賈程宏，侯瑜京，魏迎奇，張雪東，張紫濤，梁建輝

（中國水利水電科學(xué)研究院 巖土工程研究所，北京 100048）

1 研究背景

土工離心模型試驗(yàn)是將模型置于特定的離心機(jī)中，使1/n縮尺的模型在ng離心加速度的空間進(jìn)行試驗(yàn)。由于慣性力與重力絕對等效，且高加速度不會改變工程材料的性質(zhì)，從而使模型與原型的應(yīng)力應(yīng)變相等、變形相似、破壞機(jī)理相同，能再現(xiàn)原形特性［1］。土工離心模型試驗(yàn)技術(shù)的發(fā)明大大推動了巖土工程的學(xué)科進(jìn)步，目前土工離心模型試驗(yàn)技術(shù)被應(yīng)用于巖土工程領(lǐng)域的諸多方面，侯瑜京等［2］在離心機(jī)中研究了垃圾土邊坡的失穩(wěn)特性；魏迎奇等［3］基于LXL-4-450離心試驗(yàn)平臺，對新型機(jī)載設(shè)備及相應(yīng)的試驗(yàn)成果進(jìn)行了總結(jié)。張雪東等［4］通過土工離心模型試驗(yàn)研究了水下爆破對大壩的影響。近年來巖土力學(xué)的發(fā)展對土工離心模型試驗(yàn)的設(shè)計(jì)提出了更高的要求。在土工離心模型試驗(yàn)中，模型的變形監(jiān)測是很重要的一部分，傳統(tǒng)的測量手段有：（1）差動變壓器式位移傳感器。它是線性可變差動變壓器（英文簡稱：LVDT）的一種，屬于接觸式傳感器。工作原理簡單地說是鐵芯可動變壓器，在離心模型試驗(yàn)中，需要嚴(yán)格控制LVDT與模型表面的接觸，以保證測得數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，這必然會對模型的物理性能產(chǎn)生一定的影響，且傳感器的量程和布設(shè)個數(shù)限制了位移的測量范圍和數(shù)量［5］。再加上高重力場的影響，使得它不能在試驗(yàn)過程中及時跟蹤被測表面的沉降，抗干擾能力較差。（2）激光傳感器。離心模型試驗(yàn)中的激光傳感器采用高分辨率CMOS線性陣列和DSP技術(shù)工作并借助測量角度確定距離，它的測量精度高，抗干擾能力強(qiáng)，但是它的光強(qiáng)會受到多種因素的影響，且只能測量事先布置好的有限個點(diǎn)的數(shù)據(jù)。不同于以上兩種測量手段，攝影測量技術(shù)通過電子攝像設(shè)備獲取模型在加載過程中的圖像，從而獲得模型表面任意時刻的位移場［6-7］。

因?yàn)閿z影測量技術(shù)具有非接觸、直觀、測量范圍廣等優(yōu)點(diǎn)，許多土工離心機(jī)技術(shù)研究人員提出了研制攝影系統(tǒng)的要求。攝影測量技術(shù)的基本原理是通過分析模型圖像中關(guān)鍵點(diǎn)的位置變化，計(jì)算模型對應(yīng)位置的位移量。這種基于數(shù)字圖像的位移測量技術(shù)因其無需人為標(biāo)點(diǎn)等優(yōu)點(diǎn)已在土工試驗(yàn)、離心模型試驗(yàn)以及現(xiàn)場試驗(yàn)中得到了一些應(yīng)用［8-9］。清華大學(xué)張嘎教授團(tuán)隊(duì)?wèi)?yīng)用攝影測量技術(shù)對土坡的變形發(fā)展直至破壞的全過程進(jìn)行了測量［10］。應(yīng)用攝影測量技術(shù)可以根據(jù)具體要求，計(jì)算模型表面各點(diǎn)在任意方向上的位移，從而分析出模型在任意方向上的變形。中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所的任偉中教授等應(yīng)用數(shù)碼像機(jī)數(shù)字化近景攝影測量技術(shù)對采礦過程中地表及上、下盤巖體中的位移進(jìn)行了量測［11］。以上研究主要是對模型表面各點(diǎn)平面位移的測量以及對非離心狀態(tài)下模型三維變形的測量?；谶@些研究成果，本文提出了三維攝影測量技術(shù)，該技術(shù)應(yīng)用兩臺攝像機(jī)實(shí)現(xiàn)了對土工離心模型變形的三維測量，并且擴(kuò)大了測量的范圍。

