蔡蓉蓉，張羅號(hào)，張紅武

（1. 清華大學(xué)水沙科學(xué)與水利水電工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084；2. 河海大學(xué)水利水電學(xué)院，江蘇南京 210098）

1 現(xiàn)有泥沙起動(dòng)流速公式的簡(jiǎn)況

研究泥沙起動(dòng)問(wèn)題具有重大的科學(xué)意義與實(shí)踐價(jià)值，有助于理解河床沖淤變形規(guī)律，對(duì)航道運(yùn)渠等的設(shè)計(jì)［1］起到?jīng)Q定性作用。研究泥沙起動(dòng)問(wèn)題時(shí)，往往從泥沙起動(dòng)流速入手，早在200多年前，法國(guó)人杜步華就采用了試驗(yàn)方法觀測(cè)了泥沙運(yùn)動(dòng)與流速的關(guān)系［2］，之后國(guó)內(nèi)外科研工作者從各個(gè)角度進(jìn)行了大量相關(guān)研究［3］。

沙莫夫于1959年提出的泥沙起動(dòng)流速公式為［4］：

式中：Vc為泥沙起動(dòng)流速；γs為泥沙容重；γ 為水流容重；D為泥沙粒徑；h為水深。

我國(guó)學(xué)者曾采用試驗(yàn)的手段研究過(guò)泥沙的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題［5-6］。例如，李保如等學(xué)者早在1953年就建立過(guò)泥沙起動(dòng)流速的如下表達(dá)式［7］：

顯然，式（2）與式（1）的結(jié)構(gòu)形式是相同的，說(shuō)明我國(guó)學(xué)者在這一領(lǐng)域的研究水平已經(jīng)很高，只是局限于試驗(yàn)資料的粒徑范圍，沒(méi)有在當(dāng)時(shí)得出可包含細(xì)沙的起動(dòng)流速公式。

之后李保如［1］進(jìn)一步研究了粗顆粒及細(xì)顆粒泥沙的起動(dòng)流速問(wèn)題，引入了當(dāng)時(shí)水流運(yùn)動(dòng)研究習(xí)用的雷諾數(shù)，還考慮了水力學(xué)中近壁層流層厚度的概念，進(jìn)而可以考慮水溫及含沙量對(duì)起動(dòng)流速的影響。文獻(xiàn)［1］進(jìn)行受力分析時(shí)僅考慮水流推力FD，上舉力FL及重力W，建立了泥沙顆粒的受力平衡方程式為：

式中f為“起動(dòng)系數(shù)”，可反映泥沙起動(dòng)時(shí)所受邊界的摩擦作用，相當(dāng)于摩擦系數(shù)［1］。

一般天然河道的坡度較小，可近似取sina=0，cosa=1，式（3）可簡(jiǎn)化為：

文獻(xiàn)［1］將所給出的水流推力、上舉力及重力的表達(dá)式代入上式，即可得出：

式中：C為謝才系數(shù)；m在天然情況下可假定為常數(shù)，為單顆泥沙承受推力的份數(shù)；k為上舉力大小與水流推力強(qiáng)度的比值；A1、A2、A3均是常數(shù)，取決于泥沙顆粒形狀。

將張友齡［8］建立的糙率n與泥沙粒徑D的關(guān)系式代入曼寧公式，可將謝才系數(shù)C表達(dá)為如下形式：

式中：K ′為常數(shù)；R為水力半徑。

李保如指出，摩擦系數(shù)f是泥沙粒徑D與近壁層流層厚度δ 之比的函數(shù)［1］：

由此看出，文獻(xiàn)［1］的研究，實(shí)際上就相當(dāng)于將細(xì)顆粒的摩擦系數(shù)f處理為近壁層流層厚度對(duì)細(xì)顆粒泥沙“隱蔽”作用的綜合影響系數(shù)。近壁層流層在現(xiàn)代水力學(xué)中又被稱為黏性底層，其內(nèi)黏性切力作用很大，該處流體受到邊壁的約束作用，且邊壁的絕對(duì)粗糙度與該層厚度的比值可反映邊壁的摩阻特性［9］。近壁層流層厚度的表達(dá)式為［10］：

式中：N為常數(shù)，一般取11.6；ν 為水流運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)；u*為摩阻流速。

