王康　李欣業(yè)　張利娟　張華彪

摘要：為了揭示雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為及現(xiàn)象，針對(duì)彈性支撐下具有雙穩(wěn)態(tài)的壓電懸臂梁能量俘獲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究。首先基于能引發(fā)雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的磁力模型，利用牛頓第二定律以及基爾霍夫第一定律建立了基礎(chǔ)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。其次根據(jù)無(wú)量綱化后的控制方程，利用羅斯-霍爾維茨判據(jù)分析了平衡點(diǎn)的靜態(tài)分岔。最后，利用Matlab數(shù)值仿真得出壓電懸臂梁位移以及輸出電壓隨系統(tǒng)參數(shù)和激勵(lì)參數(shù)的變化規(guī)律和分岔圖。結(jié)果表明，系統(tǒng)的幅頻特性呈現(xiàn)為硬特性，但壓電懸臂梁的振幅隨質(zhì)量比及剛度比的變化卻呈軟特性，即在某些參數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧周期響應(yīng)發(fā)生分岔并導(dǎo)致混沌運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)既可以發(fā)生在零平衡點(diǎn)附近，也可以發(fā)生在非零平衡點(diǎn)附近，甚至是在不同的平衡點(diǎn)之間作大幅躍遷。因此，相同參數(shù)下，系統(tǒng)具有雙穩(wěn)態(tài)時(shí)比單穩(wěn)態(tài)時(shí)具有更豐富的運(yùn)動(dòng)形式，可明顯提高系統(tǒng)的電壓輸出和響應(yīng)頻帶。研究結(jié)果可為工程實(shí)際中如何優(yōu)化振動(dòng)能量采集器提供理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：非線性動(dòng)力學(xué);雙穩(wěn)態(tài)壓電能量俘獲系統(tǒng);彈性支撐;分岔分析;數(shù)值仿真

中圖分類號(hào)：O322;TH123+.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

WANG Kang，LI Xinye，ZHANG Lijuan，et al.Dynamical simulations of a bi-stable piezoelectric energy harvesting system with elastic support[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2019，40（3）：242-251.Dynamical simulations of a bi-stable piezoelectric energy

harvesting system with elastic support

WANG Kang1， LI Xinye1， ZHANG Lijuan1， ZHANG Huabiao2

（1.School of Mechanical Engineering， Hebei University of Technology， Tianjin 300130， China; 2. Institute of Mechanical Engineering， Tianjin University of Commerce， Tianjin 300134， China）

Abstract：The dynamic behavior of a piezoelectric cantilever energy harvesting system with bi-stable state under elastic support is studied to reveal its complex phenomena. Based on the magnetic force model which can induce bi-stable phenomena， the mathematical model of the system with two degree of freedom under harmonic base motion is firstly established by using Newton's second law and Kirchhoff′s law. By the Routh-Hurwitz criterion， the static bifurcation of equilibrium points， is secondly analyzed for the dimensionless governing equations. At last， the amplitude variations of the displacement of piezoelectric cantilever beam and the variations of the output voltage with the system parameters and excitation parameters and their bifurcation diagrams are obtained by Matlab numerical simulations. The results show that the amplitude-frequency curves of the system are in hard characteristic， while the amplitude variations of the displacement of piezoelectric cantilever beam with mass ratio and stiffness ratio are in soft characteristic. That is， within some parameters intervals， the harmonic response of the system has bifurcation and leads to chaotic motion. The motion of the system can take place near the zero or non-zero equilibrium point， even jump with large amplitude between the two non-zero equilibrium points. For the same parameters， bi-stable systems have richer forms of motion compared to mono-stable ones， and significantly increase voltage output and response frequency band of the system. The research result may provide theoretical reference for how to optimize vibration energy collector in practice.

