段碧霄，王淑麗，郭祖記

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024)

0 引 言

Kirchhoff型方程在很多數(shù)學(xué)物理現(xiàn)象以及生物系統(tǒng)的研究中都起著重要作用, 如彈力繩的振動(dòng)現(xiàn)象, 種群密度等.國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)Kirchhoff型方程進(jìn)行了研究, 并得到了許多重要結(jié)果[1-6].對(duì)于如下Kirchhoff型方程

式中：λ>0, 文獻(xiàn)[7]研究了當(dāng)函數(shù)M,f滿足不同條件時(shí)方程解的存在性問(wèn)題.此外, 還有很多關(guān)于p-Kirchhoff 型方程的研究[8-10].

近來(lái), 學(xué)者多研究帶有對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)的偏微分方程, 但是仍然沒(méi)有對(duì)帶有對(duì)數(shù)項(xiàng)的p-Kirchhoff型方程的研究[11-12].受以上工作的啟發(fā), 本文利用山路定理和Ekeland 變分原理研究方程

(1)

本文主要結(jié)果如下:

定理 1 假設(shè)存在非空開(kāi)區(qū)域Ω1?Ω滿足g(x)>0, 存在λ0>0, 當(dāng)λ∈(0,λ0)時(shí), 方程(1)至少有兩個(gè)非平凡解.

本文第1部分主要介紹了對(duì)數(shù)不等式以及證明定理1用到的一些估計(jì), 第2部分則用山路定理和Ekeland變分原理證明了定理1.

1 預(yù)備知識(shí)

其中

(2)

(3)

〈J′(u),v〉=

(4)

則方程(1)的弱解就是泛函J的臨界點(diǎn).

a) 存在ρ,α>0, 當(dāng)‖u‖=ρ時(shí)，J(u)≥α;

定義

Γ={γ∈C1([0, 1],E)|γ(0)=0,

記

于是J關(guān)于c存在臨界序列, 若J還滿足(PS)條件, 則c是J的臨界值.

2 定理1的證明

引理 3 存在ρ,α>0使得當(dāng)‖u‖=ρ時(shí),J(u)≥α.

證明 由H?lder不等式和Sobolev不等式有

(5)

(6)

(7)

其中,

直接計(jì)算有

(8)

結(jié)合式(7)有

(9)

令μ=a>0, 由式(3), (5), (6)和(9)有

(10)

令h(z)=λq1zq-2p+r1zr-2p, 則h(z)→∞,z→0+或z→+∞, 則h(z)在z1>0處有一個(gè)極小值z(mì)1.直接計(jì)算有

h′(z)=λq1(q-2p)zq-2p-1+r1(r-2p)zr-2p-1.

(11)

因此, 存在λ1>0, 當(dāng)λ∈(0,λ1)時(shí)有式(11)成立.存在λ2>0, 當(dāng)λ∈(0,λ2)時(shí),

則對(duì)t>0有

引理 5J(u)滿足(PS)條件.

J(un)→c,J′(un)→0.

(12)

首先證明{un}有界.對(duì)任意的t>0,p0使得

|tplogt|≤Cι(|t|p-2+|t|p+t-2)

(13)

成立.由式(13)和Sobolev不等式有

(14)

結(jié)合式(5), (6)和(14)有

(15)

則存在{un}的子列, 仍記作{un}, 使得式(15)成立.由H?lder不等式有

成立, 從而

(16)

同理有

(17)

(18)

又因?yàn)镴′(un)→0, 所以有〈J′(un),un-v〉→0, 其中

〈J′(un),un-v〉=

結(jié)合式(16)～(18)有

n→∞.

此外, 由式(15)知

n→∞，

從而

因此‖un-v‖→0,n→∞.故J(u)滿足(PS)條件.

成立, 則對(duì)引理3中ρ>0有

從而對(duì)任意的εn>0有

(19)

cρ≤J(un)

(20)

J(un)

(21)

結(jié)合式(19)～(21)可得

故有{un}∈Bρ.

Φ(u)=J(u)+εn‖un-u‖,

令t→0+, 有

〈J′(un),v〉+εn‖v‖≥0,

用-v代替v可得-〈J′(un),v〉+εn‖v‖≥0, 故有‖J′(un)‖≤εn.

因此, 存在序列{un}?Bρ使得J(un)→cρ<0,J′(un)→0, 則cρ可達(dá).