)用到邊界元方法中求解封閉地層各向異性油藏壓力動(dòng)態(tài)［24］。由于油藏各向異性是在自然條件下隨機(jī)形成，影響因素較多，利用試井分析油藏系統(tǒng)本身就是黑箱問(wèn)題，考慮各向異性的角度是從笛卡爾坐標(biāo)系下直接建立各向異性油藏模型，在計(jì)算時(shí)要求各向異性物性參數(shù)在求解時(shí)滿(mǎn)足一定約束條件以符合實(shí)際生產(chǎn)動(dòng)態(tài)。最后在求解結(jié)果的基礎(chǔ)上對(duì)模型后續(xù)動(dòng)態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，達(dá)到可現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用目的。

綜上所述，對(duì)于空間連續(xù)點(diǎn)源情形的壓力分布數(shù)學(xué)模型的研究，大部分學(xué)者主要從實(shí)數(shù)空間和拉氏空間2個(gè)方向建立數(shù)學(xué)模型。其中在實(shí)數(shù)空間中建立點(diǎn)源函數(shù)的數(shù)學(xué)模型復(fù)雜度高，在復(fù)雜地質(zhì)油藏條件下由于模型復(fù)雜程度高在實(shí)際應(yīng)用時(shí)受到限制，為滿(mǎn)足實(shí)際應(yīng)用條件，通常需要設(shè)立諸多限制條件，如對(duì)邊界形狀、油藏壓力和產(chǎn)量等條件進(jìn)行限制；而在拉氏空間建立的數(shù)學(xué)模型雖然可建立較復(fù)雜模型，如解決近井存在有限或無(wú)限導(dǎo)流能力的情況、井儲(chǔ)和表皮情況、水平井過(guò)斷層情況等復(fù)雜條件；但涉及的反演計(jì)算復(fù)雜，由于目前工程上常用的數(shù)值反演算法有基于函數(shù)概率密度的Stehfest反演算法和基于Fourier變換的Crump反演算法。Stehfest算法穩(wěn)定性和精度不如Crump算法，但Crump算法的計(jì)算速度較慢阻礙了在實(shí)際中的應(yīng)用。另外，通過(guò)大量文獻(xiàn)調(diào)研，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于水平井試井?dāng)?shù)學(xué)模型的建立多數(shù)定流量條件下的試井壓力分析，對(duì)變流量情況下的壓力分析較少。

通過(guò)引入信號(hào)與系統(tǒng)分析理論中卷積和矩陣概念，結(jié)合點(diǎn)源函數(shù)理論建立水平井變流量壓力動(dòng)態(tài)響應(yīng)離散模型。最后利用最優(yōu)化方法對(duì)該模型直接計(jì)算，求解模型最優(yōu)解，避免了反演計(jì)算。計(jì)算過(guò)程和結(jié)果精簡(jiǎn)可靠?？朔巳鄙倬軌毫?shù)據(jù)條件下不穩(wěn)定試井分析方法的應(yīng)用，克服了常規(guī)模型中流量不變的假設(shè)，解決了流量變化條件下的壓力響應(yīng)問(wèn)題。文章中推導(dǎo)的試井解釋模型適用于解決有界斷塊內(nèi)封閉邊界，水平和垂直方向各向異性油藏中水平井在變流量條件下的壓力響應(yīng)問(wèn)題。在不同邊界形狀和條件下，對(duì)點(diǎn)源函數(shù)進(jìn)行擴(kuò)展，可適用于定壓邊界和混合邊界的模型應(yīng)用。擴(kuò)展后可適用于對(duì)應(yīng)地質(zhì)油藏條件下的試井模型建立和計(jì)算。

1 各向異性油藏變流量水平井試井模型

在變流量條件下，試井?dāng)?shù)學(xué)模型建立的理論依據(jù)為格林函數(shù)和Newman乘積原理，同時(shí)結(jié)合系統(tǒng)理論中單位沖擊響應(yīng)函數(shù)和系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系，對(duì)水平井流量變化時(shí)的壓力響應(yīng)進(jìn)行分析和計(jì)算。利用格林函數(shù)理論構(gòu)造點(diǎn)源函數(shù)和Newman乘積方法建立矩形斷塊內(nèi)各向異性油藏水平井的點(diǎn)源函數(shù)，該函數(shù)在模型中表征了系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)。變流量條件時(shí)表征為系統(tǒng)輸入信號(hào)的變化，水平井跟端壓力響應(yīng)即為系統(tǒng)的輸出。該系統(tǒng)模型在實(shí)域空間的解析式即為杜哈美原理導(dǎo)出的褶積表示式。