聯(lián)立式（6）及式（8），可推得D/δ 的表達(dá)式為：

聯(lián)立式（5）及式（6）得：

聯(lián)立式（7）、式（9）及式（10）得泥沙起動(dòng)流速的一般形式為：

該式形式與式（1）相同，只不過(guò)系數(shù)為泥沙起動(dòng)雷諾數(shù)Revd及相對(duì)糙率D/R的函數(shù)。

李保如利用式（11），結(jié)合前人當(dāng)時(shí)的試驗(yàn)資料提出了泥沙起動(dòng)流速的分區(qū)公式：

張紅武認(rèn)為，李保如泥沙起動(dòng)流速公式適用于黏結(jié)力尚不占主導(dǎo)的細(xì)顆粒泥沙［11］，對(duì)于黏性細(xì)顆粒泥沙，使用該式計(jì)算的起動(dòng)流速偏小很多，這是由于當(dāng)時(shí)缺乏典型黏性細(xì)顆粒泥沙的試驗(yàn)資料，導(dǎo)致公式在黏性細(xì)顆粒泥沙起動(dòng)流速的走向上表現(xiàn)不佳［12］。

張瑞瑾考慮了細(xì)顆粒間的黏結(jié)力，認(rèn)為黏結(jié)力與沙?？障逗穸瘸煞幢?，與粒徑的平方成正比，并與沙粒所受垂直壓力有關(guān)［3］，借助實(shí)測(cè)資料率定出4個(gè)未知參數(shù)，于1961年提出泥沙起動(dòng)流速統(tǒng)一公式［13］：

該式單位采用kg·m·s。

唐存本［14］認(rèn)為細(xì)顆粒間的黏結(jié)力由泥沙顆粒及水膜間的分子力決定，與泥沙干容重有關(guān)，進(jìn)行3個(gè)參數(shù)的率定后，提出適用于粗顆粒及細(xì)顆粒的起動(dòng)流速公式［3］：

式中：m為指數(shù)，一般天然河道可取1/6，平整河床可按m=(1/4.7 )( D/h)0.06計(jì)算；γ′為淤積物的干容重；為淤積物的穩(wěn)定干容重；系數(shù)C=0.906×10-4g/cm。該式單位采用g·cm·s。

沙玉清只考慮水流作用力及重力，認(rèn)為水流作用力系數(shù)Cp與泥沙靜水沉降時(shí)的阻力系數(shù)Cd滿足指數(shù)關(guān)系，并使用試驗(yàn)資料于1956年求得泥沙的起動(dòng)流速公式［2］：

式中ω 為泥沙顆粒沉速，可采用沙玉清公式［15］計(jì)算，即滯流區(qū)（D=0.0001～0.01 cm）公式：

介流區(qū)（D=0.01 ～0.2 cm）公式：

紊流區(qū)（D＞0.2 cm）公式：

上述式（19）—（21）單位采用g·cm·s。

沙玉清在1965年對(duì)其早期公式（式（18））進(jìn)行了改進(jìn)，在“阻力系數(shù)”中考慮了散粒體顆粒與黏性沙的區(qū)別，引入了分子水膜厚度及孔隙率的影響，提出了能概括粗細(xì)顆粒泥沙起動(dòng)的流速公式［17］：

式中：ε 為孔隙率，穩(wěn)定值約為0.4；δ 為分子水膜厚度，取0.0001 mm。

竇國(guó)仁1958年通過(guò)交叉石英絲試驗(yàn)證明附加下壓力會(huì)對(duì)細(xì)顆粒泥沙的起動(dòng)產(chǎn)生影響，考慮了壓力水頭對(duì)黏結(jié)力的影響作用，于1960年求得淺水下的泥沙起動(dòng)流速公式［18］：

式中：Ha是用水柱高度表示的大氣壓力；δ 是一個(gè)水的分子厚度，取3×10-8cm 。

竇國(guó)仁1974 年在考慮附加下壓力對(duì)黏結(jié)力影響的基礎(chǔ)上又考慮了分子黏結(jié)力對(duì)泥沙起動(dòng)的影響，對(duì)其早期的公式（式（23））進(jìn)行修正，提出的泥沙起動(dòng)流速公式為［19］：

式中：Ks為河床糙度，當(dāng)D小于等于0.5 mm時(shí)，Ks=0.5 mm，當(dāng)D大于0.5 mm時(shí)，Ks=D；δ 為與沙粒縫隙大小相關(guān)的特征厚度，δ=0.213×10-4cm，εk=2.56 cm3/s2，系根據(jù)交叉石英絲試驗(yàn)成果確定。該式單位采用g·cm·s。

