(上海理工大學理學院，上海，200093)

1 引言

期權定價理論在金融資產定價問題相中最為重要的理論，且已取得了豐碩的研究成果.近年來，大量學者開始關注體制轉換問題，并將其應用到金融研究的很多領域中.體制轉換模型最早源于上世紀八十年代后期，Hamilton[1]首次將體制轉換模型應用到金融計量經濟學領域，并對美國經濟周期進行了分析，發(fā)現美國GNP趨勢函數的增長率會依據一類馬爾可夫過程在不同狀態(tài)之間轉換.受文獻[1]的影響，大量研究人員使用“馬爾科夫調制”為結構變化建模，并進行研究.Buffington等[2]給出了體制轉換模型下歐式期權滿足的方程，卻未給出具體解法.Zhou[3]利用熱核方法給出了歐式看漲期權定價的近似解. Bufington等[4]對美式期權的定價進行研究，并給出精確解.但以上文章均只考慮了股價服從經典幾何布朗運動的情況，極少有研究馬氏利率下標的資產滿足其它模型的期權定價，更沒有考慮股價含有門限的情況.本文主要是研究股價服從帶門限均值回復過程而折現率含有狀態(tài)切換的情況下的歐式看漲期權進行定價問題.

2 股價過程

在風險中性測度Q下，股價為S(t)，其對數X(t)滿足如下隨機方程：

(2.1)

其中，W*(t)為布朗運動，h為門限，ki，θi，σi為已知參數.假設銀行利率r由有限狀態(tài)空間的Markov鏈{Y(t)}t∈T描述. 參考Elliott[5]，令

(2.2)

其中，A為轉移矩陣，<,>為內積，M={M(t)，t≥0}是關于Y生成的代數域的鞅.

3 期權定價

本節(jié)分三步對定價問題進行分析.首先對恒定利率下股價服從無門限的均值回復過程的期權定價進行研究，給出歐式看漲期權定價的近似解；再對體制轉換市場下股價服從無門限的均值回復過程的期權定價進行研究，給出轉換市場存在兩個狀態(tài)下的股價服從無門限均值回復過程的歐式看漲期權的近似解；在此基礎上，最后研究轉換市場存在兩個狀態(tài)下的股價服從帶門限的均值回復過程的歐式看漲期權的近似解.

3.1 無門限的均值回復期權定價

在風險中性測度Q下，股價為S(t)，其對數X(t)滿足如下隨機方程：

dX(t)=k(θ-X(t))dt+σdW*(t),

(3.1)

其中，W*(t)為布朗運動，k，θ，σ為已知參數.

定理1假設股價過程服從(3.1)，銀行利率恒為ri下的歐式看漲期權定價公式為：

其中

上式中的系數A1i，A2i，B1i，B2i可由注1得到.

證明在風險中性世界，歐式看漲期權定價公式為：

V0i(X,t)=V0(X,t,T,ei)=E[e-ri(T-t)(eX-K)+].

由Shreve[6]中費曼-卡茨公式知，V0i(X,t)適合以下定解問題：

令V0i(X,t)=f0i(X,τ),τ=T-t.則

邊界條件為：

(3.2)

令

則當X≤κ時，上式可轉化為如下庫默方程：

且有Lebedev[8]中的超幾何函數性質：

其中

所以當X≤κ時，其解的形式為：

(3.3)

當X>κ時，其解的形式為：

(3.4)

其中W(·)為朗斯基行列式，

但由Wong等[9]知道有一個如下形式的特解：

其中

(3.5)

式(3.3)，(3.4)中的系數A1i,A2i,B1i,B2i可由邊界條件(3.2)和平滑性(3.5)確定.證畢.