從基于格林函數(shù)的點(diǎn)源函數(shù)理論出發(fā)，將模型分解成實(shí)空間3個(gè)方向的瞬時(shí)點(diǎn)源解，結(jié)合Newman乘積原理構(gòu)造水平井瞬時(shí)源函數(shù)解。最后建立基于變流量條件下瞬時(shí)點(diǎn)源解的連續(xù)系統(tǒng)卷積公式。并根據(jù)離散系統(tǒng)的卷積和關(guān)系，將連續(xù)系統(tǒng)卷積公式變換成為基于各個(gè)測(cè)試點(diǎn)的卷積和矩陣關(guān)系式，最后利用該卷積和矩陣關(guān)系進(jìn)行模型的計(jì)算。

1.1 各向異性油藏基本控制方程

考慮到礦場(chǎng)實(shí)際條件下，可獲取的數(shù)據(jù)質(zhì)量情況，地質(zhì)油藏狀況，以及井筒狀況，同時(shí)為簡(jiǎn)化計(jì)算，降低計(jì)算的復(fù)雜度。針對(duì)模型建立如下假設(shè)條件：將水平井假設(shè)為封閉斷塊內(nèi)的水平直線源，因此模型不考慮水平井井筒半徑的影響；有界斷塊內(nèi)各點(diǎn)水平滲透率和垂向滲透率分布一致，模型假設(shè)為均質(zhì)各向異性油藏；單相弱可壓縮流體，流體黏度均勻分布；水平井井筒流量隨而時(shí)間變化。

在不考慮井筒儲(chǔ)集效應(yīng)和表皮系數(shù)的條件下，考慮水平方向和垂直方向的各向異性，利用連續(xù)性方程和達(dá)西定律建立各向異性油藏控制方程為

由于求解該擴(kuò)散方程的水平井變流量模型涉及帶時(shí)間變量的復(fù)雜邊界條件，直接求解困難。而利用Green函數(shù)理論建立變流量條件下點(diǎn)源函數(shù)模型將邊界條件影響體現(xiàn)在不同的瞬時(shí)點(diǎn)源函數(shù)。

1.2 各向異性油藏水平井點(diǎn)源函數(shù)構(gòu)成

由于控制方程滿(mǎn)足線性疊加原理，其解也滿(mǎn)足疊加原理，利用點(diǎn)源函數(shù)思想解決水平井不穩(wěn)定滲流問(wèn)題，將各種類(lèi)型的邊界條件體現(xiàn)在點(diǎn)源函數(shù)的源函數(shù)上，結(jié)合卷積原理解決變流量問(wèn)題；對(duì)于空間連續(xù)點(diǎn)源情形的壓力分布Gringarten利用了熱力學(xué)方面研究成果，采取Newman乘積方法在實(shí)域中給出變流量解，該壓力解為褶積形式為

式中，S(x,y,z,t-τ)為模型源函數(shù)，cm-2；q(τ)為模型中源的單位沖擊強(qiáng)度，cm3/(s·cm)。

設(shè)地層頂?shù)酌鏋榉忾]不滲透地層，地層厚度h/cm，水平井位于封閉斷塊內(nèi)且平行于頂?shù)酌?，平行于水平井井筒方向的斷塊邊界水平距離xe/cm，垂直于井筒方向斷塊邊界水平距離ye/cm。建立坐標(biāo)系如圖1所示，水平井水平段長(zhǎng)度為L(zhǎng)/cm，水平井中點(diǎn)坐標(biāo)為(xw，yw，zw)。水平滲透率為kh，垂直滲透率為kv。

圖1 邊界為封閉斷塊內(nèi)一口水平井油藏模型Fig.1 Reservoir model of horizontal well in a closed fault block

對(duì)于頂?shù)酌娣忾]不滲透層、有界封閉斷層內(nèi)一口水平井油藏系統(tǒng)來(lái)說(shuō)可分解成為x方向?yàn)闂l帶形封閉邊界內(nèi)寬度為L(zhǎng)的條帶源、y和z方向?yàn)闂l帶形封閉邊界內(nèi)直線源，斷塊內(nèi)水平井瞬時(shí)源函數(shù)為3個(gè)方向瞬時(shí)源函數(shù)乘積。如圖2所示為3個(gè)方向的邊界條件示意圖。