2 三維攝影測量技術(shù)原理

劉懷忠等從攝像設(shè)備成像的透視原理出發(fā)，對物-像坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，獲取像坐標(biāo)到物坐標(biāo)的表達(dá)式［8］。這種方法通過模型箱坐標(biāo)系、攝像機(jī)視點(diǎn)坐標(biāo)系、物像坐標(biāo)系、像素坐標(biāo)系4個空間坐標(biāo)系建立物-像坐標(biāo)之間的關(guān)系，由已知坐標(biāo)的參考點(diǎn)對各坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)以及攝像機(jī)的內(nèi)置參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。參照這種方法，本文建立了可以應(yīng)用于土工離心模型試驗(yàn)變形監(jiān)測的三維攝影測量技術(shù)。

在土工離心模型試驗(yàn)中，攝像機(jī)采用的是CCD（Charge-coupled Device）成像技術(shù)，因此建立世界坐標(biāo)系、相機(jī)坐標(biāo)系（光心坐標(biāo)系）、圖像坐標(biāo)系和像素坐標(biāo)系4個坐標(biāo)系，攝影流程如圖1所示，4個坐標(biāo)系之間的關(guān)系如圖2所示，其中，M為三維空間點(diǎn)，m為M在圖像平面投影成的像點(diǎn)。世界坐標(biāo)系是客觀三維世界的絕對坐標(biāo)系，在土工離心模型試驗(yàn)中，世界坐標(biāo)系即為模型箱坐標(biāo)系，X軸、Y軸和Z軸分別沿模型箱的長邊、寬邊以及高邊建立，不隨模型箱的轉(zhuǎn)動而改變。在此坐標(biāo)系中，用（Xw，Yw，Zw）表示各點(diǎn)的坐標(biāo)值。相機(jī)坐標(biāo)系以相機(jī)的光心為坐標(biāo)原點(diǎn)，X軸和Y軸分別平行于圖像坐標(biāo)系的X軸和Y軸，相機(jī)的光軸為Z軸，用（Xc，Yc，Zc）表示此坐標(biāo)系中各點(diǎn)的坐標(biāo)值。圖像坐標(biāo)系以CCD圖像平面的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，X軸和Y軸分別平行于圖像平面的兩條垂直邊，用（x，y）表示此坐標(biāo)系中各點(diǎn)的坐標(biāo)值，用物理單位（例如毫米）表示像素在圖像中的位置。像素坐標(biāo)系以CCD圖像平面的某一個頂點(diǎn)為原點(diǎn)，X軸和Y軸分別平行于圖像坐標(biāo)系的X軸和Y軸，用（u，v）表示此坐標(biāo)系中各點(diǎn)的坐標(biāo)值。

圖1 攝影流程圖

圖2 四個坐標(biāo)系的關(guān)系圖

圖3 圖像坐標(biāo)系與像素坐標(biāo)系的關(guān)系

數(shù)碼相機(jī)采集的圖像首先形成標(biāo)準(zhǔn)電信號的形式，然后再通過模數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字圖像。每幅圖像的存儲形式是M×N的數(shù)組，M行N列的圖像中每一個元素的數(shù)值代表的是圖像點(diǎn)的灰度。這樣的每個元素叫像素，像素坐標(biāo)系就是以像素為單位的圖像坐標(biāo)系。像素坐標(biāo)系與圖像坐標(biāo)系的關(guān)系如圖3所示。利用齊次坐標(biāo)可將它們之間的關(guān)系表示為矩陣形式：

其中（u0，v0）是圖像坐標(biāo)系原點(diǎn)在像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，dx和dy分別是每個像素在圖像平面X軸和Y軸方向上的物理尺寸，且大小相等。圖像坐標(biāo)系與相機(jī)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系式為：