Keywords：nonlinear mechanics; piezoelectric energy harvesting systems with bi-stable state; elastic support; bifurcation analysis; numerical simulation

無(wú)線傳感器、移動(dòng)電子設(shè)備等的發(fā)展對(duì)能源的供應(yīng)方式提出了更高的要求[1]，因?yàn)閭鹘y(tǒng)的電池供電方式存在諸多不足：一是電池的容量有限，必須進(jìn)行定期更換，而且污染環(huán)境;二是在高溫、強(qiáng)腐蝕等惡劣環(huán)境下電池難以長(zhǎng)期使用;三是電池體積較大，嚴(yán)重限制了無(wú)線傳感器節(jié)點(diǎn)的微型化和集成化。為了解決這些低功耗電子設(shè)備的持久可靠供電問(wèn)題，能量俘獲正成為學(xué)術(shù)界和工業(yè)界共同關(guān)注的一個(gè)前沿技術(shù)領(lǐng)域[2]。

振動(dòng)能在自然界中是普遍存在的，且不像太陽(yáng)能、電磁能那樣受到使用時(shí)間、服役環(huán)境等因素的限制，因此針對(duì)振動(dòng)能量俘獲的研究目前最為廣泛。為了提高振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)換效率，研究者們提出了一系列方法：在線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)上通過(guò)增加非線性來(lái)提高能量俘獲效率[3-5];通過(guò)引入非線性磁力模型使系統(tǒng)具有雙穩(wěn)態(tài)來(lái)提高能量俘獲系統(tǒng)的響應(yīng)頻帶[6-11];在雙穩(wěn)態(tài)的基礎(chǔ)上通過(guò)增加磁鐵塊的方法使系統(tǒng)具有三穩(wěn)態(tài)，使得系統(tǒng)在低激勵(lì)頻率和低激勵(lì)幅值下均能發(fā)生大幅運(yùn)動(dòng)[12-15];改變能量俘獲系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，比如將剛性支撐改為彈性支撐、采用具有高柔性的壓電材料等來(lái)提高壓電懸臂梁的變形程度，進(jìn)而提高能量俘獲效率[16-17];把單自由度系統(tǒng)擴(kuò)展到多自由度系統(tǒng)，通過(guò)不同模態(tài)之間的相互作用來(lái)提高系統(tǒng)的響應(yīng)特性[18-21];或通過(guò)改善能量俘獲系統(tǒng)的外接電路來(lái)提高能量的收集效率[22]。

河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)2019年第3期王康，等：一種彈性支撐雙穩(wěn)態(tài)壓電能量俘獲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)仿真分析本文基于能引發(fā)雙穩(wěn)態(tài)的磁力模型，針對(duì)一種具有彈性支撐的壓電懸臂梁能量俘獲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為展開(kāi)研究，第1部分利用牛頓第二定律以及基爾霍夫第一定律建立了能量俘獲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，第2部分對(duì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)做了靜態(tài)分岔分析，得出了平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)及其穩(wěn)定性的變化，第3部分采用數(shù)值求解的方法研究了壓電懸臂梁的輸出電壓隨系統(tǒng)參數(shù)和激勵(lì)參數(shù)的變化規(guī)律，最后是本文的主要結(jié)論。

1數(shù)學(xué)模型

本文分析的雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其等效集總參數(shù)模型如圖1所示， 其是由壓電懸臂梁、永磁鐵及彈性支撐組成，其中壓電懸臂梁AB是由金屬板和壓電陶瓷片（PZT）組成的。當(dāng)基礎(chǔ)振動(dòng)時(shí)，壓電懸臂梁AB會(huì)隨之產(chǎn)生振動(dòng)，進(jìn)而使得PZT產(chǎn)生變形，根據(jù)壓電效應(yīng)就可以實(shí)現(xiàn)振動(dòng)能到電能的轉(zhuǎn)化。若將壓電懸臂梁AB和彈性支撐等效為彈簧阻尼系統(tǒng)，則可以得到如圖1 b）所示的等效集總參數(shù)模型。其中，Keq，Meq和Ceq分別表示壓電懸臂梁的等效剛度、末端等效質(zhì)量和等效阻尼;Kb，Mb和Cb分別表示彈性支撐的等效剛度、等效質(zhì)量和等效阻尼;Cp和α表示壓電陶瓷的夾持電容和機(jī)電轉(zhuǎn)換系數(shù)，V為能量俘獲系統(tǒng)的輸出電壓，x為壓電懸臂梁的振動(dòng)位移，y為彈性支撐的振動(dòng)位移，z=A sin（ωt）=A sin（2πft）為基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)，其中f為外激勵(lì)頻率。