圖2 封閉斷塊內(nèi)平行于頂?shù)酌嫠骄纸鉃樵春瘮?shù)模型Fig.2 Decomposition of horizontal well parallel to the top and bottom surface in a closed fault block into the source function model

上述3個(gè)源函數(shù)反映了3個(gè)方向上對(duì)應(yīng)的邊界條件下的表達(dá)式，根據(jù)Newman乘積原理整體模型的源函數(shù)可表示為3個(gè)方向的源函數(shù)乘積，該模型同時(shí)滿(mǎn)足整體的邊界條件。

1.3 變流量下水平井壓力動(dòng)態(tài)響應(yīng)關(guān)系式建立

以水平井跟部位為壓力測(cè)試基準(zhǔn)點(diǎn)，可得到水平井跟部井壁流壓變化關(guān)系式，由式(3)得到變流量下水平井跟部流動(dòng)壓力動(dòng)態(tài)響應(yīng)關(guān)系式為

對(duì)于封閉邊界條件下，式(8)中點(diǎn)源函數(shù)在跟端的表達(dá)式為

式(8)中q(τ)的數(shù)學(xué)物理意義為輸入該模型的單位沖擊信號(hào)，在變流量情況時(shí)表征為單位空間尺度下的流量隨時(shí)間變化的函數(shù)。針對(duì)所建立的模型為封閉斷塊內(nèi)各向異性油藏水平井可表示為q(τ)=BQ(τ)/L。而源函數(shù)即為信號(hào)與系統(tǒng)理論中的單位沖擊響應(yīng)函數(shù)，兩者的卷積為系統(tǒng)的輸出信號(hào)，此處即為壓力響應(yīng)。式(9)為封閉邊界條件下點(diǎn)源函數(shù)在跟端的表達(dá)式。同理，依據(jù)文獻(xiàn)[2]提供的基本源函數(shù)，基于上述相同的假設(shè)條件，可建立定壓邊界和混合邊界條件下斷塊內(nèi)水平井跟端點(diǎn)源函數(shù)表達(dá)式如下 (10)、(11)所示。

在上下頂?shù)酌娣忾]邊界、平面定壓邊界條件下，水平井跟端壓力響應(yīng)點(diǎn)源函數(shù)(單位沖擊響應(yīng)函數(shù))表達(dá)式為

在上下頂?shù)酌娣忾]邊界、平面混合邊界條件下，點(diǎn)源函數(shù)表達(dá)式為

在得到不同邊界條件下的點(diǎn)源函數(shù)后，根據(jù)實(shí)際情況可將對(duì)應(yīng)點(diǎn)源函數(shù)帶入各向異性油藏水平井井底流壓動(dòng)態(tài)響應(yīng)關(guān)系式(8)中進(jìn)行計(jì)算。由于響應(yīng)關(guān)系式為連續(xù)系統(tǒng)的表示形式，為了使該實(shí)數(shù)連續(xù)空間表達(dá)式具有可應(yīng)用價(jià)值，將連續(xù)系統(tǒng)的褶積形式寫(xiě)成等價(jià)的離散系統(tǒng)卷積和形式為

為簡(jiǎn)化公式對(duì)式(12)進(jìn)行簡(jiǎn)化，令

則式(12)簡(jiǎn)寫(xiě)成為式(15)為

可以在每個(gè)測(cè)試點(diǎn)n=0,1,2,···,t，依據(jù)式 (15)進(jìn)行展開(kāi)后得到矩陣形式為

上述(16)式中Δτ取決于測(cè)試數(shù)據(jù)密度，對(duì)于每日測(cè)試數(shù)據(jù)可取Δτ=24 h。由于流量歷史q[n]和壓力歷史Δp[n]已知，利用文獻(xiàn)[25]中的計(jì)算思路和最優(yōu)化算法求得該模型參數(shù)的最優(yōu)解，編制計(jì)算機(jī)最優(yōu)化程序?qū)崿F(xiàn)計(jì)算結(jié)果。

