趙方偉

(中國鐵道科學研究院 金屬及化學研究所，北京 100081)

隨著我國鐵路客運列車的高速化發(fā)展，車輛的安全性、可靠性問題日益突出。軸承作為高速列車的關鍵零部件，其性能及可靠性對列車運行的安全性起著至關重要的作用[1-2]。高速客車用軸箱軸承以圓錐滾子軸承居多，其不僅能承受較大的徑向載荷，還能承受一定的軸向載荷，是決定整個系統(tǒng)性能的關鍵零部件之一，也是比較容易損壞的部件[3]。

通過建立軸承接觸模型來分析軸承內(nèi)部載荷和接觸應力分布是解決軸承運用安全問題的重要手段之一。國內(nèi)外學者做了大量研究，文獻[3]建立了高速鐵路軸箱用雙列圓錐滾子軸承的擬動力學分析模型，采用數(shù)值模擬的方法計算分析了軸承的載荷分布。文獻[4]以Hertz接觸理論為基礎，建立了軸承靜力學模型，給出了承受單一徑向載荷且游隙為零的球軸承以及向心滾子軸承的最大滾子載荷和徑向外載荷之間的關系。文獻[5]在滾動軸承靜力學模型研究的基礎上，提出了滾動軸承的擬動力學模型，將滾動體的離心力和陀螺力矩加入到外載荷條件中，一起列入軸承部件的力與力矩平衡方程，通過Newton-Raphson迭代法進行求解，可以獲得較為可靠的軸承內(nèi)部載荷分布。文獻[6]首先建立了滾動軸承的動力學模型，設定滾動體4個自由度及保持架6個自由度的運動方程，采用4階Runge-Kutta法進行積分，計算軸承任意時刻滾動體和保持架的位移速度及內(nèi)部的滑動情況等。文獻[7]發(fā)展了這種算法，考慮了慣性力和慣性力矩的作用。滾動軸承運動狀態(tài)復雜，很難找到一個精確的模型來完全準確表達和預測軸承的運動。針對高速動車組軸箱圓錐滾子軸承受力情況，采用理論分析方法和有限元方法，建立動車組軸箱軸承接觸模型，計算軸承內(nèi)部載荷分布和接觸應力分布，將結果進行對比，以期得到準確可靠的接觸模型。

1 理論力學分析

1.1 軸承內(nèi)部載荷分布

圓錐滾子軸承內(nèi)部載荷分布及單個滾子受力如圖1所示。

圖1 圓錐滾子軸承內(nèi)部載荷分布及滾子受力分析圖

根據(jù)圖1(Fr為徑向載荷；ψ為方位角，定義豎直中心線正下方的滾子方位角為0°，對應編號為1#)得到滾子軸、徑向的平衡方程[8]分別為

Qesinαe-Qisinαi-Qfsinαf=0,

(1)

Qecosαe-Qicosαi-Fc+Qfcosαf=0,

(2)

式中：Qe為外圈滾道徑向載荷；Qi為內(nèi)圈滾道徑向載荷；Qf為內(nèi)圈滾道擋邊載荷；αe為外圈滾道徑向載荷與豎直中心線的夾角；αi為內(nèi)圈滾道徑向載荷與豎直中心線的夾角；αf為內(nèi)圈滾道擋邊載荷與豎直中心線的夾角；Fc為滾子離心力。

由接觸對的載荷位移關系[9]得到變形公式為

(3)

(4)

式中：δe為外圈滾道徑向位移；δi為內(nèi)圈滾道徑向位移；k為接觸對的載荷位移系數(shù)。

滾子徑向變形滿足

δr=δecosαe+δicosαi,

(5)

δr=δrcosψ-0.5Gr,

(6)

式中:δr為滾子徑向變形；Gr為徑向游隙。

將(5)，(6)式代入(3)，(4) 式，得到

[(δrcosψ-Gr/2-δicosαi)/cosαe]10/9·

(7)

[(δrcosψ-Gr/2-δicosαi)/cosαe]10/9·

(8)

