黃 琳

（湖北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 十堰 442012）

關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)模型；排隊(duì)論；通信網(wǎng)應(yīng)用

0 引 言

排隊(duì)是一種生活中常見的現(xiàn)象，如早晚高峰排隊(duì)乘車、排隊(duì)購(gòu)票等。通信網(wǎng)的運(yùn)行過程中，由于服務(wù)器資源有限，如果出現(xiàn)通信高峰，也會(huì)產(chǎn)生排隊(duì)現(xiàn)象。此時(shí)要充分考慮用戶的耐心，盡可能地減少用戶的排隊(duì)等待時(shí)間，避免用戶放棄使用服務(wù)。數(shù)學(xué)排隊(duì)論模型為通信網(wǎng)信息交換機(jī)制的優(yōu)化提供了新的方法。

1 數(shù)學(xué)排隊(duì)論模型的構(gòu)建

早在1909年，丹麥數(shù)學(xué)家A.K.埃爾朗就提出了排隊(duì)論模型的概念，當(dāng)時(shí)被稱為話務(wù)理論。A.K.埃爾朗通過對(duì)市內(nèi)電話占線的現(xiàn)象進(jìn)行觀察，在熱力學(xué)的統(tǒng)計(jì)平衡理論啟發(fā)下，嘗試建立話務(wù)統(tǒng)計(jì)平衡模型，得到了一組遞推狀態(tài)方程，這就是著名的電話損失率方程。20世紀(jì)初期，電話損失率方程一直是電話系統(tǒng)設(shè)計(jì)采用的重要模型公式。20世紀(jì)30年代后，前蘇聯(lián)、瑞典、美國(guó)及英國(guó)等國(guó)家的研究者紛紛對(duì)當(dāng)時(shí)的話務(wù)理論進(jìn)行研究，加快了排隊(duì)論的完善。20世紀(jì)70年代后，排隊(duì)論模型通過引入有限后效流、生滅過程、馬爾科夫鏈理論及分類方法等，逐漸得到了完善，能夠解決各種排隊(duì)問題。此時(shí)人們逐漸開始將研究焦點(diǎn)轉(zhuǎn)移到網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)問題方面，促成了現(xiàn)代排隊(duì)論的形成[1]。數(shù)學(xué)排隊(duì)論又稱為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，主要對(duì)系統(tǒng)服務(wù)時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究，確定等待時(shí)間、忙期長(zhǎng)短及排隊(duì)長(zhǎng)度等統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或服務(wù)機(jī)制進(jìn)行改進(jìn)，通過重新組織服務(wù)對(duì)象等方式，提升系統(tǒng)服務(wù)效率[2]。

2 通信網(wǎng)信息交換機(jī)制

通信網(wǎng)是利用交換、傳輸設(shè)備將網(wǎng)絡(luò)中分散的用戶終端連接起來，并實(shí)現(xiàn)信息交換目的的網(wǎng)絡(luò)。最基本的通信網(wǎng)形式就是點(diǎn)對(duì)點(diǎn)通信連接，但現(xiàn)在一般意義上的通信網(wǎng)不包含這種方式，而是指多個(gè)終端設(shè)備在交換系統(tǒng)下按照一定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行連接和通信的網(wǎng)絡(luò)。通信網(wǎng)的三要素就是終端設(shè)備、傳輸通道及交換設(shè)備?，F(xiàn)實(shí)中的通信網(wǎng)是一個(gè)非常龐大的網(wǎng)絡(luò)，需要借助數(shù)學(xué)模型對(duì)網(wǎng)絡(luò)通信機(jī)制進(jìn)行設(shè)計(jì)和優(yōu)化，用數(shù)字和符號(hào)建立各要素之間的組成關(guān)系，并采用預(yù)測(cè)模型、優(yōu)化模型及描述模型等保證通信網(wǎng)的實(shí)際使用性能能符合用戶的需求。