張紅武考慮了顆粒間的黏結(jié)力及附加下壓力，并在黏結(jié)力的表達(dá)式中引入了水流運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)（可反映出近壁層流層厚度，水溫及含沙量［20］的影響），在作用于沙粒的有效瞬時(shí)流速與斷面平均流速的轉(zhuǎn)換中考慮了含沙量及河床摩阻的影響，于2012年提出適用于粗細(xì)沙的起動(dòng)流速統(tǒng)一公式為［20］：

式中：KD為作用于沙粒的有效瞬時(shí)流速與斷面平均流速的轉(zhuǎn)換系數(shù)；δ 參考竇國(guó)仁交叉石英絲試驗(yàn)的成果，取為0.213×10-4cm。

1950年代，我國(guó)沙玉清及李保如兩位學(xué)者基于河流動(dòng)力學(xué)原理先后推導(dǎo)出泥沙起動(dòng)流速的計(jì)算公式，其中李保如考慮了水流運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)的影響。根據(jù)試驗(yàn)觀察，同一粒徑模型沙的起動(dòng)流速大小受到水溫的影響［21］，說(shuō)明水流運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)是影響起動(dòng)流速的重要因素，必須將其考慮在內(nèi)。這一說(shuō)法可以通過(guò)李保如的觀點(diǎn)解釋，水溫升高，近壁層流層厚度減小，對(duì)于泥沙顆粒的遮蔽作用減弱，故泥沙的起動(dòng)流速減小。李保如通過(guò)理論與試驗(yàn)研究取得的成果物理意義清晰，代表了當(dāng)時(shí)起動(dòng)流速研究的較高水平，具有重大意義。

2 李保如泥沙起動(dòng)流速修正公式

前人推求泥沙起動(dòng)流速公式時(shí)，考慮的作用力及推得的具體表達(dá)式各具特色，但都通過(guò)實(shí)測(cè)資料率定出了不止一個(gè)系數(shù)才得最終的起動(dòng)流速公式［12］。謝鑒衡［3］指出，“只要適當(dāng)?shù)倪x擇系數(shù)，使這些公式比較符合實(shí)測(cè)資料還是有可能的”。鑒于李保如公式的物理圖形既考慮了泥沙顆粒所處邊界的水力學(xué)差異，又能體現(xiàn)近壁層流層對(duì)細(xì)顆粒泥沙的“隱蔽”影響，這在當(dāng)時(shí)的國(guó)內(nèi)外學(xué)者中是極為難得的，本文以該公式的物理背景為基礎(chǔ)進(jìn)行修正，期望得到適用于黏性沙及散粒體泥沙的起動(dòng)流速統(tǒng)一公式。

為此，可將摩擦系數(shù)f的函數(shù)處理為由近壁層流層厚度對(duì)細(xì)顆粒泥沙“隱蔽”影響項(xiàng)與可忽略不計(jì)該影響的項(xiàng)組成，同時(shí)考慮到細(xì)顆粒泥沙粒徑越細(xì)，近壁層流層的“隱蔽”影響越大，參照李保如當(dāng)時(shí)對(duì)細(xì)顆粒泥沙起動(dòng)影響的處理思路，進(jìn)一步將前者表示為“近壁層流層厚度δ 與泥沙粒徑D之比”即δ/D 的指數(shù)形式，于是將f的函數(shù)表示為：

式中k0、m1、C0為待定系數(shù)。

直接用曼寧公式表示謝才系數(shù)C，引入近壁層流層厚度的表達(dá)式（8）推得δ/D 的表達(dá)式為：

將上式代入式（26）得：

將式（28）代入式（10），表明在忽略近壁層流層厚度影響時(shí)，公式形式與沙莫夫公式相同，故根據(jù)能夠忽略近壁層流層厚度影響的較粗顆粒泥沙實(shí)測(cè)起動(dòng)流速資料，求得能夠反映重力作用的系數(shù)C0=1.5；利用黏性細(xì)顆粒泥沙資料，將近壁層流層厚度對(duì)細(xì)顆粒泥沙“隱蔽”影響項(xiàng)的系數(shù)k0=0.0035，指數(shù)m1=2；最終得出如下泥沙起動(dòng)流速公式為：

該式單位采用kg·m·s。借助試算法，利用式（29），即可求得泥沙的起動(dòng)流速。

此外，通過(guò)上式中的泥沙起動(dòng)雷諾數(shù)Revd，可體現(xiàn)出含沙量對(duì)泥沙起動(dòng)的影響。渾水條件下水流的運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)νm［22］為：