對于軸承整體，在徑向載荷作用下其內(nèi)部載荷分布滿足

(9)

式中：j為滾子編號；Qij為第j個滾子的內(nèi)圈滾道徑向載荷；Z為滾子數(shù)。

同樣根據(jù)載荷位移關系，得到

(10)

式中：δij為第j個滾子的內(nèi)圈滾道徑向位移。

以動車組軸箱軸承為研究對象，列車穩(wěn)定運行時一套軸箱軸承的等效徑向載荷為28 kN，代入軸箱軸承的技術參數(shù)(表1)，聯(lián)立(7)，(8)，(10)式可得到43個非線性方程組，利用Newton-Raphson法進行迭代求解，獲得圓錐滾子軸承在承受徑向載荷時的內(nèi)部載荷分布如圖2所示。

表1 圓錐滾子軸承主要技術參數(shù)

內(nèi)圈與滾子法向接觸載荷分布如圖2所示。由圖可知，只有部分滾子承受載荷，受載滾子覆蓋范圍為170°，且方位角為0°時載荷最大，最大接觸載荷為5.5 kN；接觸載荷值從中部向兩側(cè)逐漸遞減，直至不承受載荷作用。

圖2 內(nèi)圈與滾子法向接觸載荷分布

1.2 最大承載滾子的接觸應力分布

由圓錐滾子軸承的幾何特性可知，其曲率半徑沿滾子素線不是常數(shù)，而是與滾子包絡圓錐面素線的傾角有關[10]。當滾子帶有凸度時，接觸應力沿滾子素線的分布也會受到凸度的影響。通過切片法求解圓錐滾子軸承的接觸應力分布，即將滾子接觸區(qū)域分成若干微小的矩形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)部考慮滾子法向載荷引起的變形位移和凸度在切片上產(chǎn)生的變形位移，求解得到接觸應力分布。

以滾子與內(nèi)滾道為例，將滾子與內(nèi)滾道接觸區(qū)域沿滾子素線方向(y軸)劃分為m個長度為a，寬度為2b的條形單元，接觸應力在區(qū)域內(nèi)部沿滾子素線方向均勻分布，垂直于滾子素線方向符合Hertz接觸應力分布，忽略切片之間的切應力，如圖3所示。

圖3 切片法示意圖

由Hertz接觸理論可知，線接觸區(qū)域半寬與構成接觸對的彈性體在接觸區(qū)域的直徑以及彈性趨近量有關，如下

δm=b2(dwm+dim)/(dwmdim),

(11)

式中：δm為第m個切片的彈性趨近量;b為線接觸區(qū)域半寬；dwm為滾子第m個切片的等效直徑；dim為內(nèi)滾道第m個切片的等效直徑。

忽略滾子歪斜產(chǎn)生的影響，彈性趨近量為

δm=δij-cm,

(12)

式中：cm為滾子凸度在第m個矩形區(qū)域產(chǎn)生的變形量。

結合(12)式，改寫(11)式，得第m個區(qū)域接觸半寬的計算式為

bm=[(δij-cm)(dwmdim)/(dwm+dim)]1/2。

(13)

其中，滾子在第m個區(qū)域的等效曲率半徑幾何關系如圖4所示。

根據(jù)圖4幾何關系得到

(14)

4sin4(αw/2)/cosαw]1/2,

(15)

式中：Dm為第m個切片處滾子橫截面的直徑；Da為垂直于滾子素線的橢圓截面的短半軸；Db為垂直于滾子素線的橢圓截面的長半軸；αw為滾子全錐角。

從而得到滾子第m個切片的等效直徑

(16)

根據(jù)圖4中滾子等效曲率半徑計算幾何關系，結合圓柱滾子軸承的接觸計算方法可知，第m個區(qū)域內(nèi)部接觸應力分布為

σim=(2Qij/πLwb)[1-(y/b)2]1/2。

(17)