排隊(duì)論模型屬于系統(tǒng)描述模型，針對(duì)擬定的組網(wǎng)方案，分析是否能夠達(dá)到各項(xiàng)預(yù)期指標(biāo)，包括系統(tǒng)吞吐量、時(shí)延、呼損率及可靠性等。由于通信網(wǎng)設(shè)計(jì)是按照幾何拓?fù)鋵W(xué)原理進(jìn)行組網(wǎng)，系統(tǒng)內(nèi)的數(shù)據(jù)流量十分龐大，在采用排隊(duì)論模型分析通信網(wǎng)流量使用情況時(shí)，分析過程并不簡(jiǎn)單。排隊(duì)論模型的主要應(yīng)用優(yōu)勢(shì)是可以準(zhǔn)確地分析各節(jié)點(diǎn)、鏈路中的流量，指導(dǎo)設(shè)計(jì)人員對(duì)通信網(wǎng)信息交換機(jī)制進(jìn)行優(yōu)化。通信網(wǎng)中的排隊(duì)現(xiàn)象與商業(yè)系統(tǒng)中的顧客排隊(duì)現(xiàn)象具有一定相似性，由于服務(wù)臺(tái)數(shù)量有限，當(dāng)顧客源的數(shù)量規(guī)模超過服務(wù)臺(tái)總數(shù)后，就需要排隊(duì)等候服務(wù)，具體模型如圖1所示。如果通信網(wǎng)信息交換機(jī)制不合理，對(duì)系統(tǒng)服務(wù)資源分配及優(yōu)先級(jí)設(shè)定存在問題，則會(huì)導(dǎo)致排隊(duì)等候時(shí)間過長(zhǎng)，超出顧客的等待極限，進(jìn)而出現(xiàn)顧客損失[3]。

3 數(shù)學(xué)排隊(duì)論模型在通信網(wǎng)中的應(yīng)用

3.1 排隊(duì)系統(tǒng)分析

利用數(shù)學(xué)排隊(duì)論模型對(duì)通信網(wǎng)進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化，需要對(duì)通信網(wǎng)排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。通信網(wǎng)排隊(duì)系統(tǒng)即網(wǎng)絡(luò)服務(wù)系統(tǒng)，由服務(wù)器和用戶終端等組成，相當(dāng)于商業(yè)系統(tǒng)中的服務(wù)臺(tái)和顧客。通信網(wǎng)中，用戶終端訪問服務(wù)器的時(shí)間和對(duì)服務(wù)資源占用的時(shí)間都是隨機(jī)的，分析過程中，可將排隊(duì)系統(tǒng)分解成輸入過程、到達(dá)規(guī)則、排隊(duì)規(guī)則、服務(wù)器結(jié)構(gòu)、服務(wù)時(shí)間及服務(wù)規(guī)則等部分。需要協(xié)調(diào)用戶需求與通信網(wǎng)系統(tǒng)建設(shè)需求，對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。其中，輸入過程主要考察用戶達(dá)到服務(wù)器的規(guī)律，主要采用相繼兩名用戶的到達(dá)間隔時(shí)間進(jìn)行描述，服從隨機(jī)分布。排隊(duì)論模型采用負(fù)指數(shù)分布方程對(duì)其進(jìn)行描述，即P(T≤t)=1-e-λt。其中，λ為用戶期望平均達(dá)到率，其倒數(shù)即為平均到達(dá)間隔時(shí)間。一個(gè)大型通信網(wǎng)中通常包含多個(gè)服務(wù)器，可采取串聯(lián)排列方式，也可采取平行排列方式。由于用戶服務(wù)器占用時(shí)間也是隨機(jī)的，同樣采用負(fù)指數(shù)分布進(jìn)行描述，即P(v≤t)=1-e-μt(t≥0)。其中，μ為平均服務(wù)率，其倒數(shù)為平均服務(wù)時(shí)間。

圖1 商業(yè)系統(tǒng)中的排隊(duì)模型

3.2 排隊(duì)系統(tǒng)分類

通信網(wǎng)的排隊(duì)規(guī)則可分為三種類型。第一，等待制。用戶訪問服務(wù)器時(shí)，如果所有服務(wù)器均被占用，則用戶要進(jìn)行排隊(duì)等候，可采取先到先服務(wù)、隨機(jī)服務(wù)及優(yōu)先權(quán)服務(wù)等機(jī)制。第二，損失制。系統(tǒng)為用戶提供的排隊(duì)等待空間有限，超出容納人數(shù)后，用戶必須離開系統(tǒng)。第三，混合制。等待制與損失制的結(jié)合，設(shè)定等待空間上限，并采取等待制中的規(guī)則，為排隊(duì)用戶分配服務(wù)資源。對(duì)系統(tǒng)排隊(duì)機(jī)制進(jìn)行研究時(shí)，如果充分考慮系統(tǒng)的三大組成要素，即用戶終端、傳輸通道及交換設(shè)備，那么可能得出無窮多種排隊(duì)系統(tǒng)類型。因此，實(shí)際分類分析過程中，只考慮系統(tǒng)的主要特征。目前，常用的方法是由英國(guó)數(shù)學(xué)家肯德爾提出的一種分類方法，具體表示為x/y/z。其中，x為用戶相繼訪問服務(wù)器的間隔時(shí)間，y為服務(wù)時(shí)間分布，z為并列服務(wù)器數(shù)量。分析過程中，需要使用的分布符號(hào)主要包括負(fù)指數(shù)分布（M）、k階埃爾朗分布（Ek）及一般隨機(jī)分布（G）等。其他分類特征，可在該模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行描述，如描述用戶源是有限源或無限源等。采用這種分類分析方法，可使通信網(wǎng)的排隊(duì)求解問題得到簡(jiǎn)化，同時(shí)能夠最大化地反映出系統(tǒng)主要特征，保證分析結(jié)果的合理性。