其中f為焦距，也就是像平面與相機(jī)坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離?？捎谬R次坐標(biāo)陣將上述關(guān)系表示為矩陣形式：

相機(jī)坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系式為：

其中，R為3×3正交旋轉(zhuǎn)矩陣，t為三維平移向量，綜合起來可得像素坐標(biāo)與世界坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，用矩陣形式可表示為：

在上述轉(zhuǎn)換式（6）中，共含有7個參數(shù)，分別是三維狀態(tài)下相機(jī)的3個位置參數(shù)，構(gòu)成三維平移向量t，3個角度參數(shù)，構(gòu)成正交旋轉(zhuǎn)矩陣R，以及由相機(jī)焦距和像素在圖像坐標(biāo)軸上的物理尺寸決定的無量綱參數(shù)a。根據(jù)式（6），可由已知像素坐標(biāo)和世界坐標(biāo)的標(biāo)記點(diǎn)標(biāo)定出攝像機(jī)的這7個參數(shù)。若已知一點(diǎn)的像素坐標(biāo)（u，v），則式（6）中含有Zc、Xw、Yw、Zw共4個未知量，故無法求解。若使用兩臺攝像機(jī)拍攝到的結(jié)果，方程可以增加3個，未知量只增加了1個Zc，這時就有6個方程，只包含5個未知量，可以進(jìn)行求解。

3 三維攝影測量技術(shù)在土工離心模型試驗(yàn)中的應(yīng)用

3.1 試驗(yàn)簡介在對三維攝影測量技術(shù)的原理進(jìn)行探究后，本文將該技術(shù)應(yīng)用于具體的土工離心模型試驗(yàn)中進(jìn)行了計(jì)算與驗(yàn)證。離心模型試驗(yàn)的原型是西南某軟土地基土石壩，軟土地基的含水量高，天然空隙相對較大，具有較高的壓縮性［12-14］。由于軟土地基工程性質(zhì)較差，施工期和工后期地基土的持續(xù)沉降、變形會造成其上的構(gòu)筑物損壞、失穩(wěn)［15］。

土石壩模型壩體土料的基本參數(shù)如表1所示，壩基淤泥土的基本參數(shù)如表2所示。

試驗(yàn)布置如圖4所示，軟土壩基模型長1.28 m，寬0.715 m，土石壩模型高0.12 m，坡比為1∶2.7。試驗(yàn)前在土石壩模型表面用石灰及顏料繪制了50個標(biāo)記點(diǎn)，試驗(yàn)過程中用這些標(biāo)記點(diǎn)表示壩基及土石壩的位移狀態(tài)。為了盡可能的拍攝到所有的標(biāo)記點(diǎn)，且能夠計(jì)算出它們的實(shí)時三維坐標(biāo)，將兩臺型號為208C的攝像機(jī)1號、2號對稱地架設(shè)于模型箱的頂部兩端，其拍攝效果如圖5所示（試驗(yàn)前）。

表1 壩體土料基本參數(shù)

表2 壩基土料基本參數(shù)

圖4 試驗(yàn)布置圖

圖5 兩臺攝像機(jī)拍攝效果

離心模型試驗(yàn)過程如圖6所示。離心模型試驗(yàn)共分為5個階段，試驗(yàn)過程全部被兩臺攝像機(jī)記錄下來，試驗(yàn)后模型效果如圖7所示。由圖7可以看出，離心模型試驗(yàn)后土石壩模型發(fā)生了明顯的沉降，尤其是壩頂，這種沉降沿著壩坡面逐漸減小，壩底及與壩坡相交處的壩基甚至有向上拱起的趨勢。為了描述土石壩模型在離心模型試驗(yàn)過程中的變形，從錄像中選取了離心加速度分別為0g（試驗(yàn)前）、20g、40g、60g時對應(yīng)的圖像。由于離心加速度為40g和60g時，有較長時間的穩(wěn)定期，故各選取了3張圖像，分別是40g穩(wěn)定期開始、運(yùn)行145 s、結(jié)束時以及60g穩(wěn)定期開始、運(yùn)行90 s、結(jié)束時對應(yīng)的圖像。