將 (13)，(16)式代入(17)式，得到滾子與內(nèi)圈的接觸應力分布。利用相同的方法可以得到滾子與外圈的接觸應力分布。

同樣選取方位角為0°的滾子進行分析，運用MATLAB編制相應的計算程序，可得滾子與內(nèi)圈滾道接觸的應力分布如圖5所示。由圖可知，接觸應力在滾子小端最大，且從滾子小端沿滾子素線逐漸減小，小端與大端接觸應力相差23.81 MPa，相差并不明顯。

圖5 接觸區(qū)域應力分布

事實上，獨立的切片是不可能存在的，尤其在高速動車組軸箱圓錐滾子軸承這種載荷狀況復雜的環(huán)境下。較為精確的切片法需要對滾子的力平衡和力矩平衡建立方程組，并利用Hartnet關于彈性半空間法向作用力對非作用點變形影響的理論進行計算[11]，計算結果如圖6所示。由圖可知，滾子在邊緣處存在應力集中現(xiàn)象，這與軸承實際運用情況較為符合。

圖6 非理想線接觸的接觸應力分布

2 有限元分析

前述小節(jié)中對圓錐滾子軸承內(nèi)部載荷分布與接觸模型的分析計算均是力學解析分析，需要利用程序語言對非線性方程組進行數(shù)值求解，過程相對復雜。有限元方法計算過程簡單，且可以更加直觀的顯示計算結果，故對于載荷環(huán)境復雜的圓錐滾子軸承，利用有限元方法進行軸承接觸模型的求解更加適合。

2.1 有限元模型的建立

建立軸箱雙列圓錐滾子軸承的三維幾何模型，根據(jù)動車組軸箱軸承結構特點簡化模型，選取承載的下半部分軸承。為了在2個獨立的內(nèi)圈上平穩(wěn)加載，建立半軸模型，與內(nèi)圈之間設置tie約束，通過在半軸上施加均布載荷來模擬徑向載荷作用。滾子與內(nèi)外圈滾道定義接觸關系，采用Lagrange法強化約束。圓錐滾子軸承的邊界條件相對復雜，外圈外側(cè)施加全約束；內(nèi)圈軸線中點建立極坐標系，約束所有滾子接觸法向?qū)ΨQ中面沿極坐標系軸承軸線的旋轉(zhuǎn)自由度；滾子端面建立局部坐標系，約束滾子大端端面沿軸線的自由度；對半軸及內(nèi)圈施加相應約束；擋邊設置約束。在接觸部位進行網(wǎng)格細化，按照線接觸網(wǎng)格細化的原則，即接觸區(qū)域網(wǎng)格需小于接觸區(qū)域半寬的一半。半軸承網(wǎng)格劃分模型如圖7所示。

圖7 軸承有限元模型

2.2 計算結果及分析

一套軸承的徑向載荷應為56 kN，計算得到軸承內(nèi)部等效應力如圖8所示。滾子承受載荷的分布趨勢與理論力學分析結果一致，方位角為0°的滾子承受最大載荷，其他滾子受載數(shù)值向兩端依次遞減。滾子兩端存在應力集中現(xiàn)象，且小端接觸應力最大，向大端逐漸減小，符合之前計算分析的趨勢結果(圖9)。

圖8 徑向載荷作用下的應力云圖

圖9 滾子應力云圖

網(wǎng)格尺寸的大小和質(zhì)量直接影響接觸應力分布的求解[12]，但是對于內(nèi)部載荷的分布影響很小。將有限元計算結果與理論分析結果進行對比(圖10)發(fā)現(xiàn)，滾子內(nèi)部載荷分布結果基本一致，但在方位角為69°，86°，274°以及291°時，滾子接觸載荷有限元計算結果為0，這與理論計算結果存在一定差別，主要是由于網(wǎng)格不夠細致導致的，當網(wǎng)格尺寸遠大于接觸半寬時，接觸應力基本為0。該差別的存在導致軸承有限元接觸模型計算不準確，必須進行修正。