式中：Sv為體積含沙量；d50為懸移質(zhì)泥沙中值粒徑，單位為mm。

采用21 組清華大學(xué)黃河研究中心水槽試驗(yàn)資料（粒徑范圍0.001 ～0.193 mm，水深均換算為0.15 m）及文獻(xiàn)［3］中竇國(guó)仁整理的各家實(shí)測(cè)資料與從長(zhǎng)江實(shí)測(cè)記錄換算而得的資料共計(jì)105組泥沙起動(dòng)資料（粒徑范圍0.20～78.14 mm，水深均換算為0.15 m），分別求出不同粒徑泥沙顆粒近壁層流層影響項(xiàng)及重力作用項(xiàng)所占的比例，繪制成圖，如圖1所示?？梢钥闯觯S著泥沙粒徑的逐漸增大，重力作用項(xiàng)所占比例逐漸增加，近壁層流層影響項(xiàng)所占比例逐漸減少。從工程角度講，泥沙粒徑較大時(shí)（如大于0.1 mm），可忽略近壁層流層影響項(xiàng)，泥沙粒徑較小時(shí)（如小于0.01 mm），可忽略重力作用項(xiàng)。

3 李保如泥沙起動(dòng)流速修正公式的驗(yàn)證

圖1 泥沙粒徑與近壁層流層影響項(xiàng)及重力作用項(xiàng)的關(guān)系

本文除利用上述試驗(yàn)資料外，又利用文獻(xiàn)［2］圖5中何之泰、俞世煜、姜國(guó)干等人整理的共計(jì)67組泥沙起動(dòng)資料（粒徑范圍0.001～70.63 mm，水深均換算為1 m），取指數(shù)為1/6，使用指數(shù)流速分布公式將上述水深1 m下的實(shí)測(cè)起動(dòng)流速資料轉(zhuǎn)換為水深0.15 m下的起動(dòng)流速資料，利用式（29）計(jì)算得出了水深0.15 m時(shí)不同粒徑泥沙的計(jì)算起動(dòng)流速（用張友齡公式確定n與D的關(guān)系，其系數(shù)A按張紅武公式［12］計(jì)算），并與竇國(guó)仁、張瑞瑾等各家著名公式相比較（為便于比較其中張紅武公式中謝才系數(shù)C取60 m1/2/s），如圖2所示。從該圖可看出，對(duì)于粒徑小于0.01 mm的細(xì)顆粒泥沙，除唐存本公式計(jì)算結(jié)果稍大以外，各家公式計(jì)算結(jié)果相差不大；對(duì)于粒徑在0.01～0.1 mm之間的泥沙，除沙玉清公式及唐存本公式計(jì)算結(jié)果略有偏大以外，各家公式計(jì)算結(jié)果相近；對(duì)于粒徑在0.1～1 mm之間的泥沙，各家公式計(jì)算結(jié)果較為接近；對(duì)于較粗顆粒泥沙，張紅武公式、沙玉清公式，唐存本公式及本文公式與實(shí)測(cè)點(diǎn)據(jù)的吻合程度較高，張瑞瑾公式與竇國(guó)仁公式的計(jì)算結(jié)果偏小。可以看出，與實(shí)測(cè)資料及各家公式相比，本文公式頗為符合實(shí)際，取得了較好的驗(yàn)證效果。

采用式（29）計(jì)算得出了粒徑為0.013 mm的泥沙在不同水深下（0.15 ～20 m）的計(jì)算起動(dòng)流速，并與各家公式計(jì)算結(jié)果相比較，如圖3所示，本文公式可以較好的反映出泥沙起動(dòng)流速隨水深增加而增大的規(guī)律。

圖2 各家公式同實(shí)測(cè)資料的比較結(jié)果（水深0.15m）

圖3 泥沙起動(dòng)流速隨水深的變化規(guī)律（D=0.013mm）

圖4 本文公式計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)資料的比較

為便于比較各家公式的計(jì)算結(jié)果，使用文獻(xiàn)［23］中竇國(guó)仁整理的長(zhǎng)江資料（粒徑范圍0.1～0.18 mm）、南科院不同容重模型沙資料（粒徑范圍0.63～8 mm）、7 組黃河實(shí)測(cè)資料（粒徑范圍0.059～0.162 mm）、3 組伏爾加河資料（粒徑范圍0.383～0.73 mm）、謝鑒衡整理的模型沙資料（粒徑范圍0.24～0.8 mm），前蘇聯(lián)中亞河資料（粒徑范圍8.3～13 mm）及3組汾河河津資料（粒徑范圍0.095～0.169 mm），利用圖示法對(duì)李保如泥沙起動(dòng)流速修正公式進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果如圖4所示，通過(guò)計(jì)算求得使用本文公式的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)資料的相關(guān)系數(shù)為0.966，平均相對(duì)誤差為17.9%。由文獻(xiàn)［20］及文獻(xiàn)［23］可知各家公式對(duì)相同資料的驗(yàn)證結(jié)果，平均相對(duì)誤差分別如表1所示。結(jié)合該表及本文、文獻(xiàn)［20，23］中各公式的圖示法驗(yàn)證結(jié)果看出，本文公式具有較高精度，可以滿足實(shí)際需要。