圖6 試驗(yàn)過程圖

圖7 試驗(yàn)后模型效果

3.2 參數(shù)標(biāo)定所有選取圖像的像素大小相同，寬度方向上的像素大小為352，高度方向上的像素大小為288，選取離心加速度為0g時的圖像，找到各個標(biāo)記點(diǎn)在圖像中的像素坐標(biāo)。確定各個標(biāo)記點(diǎn)像素坐標(biāo)的具體操作方法是先找到每個標(biāo)記點(diǎn)四個角點(diǎn)的坐標(biāo)，再計(jì)算出其形心坐標(biāo)作為該點(diǎn)的像素坐標(biāo)。以模型箱的長邊、寬邊以及高邊為世界坐標(biāo)系的X軸、Y軸、Z軸，計(jì)算出初始時各個標(biāo)記點(diǎn)的世界坐標(biāo)。在已知這些標(biāo)記點(diǎn)的像素坐標(biāo)和世界坐標(biāo)的前提下，通過Matlab程序分別迭代計(jì)算出1號攝像機(jī)和2號攝像機(jī)的參數(shù)。經(jīng)過計(jì)算，得到1號、2號攝像機(jī)的參數(shù)如表3所示。

表3 攝像機(jī)1號、2號的參數(shù)

圖8 離心加速度為0g時各個標(biāo)記點(diǎn)的理想世界坐標(biāo)

圖9 兩臺攝像機(jī)計(jì)算結(jié)果與拍攝效果對比圖

利用求得的相機(jī)參數(shù)，由離心加速度為0g時各個標(biāo)記點(diǎn)的理想世界坐標(biāo)計(jì)算出其像素坐標(biāo)。之所以稱為理想世界坐標(biāo)，是因?yàn)樵囼?yàn)過程中，各個標(biāo)記點(diǎn)實(shí)際的世界坐標(biāo)因模型制作不平整，必然會與理想中的世界坐標(biāo)有所出入。將計(jì)算得到的像素坐標(biāo)與1號、2號攝像機(jī)拍攝到的結(jié)果進(jìn)行對比，如圖8～9所示。圖8采用世界坐標(biāo)系，即模型箱坐標(biāo)系，圖9采用像素坐標(biāo)系，像素單位為1。

經(jīng)過計(jì)算，標(biāo)記點(diǎn)的像素坐標(biāo)在由計(jì)算得到的結(jié)果與由圖像得到的結(jié)果之間，圖9（a）中，像素坐標(biāo)系X軸上的平均偏差是0.06個像素坐標(biāo)，Y軸上的平均偏差是0.07個像素坐標(biāo)；圖9（b）中，像素坐標(biāo)系X軸上的平均偏差是0.01個像素坐標(biāo)，Y軸上的平均偏差是0.02個像素坐標(biāo)。綜上，兩個方向上像素坐標(biāo)的平均偏差相對于該方向上像素大小的比均小于0.3%，引起偏差的主要原因是模型表面并非理想平面。計(jì)算結(jié)果說明相機(jī)參數(shù)合理有效，可以用于計(jì)算分析模型的變形過程。

3.3 變形計(jì)算由離心機(jī)加速度為0g時兩臺攝像機(jī)拍攝到的圖像，計(jì)算出此時各個標(biāo)記點(diǎn)的世界坐標(biāo)。需要說明的是，在同一時刻，攝像機(jī)1號與2號拍攝到的標(biāo)記點(diǎn)可能不同，為有效計(jì)算，這里只統(tǒng)計(jì)計(jì)算兩臺攝像機(jī)共同拍攝到的標(biāo)記點(diǎn)。將計(jì)算結(jié)果同模型的理想世界坐標(biāo)進(jìn)行對比，如圖10所示。

測得所有標(biāo)記點(diǎn)的世界坐標(biāo)同其理想世界坐標(biāo)的平均偏差，在模型箱長度方向上為0.08 mm（絕對值，下同），在模型箱寬度方向上為0.30 mm，在模型箱高度方向上為0.35 mm。相比于模型尺寸，三個方向上的偏差比均小于1%，且偏差在三個方向上的標(biāo)準(zhǔn)差分別為5.50 mm、5.69 mm、5.41 mm，有一定的波動，但波動幅度接近，主要原因是模型表面非理想平面，個別標(biāo)記點(diǎn)的實(shí)際世界坐標(biāo)與理想值偏差較大，但這些偏差并不會影響對于模型整體變形的判斷。在本試驗(yàn)中，我們主要關(guān)注模型的沉降變形，即各個標(biāo)記點(diǎn)的z值變化，故下文中提到的各坐標(biāo)數(shù)值默認(rèn)為z值。