2 礦場(chǎng)計(jì)算實(shí)例

由于上述卷積和形式的關(guān)系式反映了水平井跟端壓力在變流量時(shí)動(dòng)態(tài)壓力響應(yīng)，實(shí)際測(cè)試數(shù)據(jù)密度決定了模型的輸入和輸出數(shù)據(jù)質(zhì)量，也決定了模型可認(rèn)識(shí)程度。該井實(shí)例測(cè)試數(shù)據(jù)來(lái)源于混合邊界斷塊中水平井日產(chǎn)數(shù)據(jù)，流壓測(cè)試數(shù)據(jù)為日度數(shù)據(jù)。

X井為渤海區(qū)域某有界封閉邊界和定壓邊界構(gòu)成的混合邊界斷塊內(nèi)1口水平井，該井初期流量和壓力變化實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。從該井實(shí)測(cè)流量數(shù)據(jù)可知，該水平井流量變化較大，常規(guī)定產(chǎn)量模型不適用。為了利用動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)中的日頻度數(shù)據(jù)進(jìn)行不穩(wěn)定試井壓力解釋和分析，應(yīng)用前面推導(dǎo)的基于源函數(shù)卷積和矩陣關(guān)系式模型進(jìn)行模型擬合和計(jì)算。

基于油田礦場(chǎng)X井附近斷層信息和該井附近壓力支持的實(shí)際情況，建立該井靜態(tài)模型，該模型中斷層邊界及水平井位置參數(shù)詳細(xì)信息見(jiàn)表2。

由于3個(gè)方向源函數(shù)的計(jì)算都涉及到無(wú)窮級(jí)數(shù)項(xiàng)，在實(shí)際應(yīng)用中，級(jí)數(shù)項(xiàng)個(gè)數(shù)n的取值會(huì)影響計(jì)算精度。為了在不影響計(jì)算精度的條件下減少不必要重復(fù)計(jì)算，應(yīng)用本模型中源函數(shù)，對(duì)不同數(shù)目級(jí)數(shù)項(xiàng)下的源函數(shù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖3所示。

圖3顯示了不同級(jí)數(shù)項(xiàng)目個(gè)數(shù)的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，在級(jí)數(shù)項(xiàng)個(gè)數(shù)n≤5時(shí)，源函數(shù)計(jì)算結(jié)果差別較大；而在級(jí)數(shù)項(xiàng)個(gè)數(shù)取值n＞5時(shí)，源函數(shù)計(jì)算結(jié)果差別較小。實(shí)際應(yīng)用中建議級(jí)數(shù)項(xiàng)個(gè)數(shù)取值大于5，計(jì)算結(jié)果可以滿(mǎn)足準(zhǔn)確性和精度的要求。

表1 X 井實(shí)測(cè)流量和壓力動(dòng)態(tài)響應(yīng)Table 1 Flow rate and pressure behavior response measured in Well X

表2 X 井靜態(tài)模型參數(shù)Table 2 Static model parameters of Well X

利用初期測(cè)試流量和壓差數(shù)據(jù)，結(jié)合上述卷積和矩陣乘積得到p[n]*，設(shè)置目標(biāo)函數(shù)最小化為利用初始值計(jì)算模型的壓力響應(yīng)。利用優(yōu)化方法求解目標(biāo)函數(shù)極小值，達(dá)到優(yōu)化模型參數(shù)符合該井實(shí)際測(cè)試數(shù)據(jù)，編制計(jì)算機(jī)最優(yōu)化程序算法，計(jì)算后得到模型的壓差。如圖4所示，可知模型和實(shí)測(cè)的壓力響應(yīng)擬合結(jié)果吻合程度較高。模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)比其相對(duì)誤差情況統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表3，相對(duì)誤差平均在3.1%左右。從實(shí)際應(yīng)用表明，該模型所用方法具有較高的可靠性，具有應(yīng)用價(jià)值。

圖3 級(jí)數(shù)項(xiàng)不同取值個(gè)數(shù)下源函數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.3 Calculation results of source function at different numbers of series terms

圖4 各向異性混合邊界油藏水平井變流量實(shí)測(cè)與模型壓力對(duì)比Fig.4 Comparison between the calculated pressure and measured value of horizontal well at variable flow rate in anisotropic reservoirs with combined boundaries

表3 實(shí)測(cè)壓力變化與模型壓力變化相對(duì)誤差統(tǒng)計(jì)Table 3 Relative errors between well test pressure change and model pressure change