大量資料驗(yàn)證結(jié)果表明，盡管不去考慮概念難以判明且難以定量描述的黏結(jié)力及附加下壓力的復(fù)雜影響，也不考慮流速沿水深的分布計(jì)算公式如何表達(dá)，但得到的公式同樣可以同時(shí)適用于黏性細(xì)顆粒泥沙及散粒體泥沙的起動(dòng)流速計(jì)算。

表1 各家公式計(jì)算值與實(shí)測(cè)資料相比的平均相對(duì)誤差

鑒于黃河下游沖刷只有把床面細(xì)沙沖起進(jìn)入懸移運(yùn)動(dòng)才顯得有效，黃河下游取D=0.03mm、H=1.5 m，根據(jù)汛期糙率n=0.011、非汛期糙率n=0.015，利用式（29）計(jì)算得到黃河下游汛期起動(dòng)流速Vc=0.49 m/s、非汛期起動(dòng)流速Vc=0.413 m/s。再以D=0.05 mm、H=2.5 m、汛期糙率n=0.013、非汛期糙率n=0.017 計(jì)算寧蒙河段，可得汛期起動(dòng)流速Vc=0.414 m/s、非汛期起動(dòng)流速Vc=0.37 m/s。由此說(shuō)明，引入糙率n 的起動(dòng)流速公式可說(shuō)明黃河沙質(zhì)河段汛期起動(dòng)流速都比流速（約為1.6～2.5 m/s）小很多，非汛期流速（約為0.8～1.5 m/s）減小較多，但起動(dòng)流速比汛期小，使起動(dòng)流速仍比流速小不少，試圖揭示出黃河沙質(zhì)河段往往非汛期沖刷但不出現(xiàn)顯著沖刷的河流動(dòng)力學(xué)背景，為了解非汛期小流量輸沙潛力提供了基礎(chǔ)。

4 結(jié)論

本文在分析了前人泥沙起動(dòng)流速公式基礎(chǔ)上，認(rèn)為李保如泥沙起動(dòng)流速公式的物理圖形既考慮了泥沙顆粒所處邊界的水力學(xué)差異，又能體現(xiàn)近壁層流層對(duì)細(xì)顆粒泥沙的綜合“隱蔽”影響，只是由于當(dāng)時(shí)缺乏黏性細(xì)顆粒泥沙的試驗(yàn)資料，使得公式僅適用于黏結(jié)力不占主導(dǎo)的泥沙顆粒。以李保如泥沙起動(dòng)流速公式研究思路為基礎(chǔ)，將摩擦系數(shù)f的函數(shù)修正為近壁層流層厚度對(duì)細(xì)顆粒泥沙“隱蔽”影響項(xiàng)及重力作用項(xiàng)兩項(xiàng)組成，把前者表示為近壁層流層厚度δ 與泥沙粒徑D之比δ/D 的指數(shù)形式，后者為常數(shù)，并利用實(shí)測(cè)泥沙起動(dòng)流速資料確定出待定系數(shù)，即得出新的泥沙起動(dòng)流速公式，克服了原公式分4個(gè)區(qū)間給出泥沙起動(dòng)流速表達(dá)形式的缺點(diǎn)。分析該式結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)，泥沙粒徑較大時(shí)，可忽略前者，泥沙粒徑較小時(shí)，可忽略后者。利用大量泥沙起動(dòng)實(shí)測(cè)資料驗(yàn)證表明，盡管不去考慮概念難以判明且難以定量描述的黏結(jié)力及附加下壓力的復(fù)雜影響，且也不引入目前還不成熟的流速沿水深的分布公式，但只要合理考慮近壁層流層厚度對(duì)細(xì)顆粒泥沙起動(dòng)的影響，建立的公式同樣能夠既適用于黏性細(xì)顆粒泥沙又能適用于散粒體泥沙的起動(dòng)流速計(jì)算，同時(shí)可以反映出泥沙起動(dòng)流速隨水深增加而增大的變化規(guī)律。