接下來，選取兩臺攝像機(jī)拍攝到離心加速度分別是20g、40g、60g時的模型圖像，其中，20g時1張，40g、60g時各3張，計(jì)算統(tǒng)計(jì)出每張圖像上各個標(biāo)記點(diǎn)的像素坐標(biāo)。利用這些像素坐標(biāo)，通過Matlab程序計(jì)算出對應(yīng)離心加速度時各個標(biāo)記點(diǎn)的世界坐標(biāo)，并與離心加速度為0g時（初始狀態(tài)）計(jì)算出的各個標(biāo)記點(diǎn)的世界坐標(biāo)進(jìn)行對比，如圖11所示。

圖10 0g時各個標(biāo)記點(diǎn)的世界坐標(biāo)同其理想值的對比

圖11 不同狀態(tài)下各個標(biāo)記點(diǎn)的世界坐標(biāo)同初始狀態(tài)的對比

計(jì)算結(jié)果表明，在離心模型試驗(yàn)過程中，隨著離心加速度的增大，壩體逐漸下沉，且壩頂沉降最明顯，壩頂中部沉降超過50 mm，兩側(cè)沉降略小于50 mm，可能與模型箱側(cè)壁的摩擦限制沉降有關(guān)。最大沉降變形超過壩體高度的40%，最終發(fā)生了變形破壞。離心試驗(yàn)結(jié)束時的壩頂沉降如圖12所示，靠近壩頂?shù)?個標(biāo)記點(diǎn)的平均沉降量為50.99 mm，沉降量標(biāo)準(zhǔn)差為1.00 mm。

圖12 沿壩頂線的最終沉降量

圖13 沿壩坡與壩基相交線附近的最終沉降量

壩坡表面沉降量沿著壩坡向下逐漸減小，在接近與壩基相交處，沉降量變得很小，局部出現(xiàn)向上拱起的現(xiàn)象。由于壩坡與壩基相交處已知標(biāo)記點(diǎn)較少，因此以接近相交線的一組壩坡上標(biāo)記點(diǎn)為研究對象。這一區(qū)域的沉降量均小于10 mm，如圖13所示。已知4個標(biāo)記點(diǎn)的平均沉降量為5.74 mm，沉降量標(biāo)準(zhǔn)差為2.02 mm。

隨著距離壩坡與壩基相交處越來越遠(yuǎn)，壩基的沉降也越來越明顯，但本次試驗(yàn)所測范圍有限，可測范圍內(nèi)沉降量均小于10 mm。為研究土石壩模型在整個試驗(yàn)過程中的變形，取最具代表性、數(shù)據(jù)最全的模型中軸線上的一系列數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，如圖14所示。

圖14 試驗(yàn)過程中土石壩模型中軸線上的變形

圖中實(shí)線是根據(jù)試驗(yàn)開始前各個標(biāo)記點(diǎn)位置擬合而成的，可以看出，前文所陳述的結(jié)果在此圖中也有所反映。離心模型試驗(yàn)過程中，壩頂沉降最大，且沉降量沿著壩坡向下逐漸減小，在壩坡與壩基相交處，沉降量很小，局部區(qū)域出現(xiàn)向上拱起的現(xiàn)象，遠(yuǎn)離壩體的壩基也發(fā)生了明顯的沉降。由圖14還可以看出，在下沉過程中，壩體逐漸向壩基一側(cè)移動。

3.4 對照分析在試驗(yàn)過程中，模型箱頂部用金屬架固定了一臺激光傳感器。激光傳感器是型號為CP08MHT80的高精度測距傳感器，直線性為0.1%，具有8 μm的高分辨率。