3.3 排隊(duì)問題求解

利用數(shù)學(xué)排隊(duì)論模型對(duì)通信網(wǎng)中的排隊(duì)問題進(jìn)行求解，主要是為了研究系統(tǒng)運(yùn)行效率和服務(wù)質(zhì)量，從而找到有效的系統(tǒng)優(yōu)化措施，在盡可能滿足用戶需求、優(yōu)化用戶體驗(yàn)的前提下，減少服務(wù)器資源的投入，從而節(jié)省通信網(wǎng)的建設(shè)成本。問題求解過程中，可采用6個(gè)數(shù)量指標(biāo)對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行衡量和評(píng)價(jià)。其中，系統(tǒng)負(fù)荷水平（p）反映的是服務(wù)器在滿足用戶實(shí)際使用需求方面的衡量指標(biāo)，系統(tǒng)空閑率（p0）反映的是系統(tǒng)處于無訪問狀態(tài)的概率。等待隊(duì)長(zhǎng)（Ls）用于描述正在服務(wù)與等待服務(wù)的用戶總數(shù)，隊(duì)列長(zhǎng)（Lg）用于描述等待服務(wù)的用戶數(shù)量。逗留時(shí)間（Ws）是用戶在系統(tǒng)中的平均停留時(shí)間，等于平均服務(wù)時(shí)間與平均等待時(shí)間之和，等待時(shí)間（Wg）則是用戶的平均排隊(duì)時(shí)間。在一個(gè)最簡(jiǎn)單的排隊(duì)系統(tǒng)中，可采用表1的公式計(jì)算上述指標(biāo)。系統(tǒng)越復(fù)雜，計(jì)算公式也就越復(fù)雜，可采用計(jì)算機(jī)仿真方法，對(duì)通信網(wǎng)系統(tǒng)排隊(duì)問題進(jìn)行求解。

3.4 通信網(wǎng)設(shè)計(jì)優(yōu)化

通過采用排隊(duì)論模型，可以準(zhǔn)確地根據(jù)通信網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)計(jì)算出排隊(duì)系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)，從而反映出系統(tǒng)性能。對(duì)通信網(wǎng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，終端設(shè)備數(shù)量已經(jīng)給定，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化主要是指對(duì)傳輸通道和交換設(shè)備的優(yōu)化配置。需要充分考慮業(yè)務(wù)量分布狀態(tài)、系統(tǒng)穩(wěn)定標(biāo)準(zhǔn)及系統(tǒng)費(fèi)用比等因素，合理選擇網(wǎng)絡(luò)機(jī)構(gòu)形式。重點(diǎn)根據(jù)排隊(duì)論模型的分析計(jì)算結(jié)果，對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)和服務(wù)機(jī)制進(jìn)行優(yōu)化，合理選擇服務(wù)器的連接方式，并通過選擇合適的服務(wù)機(jī)制，包括設(shè)定優(yōu)先級(jí)等，讓用戶的平均等待時(shí)間盡可能小，從而減少用戶損失，提升用戶滿意度。

表1 簡(jiǎn)單排隊(duì)系統(tǒng)的指標(biāo)計(jì)算公式

4 結(jié) 論

數(shù)學(xué)排隊(duì)論模型在通信網(wǎng)中的應(yīng)用可以為通信網(wǎng)的設(shè)計(jì)優(yōu)化提供依據(jù)。利用排隊(duì)論模型的計(jì)算公式及方法，可以確定排隊(duì)系統(tǒng)的關(guān)鍵指標(biāo)，以評(píng)價(jià)系統(tǒng)。綜合考慮用戶等待時(shí)間、用戶體驗(yàn)以及系統(tǒng)建設(shè)成本，確定最佳的組網(wǎng)方案及通信服務(wù)機(jī)制，以有效提升通信網(wǎng)建設(shè)的綜合效益。