根據(jù)牛頓第二定律可以得到該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程Meq+Ceq（-）+Keq（x-y）+αV-Fv=0，Mb+Cb（-）+Kb（y-z）+Ceq（-）+Keq（y-x）+Fv=0，（1）其中Fv為磁鐵間的磁力沿著豎直方向的分力，將其表達(dá)式Fv=Fxx2+d2在x=0處進(jìn)行泰勒展開(kāi)并保留前兩項(xiàng)可得Fv=Fdx-F2d3x3，（2）其中，F(xiàn)為兩磁鐵間的磁力，d為兩磁鐵間的間距。將式（2）代入式（1）可得Meq+Ceq（-）+Keq（x-y）+αV-Fdx+F2d3x3=0，Mb+Cb（-）+Kb（y-z）+Ceq（-）+Keq（y-x）+Fdx-F2d3x3=0。（3）根據(jù)基爾霍夫第一定律可以得到系統(tǒng)的電路方程α（-）=Cp+VR。（4）式（3）與式（4）即為系統(tǒng)的控制方程，引入無(wú)量綱變換=x/l，=y/l，=t/T，ν=V/e，其中l(wèi)為壓電懸臂梁的長(zhǎng)度，T=Meq/Keq，e=Meqg/α。為方便，變換后的，仍記為x，y，則無(wú)量綱化后控制方程的形式為

+2ξ+βx+γx3-2ξ-y+ψν=0，+2ξc+1a+b+1ay-2ξa-βax-γax3=h sin（Ωt+φ），+μν+θ-θ=0。（5）

其中a=MbMeq，b=KbKeq，c=CbCeq，ξ=Ceq2Meq，β=1-FdKeq，γ=Fl22Keqd3，ψ=MeqgKeql，

μ=1RCp，θ=αlCpe，Ω=ω，h1=bAαl，h2=cAΩCeqaKeql，h=h21+h22，tan φ=h2h1。

2平衡點(diǎn)靜態(tài)分岔分析

通過(guò)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)基礎(chǔ)不受外激勵(lì)作用時(shí)，通過(guò)受力分析可知，由于引入了磁力模型，系統(tǒng)除了懸臂梁處于水平位置時(shí)受力平衡外，在上、下也各有一個(gè)受力平衡位置。下面通過(guò)分析方程（5）對(duì)應(yīng)的自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，來(lái)說(shuō)明此系統(tǒng)的靜態(tài)分岔特性。令x1=x，x2=，x3=y，x4=，x5=ν，則方程（5）對(duì)應(yīng)的自治系統(tǒng)可以寫(xiě)成=f（x）這種矩陣形式。

令f（x）=0，通過(guò)分析可知，當(dāng)β≥0時(shí)，系統(tǒng)只有1個(gè)平衡點(diǎn)（0，0，0，0，0）;當(dāng)β<0時(shí)，系統(tǒng)有3個(gè)平衡點(diǎn)，分別為（0，0，0，0，0），（±-β/γ，0，0，0，0）。下面將分別討論它們的穩(wěn)定性。

當(dāng)β≥0時(shí)，對(duì)應(yīng)唯一平衡點(diǎn)（0，0，0，0，0），其雅克比矩陣對(duì)應(yīng)的特征方程為λ5+[2ξa（1+a+c）+μ]λ4+[2ξa（μ+aμ+cμ+2cξ）+b+1a+θψ+β]λ3+

[2ξa（b+cβ+cθψ+2cξμ）+b+1aμ+βμ]λ2+[2ξa（bμ+cβμ）+b+1aθψ+βa（b-θψ）]λ+bβμa=0。（6）當(dāng)β>0時(shí)，由于a，b，c，ξ，ψ，μ，θ為正，根據(jù)羅斯-霍爾維茨判據(jù)可知，平衡點(diǎn)（0，0，0，0，0）是漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)β=0時(shí)，特征方程變?yōu)棣?+[2ξa（1+a+c）+μ]λ4+[2ξa（μ+aμ+cμ+2cξ）+b+1a+θψ]λ3+