注1參考了Chi Z等[10]中對定理1的證明方法，將式(3.3)，(3.4)代入式(3.2)和(3.5)中，即可確定參數A1i,A2i,B1i,B2i：

3.2 體制轉換市場下無門限的均值回復期權定價

定義1Gi(X,t;ξ,T)稱為是該方程的基本解，如果它適合以下定解問題：

其中-∞

為了給出Gi(X,t;ξ,T)的表達式，令u(X,t)=fpi(X,τ),τ=T-t.則

與定理1中求特解的方法類似，可得：

其中

定理2假設股價過程服從(3-1)，銀行利率服從狀態(tài)空間為{1,2,…,n}的馬爾科夫鏈Y(t).若ci(X,t)=c(X,t,T,ei)為狀態(tài)模式i下的期權價格，則其滿足如下方程：

其中，c(X,t,T,Y(t))=(c(X,t,T,e1),c(X,t,T,e2)…,c(X,t,T,en))′.

證明在風險中性世界，歐式看漲期權的定價(參見文獻[4])為：

為推導出c(X,t,T,Y)，先假設：

(3.6)

則

其中Ψt=σ{X(u),Y(u);u≤t}，顯然V(t,X,T,Y)是關于Ψt的鞅.記

V(X,t,T,Y)=(V(X,t,T,e1),V(X,t,T,e2),…,V(X,t,T,en))′.

則

V(X(t),t,T,Y)={V(X(t),t,T,Y(t))}t∈T.

又由dY(t)=AY(t)dt+dM(t)和V(t,X,T,Y)的鞅性可得：

又由(3.6)可得：

因此

故

(3.7)

證畢.

i=1,2.j=1,2. 且i≠j.

證明由(3.7)式知，狀態(tài)模式i下的期權價格ci(X,t)，i=1,2.滿足如下方程

(3.8)

其終止條件為ci(X,T)=(eX-K)+,i=1,2.現參考姜禮尚[11]，推導其解的形式.令

u(X,t)=ci(X,t)-Vi0(X,t),i=1,2，

(3.9)

其中

Vi0(X,t)=e-λi(T-t)V0i(X,t),i=1,2.

(3.10)

將(3.9)代入(3.8)得到：

(3.11)

其終止條件為ui(X,T)=0，i=1,2. 由定義1可得到方程

的基本解為Gi(X,t;ξ,T).利用基本解Gi(X,t;ξ,T)，方程組(3.11)可以轉換為以下等價Volterra積分方程組：

(3.12)

其中

(3.13)

將(3.12)中u1(X,t)，u2(X,t)互相代入可得到：

(3.14)

其中

通過迭代，積分方程組(3.14)的解可表示為：

(3.15)

由于λ1,λ2一般是小量，因此可以略去λ1,λ2的2階以上的小量.于是，由式(3.9),(3.10),(3.13)以及(3.15)可得到：

ci(X,t)=ui(X,t)+Vi0(X,t)≈fi(X,t)+Vi0(X,t)

i,j=1,2 且i≠j.

證畢.

注2由近似解可以看出，如果市場不存在體制轉換，即λi=0，此時結果與定理1中的結論保持一致.

3.3 體制轉換市場下帶門限的均值回復歐式看漲期權

i,j=1,2且i≠j,

其中

上式中的系數Ai11，Ai12，Ai21，Ai22，Bi1和Bi2可由注3確定.

證明當X

由定理3可得

(3.16)

的基本解.由定義1知

其中

同理當X≥h時，由定理2知

由定理3知

(3.17)

的基本解，由定義1知

再由邊界條件和期權價格在h,κ處的平滑性條件，即可解得系數.證畢.

注3上述的邊界條件為：

在h處的平滑性：

在κ處的平滑性：

因此，定理4中的系數Ai11，Ai12，Ai21，Ai22，Bi1和Bi2可由如下方程組確定：

4 期權定價的差分格式

在上一節(jié)中我們得到了體制轉換市場下股價服從帶門限均值回復過程的期權定價的近似解. 但若在現實中進行模擬操作會異常復雜.為實現模擬過程，現給出體制轉換市場下帶門限均值回復過程的期權定價的差分格式(參考姜禮尚[12]).

最終解得：

其中

記h=nhΔX，當m≤nh時，只需參數k由k1→k2，參數θ由θ1→θ2，參數σ由σ1→σ2即可.