由于激光傳感器測量范圍是模型中軸線附近的壩坡，所以可將激光傳感器測得對應(yīng)時間的壩坡沉降變形過程與前文結(jié)果進(jìn)行對照。由激光傳感器測得土石壩模型中軸線附近壩坡的沉降變形如圖15所示。

圖15 試驗(yàn)過程中土石壩模型中軸線附近壩坡的沉降變形

由圖15可以看出，在離心模型試驗(yàn)過程中，模型中軸線附近壩坡的沉降隨著離心加速度的增大而增大。數(shù)據(jù)表明，最終壩頂沉降為49.11 mm，且沉降量沿著壩坡向下逐漸減小，在與壩基的相交線處，沉降量小于10 mm，變形不明顯。對照圖14，由激光傳感器和三維攝影測量技術(shù)測得的模型沉降變形過程一致，說明三維攝影測量技術(shù)可用于對該離心模型進(jìn)行變形監(jiān)測。

試驗(yàn)中由激光傳感器測量的區(qū)域與三維攝影測量的標(biāo)記點(diǎn)不重合，選取激光傳感器測量區(qū)域周圍的3組標(biāo)記點(diǎn)，求取各組標(biāo)記點(diǎn)試驗(yàn)結(jié)束時（60g-3）沿模型箱高度方向上的坐標(biāo)平均值，并將它們與由激光傳感器測量得到的結(jié)果進(jìn)行對比，如圖16所示。數(shù)據(jù)表明，由三維攝影測量技術(shù)與激光傳感器測得數(shù)據(jù)的最大偏差是8.89 mm，占土石壩模型高度的7.4%，平均偏差是0.56 mm，占土石壩模型高度的0.5%。造成偏差的主要原因是兩種方法測量的點(diǎn)不重合，模型表面并非理想平面且在試驗(yàn)過程中發(fā)生不均勻變形。

圖16 由激光傳感器與三維攝影測量技術(shù)測量得到的結(jié)果對比

相比于激光傳感器，三維攝影測量技術(shù)除了可以監(jiān)測模型的沉降，還可以得到模型表面標(biāo)記點(diǎn)在其它方向上的位移，這對分析模型的整體變形乃至破壞過程具有指導(dǎo)性的意見。由三維攝影測量技術(shù)得到的模型中軸線上各標(biāo)記點(diǎn)在沿模型箱長度、高度兩個方向上的最終位移如圖17所示，說明壩體在向下沉降的同時，還會側(cè)向移動，壩體變形不均勻，最終發(fā)生破壞。

因此，本文提出的三維攝影測量技術(shù)可適用于土工離心模型的變形監(jiān)測，應(yīng)用該技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)對模型某個區(qū)域變形過程的監(jiān)測，為分析模型的變形以及破壞提供依據(jù)。

圖17 土石壩模型中軸線上各標(biāo)記點(diǎn)的最終位移

4 結(jié)論

（1）本文提出了三維攝影測量技術(shù)并將其應(yīng)用在離心模型試驗(yàn)中，可以實(shí)現(xiàn)變形的三維監(jiān)測，目前在土工離心模型試驗(yàn)中應(yīng)用的攝影測量技術(shù)僅限于對模型平面變形的測量。（2）本文提出的三維攝影測量技術(shù)應(yīng)用到軟基土石壩的離心模型試驗(yàn)中，試驗(yàn)中還采用了激光位移傳感器進(jìn)行模型監(jiān)測，試驗(yàn)結(jié)果表明兩種方法測得的變形趨勢一致，數(shù)值相近。表明本文提出的技術(shù)可以應(yīng)用于離心模型試驗(yàn)。（3）為了進(jìn)一步在土工離心模型試驗(yàn)中推廣應(yīng)用三維攝影測量技術(shù)，還需要提高測量精度，具體措施有：將用于標(biāo)定攝像機(jī)參數(shù)的標(biāo)記點(diǎn)設(shè)在模型箱壁上，每一步計(jì)算前均重新標(biāo)定攝像機(jī)的參數(shù)；試驗(yàn)中架設(shè)3臺攝像機(jī)，校正計(jì)算結(jié)果；考慮并解決由于攝像機(jī)畸變而引起的系統(tǒng)誤差。