[2ξa（b+cαψ+2cξμ）+b+1aμ]λ2+[2ξbμa+b+1aθψ]λ=0。（7）此時(shí)該特征方程具有零根，對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)（0，0，0，0，0）為分岔點(diǎn)。

當(dāng)β<0時(shí)，對(duì)于平衡點(diǎn)（0，0，0，0，0），根據(jù)羅斯-霍爾維茨判據(jù)，由式（6）可知，其特征多項(xiàng)式必有正實(shí)部根，故平衡點(diǎn)（0，0，0，0，0）是不穩(wěn)定的。對(duì)于平衡點(diǎn)（±-β/γ，0，0，0，0），其雅克比矩陣對(duì)應(yīng)的特征方程為λ5+[2ξa（1+a+c）+μ]λ4+[2ξa（μ+aμ+cμ+2cξ）+b+1a+θψ-2β]λ3+[2ξa（b-2cβ+cθψ+

2cξμ）+b+1aμ+2βμ]λ2+[2ξa（bμ-2cβμ）+b+1aθψ-2βa（b-θψ）]λ-2bβμa=0。（8）根據(jù)羅斯-霍爾維茨判據(jù)可得，平衡點(diǎn)（±-β/γ，0，0，0，0）是漸近穩(wěn)定的。

通過(guò)上述分析可知，當(dāng)β>0時(shí)系統(tǒng)有一個(gè)穩(wěn)定的零平衡點(diǎn)，當(dāng)β<0時(shí)系統(tǒng)有2個(gè)穩(wěn)定的非零平衡點(diǎn)和一個(gè)不穩(wěn)定的零平衡點(diǎn)，故β=0時(shí)為叉形分岔點(diǎn)。

3數(shù)值仿真

本部分利用龍格-庫(kù)塔方法對(duì)無(wú)量綱化后的控制方程（5）進(jìn)行數(shù)值求解時(shí)分別考慮了系統(tǒng)具有單穩(wěn)態(tài)（β=0.976 2）和雙穩(wěn)態(tài)（β=-1.381 0）兩種情況，分別分析系統(tǒng)參數(shù)和外激勵(lì)參數(shù)等對(duì)系統(tǒng)懸臂梁位移以及電壓響應(yīng)特性的影響，結(jié)果如圖2—圖7所示，求解中涉及到系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。其中，圖2—圖5為系統(tǒng)的質(zhì)量比和剛度比對(duì)系統(tǒng)懸臂梁位移以及電壓響應(yīng)特性的影響，圖6和圖7為外激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)懸臂梁位移以及電壓響應(yīng)特性的影響。對(duì)比圖2、圖4以及圖6 a）和圖6 b）可以發(fā)現(xiàn)，相同參數(shù)下，當(dāng)系統(tǒng)具有雙穩(wěn)態(tài)時(shí)，雖然壓電懸臂梁位移的最大值沒(méi)有單穩(wěn)態(tài)時(shí)大，但是在更大的參數(shù)范圍內(nèi)，具有雙穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)壓電懸臂梁的位移比具有單穩(wěn)態(tài)時(shí)要大;對(duì)比圖3、圖5以及圖7 a）和圖7 b）可以發(fā)現(xiàn)，相同參數(shù)下，當(dāng)系統(tǒng)具有雙穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)輸出電壓值比單穩(wěn)態(tài)時(shí)高;圖6和圖7分別表示外激勵(lì)頻率對(duì)壓電懸臂梁位移以及輸出電壓的影響，從圖中可以看出，當(dāng)系統(tǒng)具有單穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)只在2個(gè)共振頻率附近才有較高的位移響應(yīng)和電壓輸出，但是當(dāng)系統(tǒng)具有雙穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)除了在2個(gè)共振頻率附近有較高的位移響應(yīng)和電壓輸出外，在較大的頻帶范圍內(nèi)系統(tǒng)仍具有比較大的位移響應(yīng)和電壓輸出，特別是系統(tǒng)受到頻率較低的外激勵(lì)時(shí)，仍然可以有效地采集能量，即雙穩(wěn)態(tài)的引入可以有效拓寬系統(tǒng)的響應(yīng)頻帶。通過(guò)分析質(zhì)量比、剛度比以及外激勵(lì)頻率對(duì)壓電懸臂梁位移和輸出電壓的影響曲線發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)具有雙穩(wěn)態(tài)時(shí)曲線的形狀要比單穩(wěn)態(tài)時(shí)復(fù)雜得多，因而會(huì)表現(xiàn)出更豐富的運(yùn)動(dòng)形式。