圖10 內(nèi)部載荷分布解析法與有限元法結果對比

2.3 有限元接觸模型的修正

為獲得相對準確的滾子與滾道接觸區(qū)域的應力分布情況，按照接觸模型建立要求進行網(wǎng)格劃分的細化，接觸區(qū)域單元尺寸需小于理論計算得到的接觸區(qū)域半寬的一半。在保證計算精度的前提下，為降低計算規(guī)模，僅保留原始模型方位角為0°的一對滾子。

當徑向載荷為28 kN時，采用切片法計算得到內(nèi)圈滾道接觸區(qū)域半寬為0.175 mm，接觸中心應力為1 177.1 MPa；外圈滾道接觸區(qū)域半寬為0.187 mm，接觸中心應力為1 130.0 MPa。因此，接觸區(qū)域網(wǎng)格尺寸需小于0.085 mm。采用線性變換趨近的網(wǎng)格劃分方法，僅將接觸區(qū)域附近的網(wǎng)格細化，最小網(wǎng)格尺寸為0.040 mm，精細網(wǎng)格劃分結果如圖11所示。

圖11 精細有限元網(wǎng)格劃分結果

2.4 結果分析及驗證

在軸承上施加的載荷和邊界條件不變，對其進行計算分析，得出：

1) 滾子與滾道的接觸關系可以穩(wěn)定建立，計算過程沒有出現(xiàn)嚴重的不連續(xù)迭代，驗證了邊界條件的穩(wěn)定性。最大接觸應力出現(xiàn)在次表面，符合接觸理論(圖12)。

圖12 滾子接觸應力云圖

2) 如圖13所示，內(nèi)圈滾道接觸區(qū)域半寬為0.180 mm(理論計算值為0.175 mm)，外圈接觸半寬為0.200 mm(理論計算值0.191 mm)，模擬值與理論計算值相差小于5%，微小的誤差依然是來源于網(wǎng)格的尺寸和質(zhì)量，綜合考慮準確度和計算量，該計算結果滿足要求。

圖13 內(nèi)圈接觸區(qū)域示意圖

3) 取一側(cè)內(nèi)圈滾道，讀取其接觸區(qū)域中心線上節(jié)點從小端至大端的接觸應力值如圖14所示，與非理想線接觸區(qū)域應力分布圖基本一致。滾子兩端邊緣由于應力集中影響，存在接觸應力峰值，滾子小端接觸應力最大，沿滾子素線方向逐漸減小，符合切片法得出的結論。載荷變化時應力分布的趨勢不變;當載荷為28 kN時，內(nèi)圈接觸區(qū)域中心平均接觸應力為1 081 MPa，與等效圓柱法得出的平均接觸應力1 177 MPa基本吻合。說明建立的有限元接觸模型準確可靠。

圖14 接觸區(qū)域節(jié)點接觸應力分布

3 結論

1) 分析了圓錐滾子軸承力學模型，基于此計算了高速動車組軸箱軸承內(nèi)圈與滾子法向接觸的載荷分布，只有部分滾子承受載荷，接觸載荷從中部向兩側(cè)逐漸遞減。

2) 采用切片法建立了軸承接觸模型，分析了滾子與內(nèi)圈滾道的接觸應力分布。接觸應力在滾子小端最大，從小端到大端沿滾子素線方向逐漸減小，但相差不大。對常用的切片法進行改進，提出建立滾子的力平衡和力矩平衡方程組，并利用Hartnet關于彈性半空間法向作用力對非作用點變形的影響進行了理論計算。

3) 建立了高速動車組軸箱軸承有限元接觸模型，對軸承內(nèi)部載荷分布和滾子滾道接觸模型進行了計算和分析，計算結果與理論計算結果存在一定偏差。采用線性變換趨近的網(wǎng)格劃分方法對接觸區(qū)域附近的網(wǎng)格細化，進而對接觸模型進行了修正，并對修正結果進行了驗證，結果表明修正后的有限元接觸模型計算結果準確可靠。