(廣西民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，崇左，532200)

1 引言

在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中，總是假設(shè)保險(xiǎn)公司在單位時(shí)間內(nèi)收到的保費(fèi)是某一固定常數(shù).但在保險(xiǎn)公司的實(shí)際業(yè)務(wù)中，可能跟一些投保人簽訂協(xié)議，在每個(gè)單位時(shí)間內(nèi)收取固定的保費(fèi)，除此之外在單位時(shí)間內(nèi)還會(huì)收到不同保費(fèi)的保單，這可用服從某一分布的隨機(jī)變量來表示.文獻(xiàn)[1-3]將保費(fèi)推廣為服從某一離散分布的隨機(jī)變量，建立隨機(jī)保費(fèi)的風(fēng)險(xiǎn)模型；文獻(xiàn)[4-5]提出了帶有隨機(jī)保費(fèi)收入和隨機(jī)支付紅利的離散風(fēng)險(xiǎn)模型；文獻(xiàn)[6]提出了帶有隨機(jī)支付紅利的雙險(xiǎn)種復(fù)合二項(xiàng)模型，運(yùn)用鞅方法討論了該模型盈余過程的性質(zhì)，給出了最終破產(chǎn)概率的表達(dá)式和Lundberg上界；文獻(xiàn)[7-8]將雙Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型推廣為帶干擾保費(fèi)混合收取的風(fēng)險(xiǎn)模型,利用鞅方法討論了其破產(chǎn)問題.在以上的文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，本文建立混合保費(fèi)收取下帶有支付紅利的風(fēng)險(xiǎn)模型，該模型在固定保費(fèi)收取的情況上，考慮保費(fèi)的隨機(jī)化和支付紅利，并且隨機(jī)保費(fèi)到達(dá)過程和理賠過程分別服從參數(shù)為λ，μ的Poisson過程，支付紅利過程是服從參數(shù)為p∈(0,1)的二項(xiàng)隨機(jī)過程，運(yùn)用秧方法，研究其盈余過程及調(diào)節(jié)系數(shù)R的性質(zhì)，進(jìn)而得到破產(chǎn)概率的表達(dá)式和破產(chǎn)上界的Lundberg不等式.

2 風(fēng)險(xiǎn)模型

設(shè)u>0，c>0,λ>0,μ>0,σ>0.在給定的完備概率空間(Ω,F,P)上，保險(xiǎn)公司的盈余過程為

(2.1)

其中，

(1)u為初始準(zhǔn)備金，c是單位時(shí)間內(nèi)保險(xiǎn)公司收到固定的保費(fèi)，{W(t),t≥}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，表示不確定的收付，σ為干擾系數(shù)；

(2){M(t),t≥0}表示在時(shí)間區(qū)間(t-1,t]內(nèi)保險(xiǎn)公司隨機(jī)收到的保單數(shù)，是參數(shù)為λ的Poisson過程，且M(0)=0；Xk表示第k次的索賠額，{Xk}k≥0獨(dú)立同分布且取正整數(shù)值，E(Xk)=μx，且存在二階矩；

(3){N1(t),t≥0}表示在時(shí)間區(qū)間(t-1,t]內(nèi)保險(xiǎn)公司發(fā)生的理賠次數(shù)，是參數(shù)為μ的Poisson過程，且N1(0)=0；Yk表示第k次的索賠額，{Yk}k≥0獨(dú)立同分布且取正整數(shù)值，E(Yk)=μy，且存在二階矩；

(4){N2(t),t≥0}表示在時(shí)間區(qū)間(t-1,t]內(nèi)保險(xiǎn)公司支付紅利的保單數(shù)，是服從參數(shù)服從參數(shù)為p∈(0,1)的二項(xiàng)隨機(jī)過程，即保險(xiǎn)公司在時(shí)間區(qū)間(t-1,t]內(nèi)支付紅利的概率為p，不支付紅利的概率為q，且p+q=1；Zk表示第k次支付的紅利額,且當(dāng)盈余大于或等于給定的非負(fù)整數(shù)紅利界時(shí)，保險(xiǎn)公司才支付紅利，{Zk}k≥0獨(dú)立同分布且取正整數(shù)值，E[Zk]=μz，且存在二階矩.

(5)假設(shè)保險(xiǎn)公司收取保費(fèi)、進(jìn)行賠付及支付紅利均在時(shí)間區(qū)間(t-1,t]的始端進(jìn)行，且{Xk,k≥0},{Yk,k≥0},{Zk,k≥0},{M(t),t≥0},{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0}之間是相互獨(dú)立的.

記盈利為

定義破產(chǎn)時(shí)刻為：T=inf{t:t≥0,U(t)<0}(infφ=∞)，破產(chǎn)概率為：

ψ(u)=P(T<∞|U(0)=u).

3 幾個(gè)引理

引理1[8]盈利過程{S(t),t≥0}具有如下性質(zhì)：

(1){S(t),t≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量；

(2)E[S(t)]=(c+λμx-μμy-pμz)t>0；

(3)存在正數(shù)r，使得E[e-rS(t)]<∞.

證明

其中MX(-r)=E(e-rX),MY(r)=E(erY),MZ(r)=E(erZ)分別表示個(gè)體保單額、理賠額、紅利額的矩母函數(shù).

引理3方程g(r)=0存在唯一正根R, 稱之為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明根據(jù)引理2，對(duì)g(r)求導(dǎo)得

再求導(dǎo)得

由施瓦茲不等式知p2E[Z2erZ]·E[erZ]≥p2E2[ZerZ]，因此g″(r)>0，所以g(r)是嚴(yán)格下凸函數(shù).又因?yàn)間′(0)=-c-λμx+μμy+pμz<0，g(0)=0，所以存在唯一正數(shù)R,使得g(R)=0.

證明對(duì)?v≤t, 有

4 破產(chǎn)概率

定理1風(fēng)險(xiǎn)模型(2-1)的最終破產(chǎn)概率滿足Lundberg不等式：

ψ(u)≤e-Ru,

其中，R=sup{r:g(r)≤0}.

證明因?yàn)門是ξs停時(shí)，對(duì)任何t0≤∞，t0ΛT仍是ξs停時(shí)，由引理4及停時(shí)定理，有

e-ru=Mv(0)=E[Mv(t0ΛT)]=E[Mv(t0ΛT)|T≤t0]P{T≤t0}

+E[Mv(t0ΛT)|T>t0]P{T>t0}≥E[Mv(t0ΛT)|T≤t0]P{T≤t0}

=E[Mu(T)|T≤t0]P{T≤t0}.

(4.1)

因?yàn)楫?dāng)T<∞時(shí)，有u+S(t)≤0，故

定理2風(fēng)險(xiǎn)模型(2.1)的最終破產(chǎn)概率為

其中R為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明在(4.1)式中取r=R得

e-Ru=E[e-RU(T)|T≤t0]P{T≤t0}+E[e-RU(t0)|T>t0]P{T>t0}.

(4.2)

以I(A)表示集合A的示性函數(shù)，則

0≤E[e-RU(t0)|T>t0]P{T>t0}=E[e-RU(t0)I{T>t0}]≤E[e-RU(t0)I{U(t0)≥0}].

由于0≤e-RU(t0)I{U(t0)≥0}≤1，根據(jù)強(qiáng)大數(shù)定理可知，當(dāng)t0→∞時(shí)，U(t0)→∞a.s.

故由控制收斂定理知

在(4.2)式兩端令t0→∞，即得定理結(jié)論.