選擇系統(tǒng)參數(shù)中的質(zhì)量比、剛度比以及外激勵(lì)參數(shù)的頻率為分岔參數(shù)，利用龐加萊映射分別得到壓電懸臂梁的位移和輸出電壓關(guān)于上述參數(shù)的分岔圖，結(jié)果如圖8—圖13所示，其與圖2—圖7吻合較好。當(dāng)分岔參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)處在單穩(wěn)態(tài)時(shí)會(huì)從簡(jiǎn)單周期到混沌再到簡(jiǎn)單周期的變化，但是當(dāng)系統(tǒng)處在雙穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)除了有單穩(wěn)態(tài)的分岔過(guò)程之外，其中還會(huì)發(fā)生倍周期分岔以及概周期分岔，并且混沌窗口會(huì)隨著分岔參數(shù)的增大交替出現(xiàn)。即當(dāng)系統(tǒng)具有雙穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生分岔產(chǎn)生混沌的可能性更大。

以上分岔現(xiàn)象解釋了系統(tǒng)具有雙穩(wěn)態(tài)時(shí)響應(yīng)特性更好的原因，同時(shí)也得出了系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)參數(shù)和激勵(lì)參數(shù)區(qū)域，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中參數(shù)值的選擇提供了一定理論指導(dǎo)，即盡可能選擇分岔點(diǎn)處的值作為系統(tǒng)的參數(shù)值。

基于以上關(guān)于系統(tǒng)參數(shù)和激勵(lì)參數(shù)的分岔分析，選擇不同的參數(shù)組合，通過(guò)Matlab中的ode45求解器，得到的壓電懸臂梁的位移時(shí)間歷程，如圖14—圖16所示。從圖中可以看出，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)既可以發(fā)生在零平衡點(diǎn)附近，也可以發(fā)生在非零平衡點(diǎn)附近，甚至是在不同的平衡點(diǎn)之間作大幅躍遷，當(dāng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)在不同的平衡點(diǎn)之間作大幅躍遷時(shí)，其形式不再是簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)，而是混沌運(yùn)動(dòng)。

4結(jié)語(yǔ)

本文引入了能引發(fā)雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的磁力模型，首先根據(jù)牛頓第二定律以及基爾霍夫第一定律建立了彈性支撐下的壓電懸臂梁式振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。在借助于羅斯-霍爾維茨判據(jù)進(jìn)行了平衡點(diǎn)的靜態(tài)分岔分析的基礎(chǔ)上，利用數(shù)值方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真分析。直接對(duì)無(wú)量綱控制微分方程進(jìn)行數(shù)值求解的幅頻特性曲線表明系統(tǒng)呈現(xiàn)明顯的硬特性，但壓電懸臂梁的振幅隨質(zhì)量比和剛度比的變化卻呈軟特性。根據(jù)數(shù)值計(jì)算結(jié)果基于龐加萊映射給出的分岔圖和相軌跡表明在某些參數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧周期響應(yīng)會(huì)由于失穩(wěn)而導(dǎo)致混沌運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)既可以發(fā)生在零平衡點(diǎn)附近，也可以發(fā)生在非零平衡點(diǎn)附近，甚至是在2個(gè)不同的非零平衡點(diǎn)之間作大幅躍遷。對(duì)比相同參數(shù)下系統(tǒng)具有雙穩(wěn)態(tài)和單穩(wěn)態(tài)時(shí)的電壓輸出，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)具有雙穩(wěn)態(tài)時(shí)電壓輸出較高，響應(yīng)頻帶相對(duì)較寬。雖然上述研究結(jié)果可為工程實(shí)際中如何優(yōu)化振動(dòng)能量采集器提供一定的理論指導(dǎo)，但是取得的成果還停留在數(shù)值仿真上面，還需要進(jìn)一步通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

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2019年6月Journal of Hebei University of Science and TechnologyJune 2019