劉仔
放眼整個學術界,當屬數(shù)學家們最能死磕。
為什么“1+1=2”?為什么正五邊形無法鋪滿平面?
為了這些我們用腳趾都能選對的數(shù)學題,數(shù)學家們打得不可開交,其中爭論時間最長的,當屬“周長相等,圓的面積最大”這一定理了。數(shù)學公主用牛皮圉出個國家
傳說,公元前814年,迦太基發(fā)生戰(zhàn)亂,國家被敵人占領,一下子迦太基變“家太擠”,國王雖下令舉國搬遷,但搬到哪里去,依然是個謎。
國家雖然被玩完了,但瞅瞅人家那小金庫,金銀珠寶不計其數(shù),咱有錢,還怕買不到一塊地嗎?負責購買土地的迦太基公主更是財大氣粗,來到突尼斯,剛一見人家置業(yè)顧問,便掏出一張銀行卡,說:“這是定金,密碼是你生日?!笨善荒崴挂彩莻€不差錢的主兒,無論公主出價多少,硬是連個小村莊也不肯賣。眼看談判就要失敗,公主眼珠一轉,你不仁我不義,看老娘怎么用數(shù)學玩死你。
第二天,公主帶著一張牛皮再次登門“突尼斯地產(chǎn)”,說只購買一張牛皮能圍起來的面積,突尼斯人一聽,一塊牛皮能圍出多大塊地?就賞賜給你了吧。
公主將牛皮剪成小條,沿著海岸線圍成了一個半圓,牛皮剪得越細,周長越長,半圓的面積也就越大,而迦太基的人民就在這里建立起了一個國家。
突尼斯人大吃一驚,連忙問公主這是什么操作,“周長相等,圓的面積最大?!惫髡f,“沒事多刷數(shù)學題,對腦子有好處。”
怎么證明你是對的?
無論是迦太基公主用牛皮圈出一個國家,還是老百姓們在日常生活中的運用,大家似乎對“周長相等,圓的面積最大”這一定理深信不疑。但如何用數(shù)學證明它,誰也想不出方法(估計也沒人成天想著要證明)。
直到一位名叫芝諾多羅斯的古希臘數(shù)學家,率先提出了他的證明方法,在證明這條定理之前,他先證明了另外兩條定理:
1.等周的多邊形中,正多邊形面積最大。最直觀的例子便是長方形與正方形的對比。
2.同樣等周的正多邊形中,邊數(shù)越多面積越大??纯匆韵聢D形你就知道了!
在前面兩條定理都成立的情況下,“周長相等,圓的面積最大”自然也能成立,這看上去似乎無懈可擊,因此在接下來一千多年的時間里,都沒人對這種證明方法產(chǎn)生質疑。
時間一晃到了1839年,一位名叫雅可布·施泰納的德國數(shù)學家對證明“圓的面積最大”產(chǎn)生了興趣。大家都知道,德國人是出了名的嚴謹,這位數(shù)學家也不例外。當他看完芝諾多羅斯的證明過程后,小腦袋瓜立馬搖成撥浪鼓,兩條定理就想推出正確結論?做夢!再怎么著,也得三條!
面積最大圖形特征一:它一定是外凸的!
舉個例子,我們將心形內凹的部分向上翻折,變成左邊的形狀,在周長不變的情況下,面積卻大了許多。
面積最大圖形特征二:當一條弦平分該圖形的周長,那么它的面積也被平分了。
如果一個圖形不是對稱的,那么它的左右兩邊總是有大有小,將面積大的一邊繞對稱軸旋轉180°,是不是也能讓面積增大呢?
面積最大圖形特征三:兩段在一條直線上的圖形,半圓面積最大
將兩段在一條直線上的圖形劃分成三部分,A、B兩部分和三角形c部分,假設A、B固定,要想使三角形周長不變,面積增加,只能將其轉換為直角三角形,這是由于直角三角形高線最長。
再結合上述兩大特征,我們得出結論“周長相等,圓的面積最大”。
別以為這就結束了,1870年,另一位德國數(shù)學家維爾斯特拉斯用變分法再次證明了這一定理,直到20世紀90年代,還有數(shù)學家提出自己的證明。
整整兩千多年,不同國家不同流派的數(shù)學家們?yōu)榱诉@條眾所皆知的結論,不斷提出自己的觀點、發(fā)表自己的推論。也許在你的認知里,這是一個不用怎么動腦就能說出答案的問題,但在數(shù)學家們的世界里,但凡有一絲不合理,都值得用一生去死磕。