張芯語,張樹義,聶 輝

(渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院,遼寧 錦州 121013)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

AZPEITJA[1]研究了Taylor公式“中間點(diǎn)”的漸近性質(zhì). 同時(shí), JACOBSON[2]建立積分中值定理的類似的結(jié)果. 在這之后, 一些作者研究各種中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性質(zhì)[3-14],其中文獻(xiàn)[3]研究了泛函積分中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性.文獻(xiàn)[4-7]使用比較函數(shù)討論了包括泛函Taylor公式在內(nèi)的幾種中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性態(tài). 文獻(xiàn)[15-22]研究了幾種中值定理“中間點(diǎn)函數(shù)”的一階可微性, 本文的目的是使用比較函數(shù)研究泛函積分中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性,獲得的結(jié)果推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[3]以及有關(guān)文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)果.

泛函第一積分中值定理[3]設(shè)f(x)是Ω?X上的連續(xù)泛函,對(duì)x0∈Ω,h∈X,g(x)是L={x0+th|0≤t≤1}?Ω上的非負(fù)連續(xù)泛函,則存在ξ=x0+τh∈L,τ∈(0,1),使

定義2[3]設(shè)x0∈Ω,h∈X,L={x0+th|0≤t≤1}?Ω.如果?t1,t2∈[0,1],當(dāng)t1≥t2時(shí),有f(x0+t1h)≥f(x0+t2h)(f(x0+t1h)≤f(x0+t2h)), 則稱f在L上單調(diào)遞增(減)泛函.

泛函第二積分中值定理[3]設(shè)X是賦范線性空間,Ω?X是凸開集,f是定義在L={x0+th|0≤t≤1}上的非負(fù)單調(diào)遞增連續(xù)泛函,g是L上可積泛函,則?τ∈(0, 1)(ξ=x0+τh∈L),使

其中L2={x0+th|τ≤t≤1}.

推論1[3]設(shè)X是賦范線性空間,Ω?X是凸開集,f是L上單調(diào)非負(fù)連續(xù)泛函,g在L上可積,則?τ∈(0,1)(ξ=x0+τh∈L),使

其中L1={x0+th|0≤t≤τ},L2={x0+th|τ≤t≤1}.

定義4[4]設(shè)ψ為定義在L={x0+th|0≤t≤1}上的泛函,在半開區(qū)間(0, 1]上存在m(m≥1)階導(dǎo)數(shù)的實(shí)值函數(shù)φ(t)被稱為在L上關(guān)于泛函ψ(x0+th)的比較函數(shù), 如果滿足下列條件:

注1 如果定義1中Dαf(x0,h)非零, 則φ(t)=tα是關(guān)于f(x0+th)-f(x0)的比較函數(shù).

引理1[5]設(shè)x>0,φ(x)=xα,α為實(shí)數(shù)且α>-1,n≥1,Γ(·)為Gamma函數(shù), 則

其中

2 主要結(jié)果

且

證明 由定理1條件可設(shè)

其中A,B是非零常數(shù).由泛函第一積分中值定理知?τ∈(0,t),使

(1)

式(1)左邊

式(1)右邊

(2)

由式(1)與(2)立得

證畢.

推論2 設(shè)X是賦范線性空間,Ω是X中凸開集,?x0∈Ω,h∈X,f是L={x0+th|0≤t≤1}上的連續(xù)泛函且在L上n-1階F-可微,f(i)(x0)h(i)=0(0≤i

且

其中x=x0+th∈L,A,B是非零常數(shù),α,β是實(shí)數(shù)且α>0, β≥0.

注2 推論2比文獻(xiàn)[3]中定理2.1簡(jiǎn)潔.

(3)

且

其中L1={x0+sh|τ≤s≤t}.

證明 由泛函第二積分中值定理知式(3)成立. 由式(3)易知

(4)

式(4)左邊

式(4)右邊

(5)

由式(4)與(5)立得

且

其中x=x0+th∈L,L1={x0+sh|0≤s≤τ},L2={x0+sh|τ≤s≤t}.