最優(yōu)化方法求解得到模型的決策參數(shù)結(jié)果見(jiàn)表4。由于該模型和求得的對(duì)應(yīng)參數(shù)符合該井生產(chǎn)初期動(dòng)態(tài)，后續(xù)可綜合利用該模型的各項(xiàng)參數(shù)，對(duì)模型后續(xù)的動(dòng)態(tài)表現(xiàn)進(jìn)行預(yù)測(cè)。參數(shù)預(yù)測(cè)后續(xù)模型結(jié)果和實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)對(duì)比如圖5所示，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)吻合程度較高。

表4 模型參數(shù)解釋結(jié)果匯總Table 4 Summary of interpretation results of model parameters

圖5 基于模型參數(shù)預(yù)測(cè)定流量下實(shí)測(cè)壓力與模型壓力響應(yīng)對(duì)比Fig.5 Comparison between the measured pressure at constant flow rate and the modeled pressure response result

上述計(jì)算實(shí)例為混合邊界條件下的變流量壓力響應(yīng)結(jié)果，通過(guò)歷史動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)擬合得出模型參數(shù)后，對(duì)模型后續(xù)動(dòng)態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合程度高，模型具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。利用封閉邊界和定壓邊界下的點(diǎn)源函數(shù)，計(jì)算在相同的輸入(流量變化史)、相同的模型參數(shù)下，得到不同的邊界情況下該水平井壓力動(dòng)態(tài)響應(yīng)結(jié)果，如圖6所示?？梢钥闯?，模型在相同的流量變化條件和相同的模型參數(shù)條件下，實(shí)測(cè)壓力數(shù)據(jù)與混合邊界模型壓力擬合程度較高，而封閉邊界和定壓邊界模型在初期吻合程度較好，隨著壓力傳遞到邊界后，后續(xù)的壓力動(dòng)態(tài)響應(yīng)出現(xiàn)了明顯的差異。說(shuō)明了不同邊界條件下，該井在相同的輸入(流量變化史)時(shí)，不同邊界模型初期的壓力響應(yīng)基本一致。為了后續(xù)能夠預(yù)測(cè)該井動(dòng)態(tài)，本計(jì)算實(shí)例采用混合邊界模型更符合生產(chǎn)實(shí)際。

圖6 不同邊界條件水平井實(shí)測(cè)壓力與模型壓力響應(yīng)結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison between the measured pressure of horizontal well under different boundary conditions and the modeled pressure response result

3 結(jié)論

(1)利用點(diǎn)源函數(shù)理論和Newman乘積原理建立的各向異性油藏水平井在不同邊界條件下的變流量壓力動(dòng)態(tài)響應(yīng)卷積關(guān)系式，該模型適用于定壓邊界、封閉邊界、混合邊界條件下的不穩(wěn)定壓力分析。通過(guò)變換得到的矩陣關(guān)系式可利用計(jì)算的數(shù)據(jù)適用范圍廣，對(duì)數(shù)據(jù)頻度要求低；計(jì)算結(jié)果可反求出油藏參數(shù)，該方法建立的模型反映出各向油藏水平井實(shí)際動(dòng)態(tài)情況。

(2)模型實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，水平井點(diǎn)源函數(shù)的級(jí)數(shù)項(xiàng)取值應(yīng)大于5，以滿(mǎn)足模型計(jì)算準(zhǔn)確性和精度要求。利用最優(yōu)化方法快速擬合了歷史數(shù)據(jù)并求得了模型參數(shù)，實(shí)例應(yīng)用表明對(duì)單井模型后續(xù)預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性較高，對(duì)油田開(kāi)發(fā)評(píng)價(jià)和后續(xù)實(shí)際生產(chǎn)具有較高的實(shí)用價(jià)值。

符號(hào)說(shuō)明

B為流體的體積系數(shù)；ct為綜合壓縮系數(shù)，atm-1；h為地層厚度，cm；kh為地層水平滲透率，μm2；kv為地層垂直滲透率，μm2；L為水平井水平段長(zhǎng)度，cm；Δp為水平井跟端壓力變化差值，atm(一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓)；q為水平段內(nèi)單位長(zhǎng)度井底流量，cm3/(s·cm)；Q為水平井井口流量，cm3/s；t為生產(chǎn)時(shí)間，s；ηx,y為地層水平導(dǎo)壓系數(shù)，cm2/s；ηz為地層垂直導(dǎo)壓系數(shù)，cm2/s；μ為流體黏度，mPa·s；φ為地層孔隙度。