溫芳，柏赟，李寧海，陳垚，陳紹寬，辛俊鵬

考慮線網(wǎng)可達(dá)性的城市軌道交通末班車時刻表優(yōu)化

溫芳，柏赟，李寧海，陳垚，陳紹寬，辛俊鵬

(北京交通大學(xué) 交通運輸學(xué)院，北京 100044)

城市軌道交通線網(wǎng)的OD(出行起訖點)可達(dá)性在運營結(jié)束前時段逐漸下降，提高該時段的線網(wǎng)關(guān)鍵OD可達(dá)性可以讓更多乘客在城市軌道交通系統(tǒng)內(nèi)完成出行，有助于提升服務(wù)水平。將運營結(jié)束前時段劃分為多個極小的時間間隔，在考慮運營結(jié)束延遲懲罰的基礎(chǔ)上構(gòu)建以提高時段內(nèi)各間隔起始時刻的關(guān)鍵OD可達(dá)對數(shù)之和為目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化各線路末班車的發(fā)車時刻。針對上述模型，采用最短路算法計算OD間是否可達(dá)并設(shè)計遺傳算法求解末班車發(fā)車時刻。以武漢地鐵為例，分析表明：在各線路發(fā)車時刻延遲總量不到15 min的前提下，可使運營結(jié)束前時段關(guān)鍵OD可達(dá)對數(shù)增加7.86%；在最晚發(fā)車時刻不延遲的情況下，也可使運營結(jié)束前時段關(guān)鍵OD可達(dá)對數(shù)增加1.37%。進(jìn)行最晚發(fā)車時刻靈敏度分析，通過對比不同程度地延遲最晚發(fā)車時刻對線網(wǎng)關(guān)鍵OD可達(dá)性影響幅度的分析，可以為合理地制定末班車時刻表提供依據(jù)。

城市軌道交通；末班車；時刻表；發(fā)車時刻；OD可達(dá)性

隨著城市軌道交通線網(wǎng)規(guī)模的擴大，大部分乘客在出行過程中需要在不同線路之間換乘。在運營結(jié)束前時段，如果部分線路之間的末班車時刻表無法有效銜接，乘客換乘失敗會導(dǎo)致其不能通過城市軌道交通方式直接到達(dá)目的地。因此，有必要對不同線路之間的末班車時刻表進(jìn)行協(xié)調(diào)優(yōu)化，讓更多的末班車乘客能成功抵達(dá)目的地。近年來，末班車時刻表的銜接優(yōu)化是一個較為熱門的研究問題。羅欽等[1]構(gòu)建了軌道交通網(wǎng)絡(luò)動態(tài)可達(dá)性的銜接模型，定義了完全可達(dá)、條件可達(dá)和不可達(dá)3個層次?？盗萚2?7]以換乘站換乘成功方向數(shù)最大化為優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)建了城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)末班車時刻表優(yōu)化模型，并設(shè)計遺傳算法求解。陳垚等[8]提出了地鐵末班車最短路算法，該算法可以求解乘客從起點站出發(fā)成功到達(dá)終點站所需的最晚出發(fā)時刻及出行方案。CHEN等[9]且通過延長換乘站停站時間，建立了以換乘成功客流量最大為目標(biāo)的時刻表優(yōu)化模型。杜婷婷[10]采用Dijkstra算法搜索運營結(jié)束前時段可達(dá)路徑。周瑋騰等[11]設(shè)計并實現(xiàn)了城市軌道交通大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)條件下的時變短路徑搜索算法。姚恩建等[12]提出了城市軌道交通動態(tài)可達(dá)性指標(biāo)及其量化方法，對廣州地鐵的動態(tài)和靜態(tài)可達(dá)性進(jìn)行了評價。徐瑞華等[13?14]從多線換乘接續(xù)的可達(dá)性和合理性兩方面構(gòu)造多向列車換乘銜接模型，根據(jù)早晚間客流特點建立了首末班列車發(fā)車時間域的計算方法。胡智敏[15]對末班車客流及乘客行為進(jìn)行了分析，指出在停站時間不延長的情況下不能同時實現(xiàn)同一換乘站所有方向的換乘銜接。對于乘客而言，能否在運營結(jié)束前成功到達(dá)目的地是至關(guān)重要的?，F(xiàn)實中，乘客在一次出行中可能需多次換乘，只有同一出行路徑的多次換乘均成功才能使乘客抵達(dá)目的地。既有研究僅對不同換乘站的換乘成功方向數(shù)或客流數(shù)進(jìn)行簡單相加作為優(yōu)化目標(biāo)，未考慮乘客的完整出行過程，不能最大化運營結(jié)束前時段的OD可達(dá)性。本文將運營結(jié)束前時段劃分為多個極小的時間間隔，以時段內(nèi)各間隔起始時刻的關(guān)鍵OD(由運營商根據(jù)客流或特殊OD的可達(dá)性需求來確定，本文視為已知條件)可達(dá)對數(shù)之和最大為目標(biāo)優(yōu)化各線路的末班車發(fā)車時刻?？紤]到推遲末班車發(fā)車時刻會給運營公司造成損失，為此，本文模型的優(yōu)化目標(biāo)考慮了收車時刻延遲的懲罰，以綜合優(yōu)化線網(wǎng)可達(dá)性和收車時刻，利用遺傳算法求解最優(yōu)的地鐵末班車時刻表。

1 問題描述

隨著城市軌道交通線網(wǎng)規(guī)模不斷擴大，不少乘客需要通過換乘抵達(dá)目的地。在運營結(jié)束前時段，如果部分線路之間的末班車時刻表無法有效銜接，會導(dǎo)致大量乘客無法通過城市軌道交通直接抵達(dá)目的地。本文旨在對不同線路之間的末班車時刻表進(jìn)行協(xié)調(diào)優(yōu)化，讓更多末班車乘客能成功抵達(dá)目的地。

對于只需換乘一次的乘客而言，能否抵達(dá)目的地取決于該乘客在換乘站的換乘富余時間。如圖1所示，換乘富余時間為換入線路末班車的出發(fā)時刻與換出線路的末班車乘客到達(dá)換乘站臺的時刻之差。若乘客步行至站臺的時刻不晚于末班車發(fā)車時刻，則換乘富余時間大于0，乘客換乘成功；否則，乘客到達(dá)站臺過晚，換乘富余時間小于0，則換乘失敗。

圖1 換乘過程示意圖

對于需多次換乘的乘客而言，單次換乘成功不能保證乘客成功抵達(dá)目的地。如圖2所示的OD對，只有在S1和S2站都換乘成功時，OD可達(dá)；在S1或S2換乘失敗，則OD不可達(dá)。

OD可達(dá)性與各線路的列車時刻表有關(guān)。以只需換乘一次的OD為例(如圖3所示)，乘客從O站出發(fā)，能否成功抵達(dá)D站，取決于S站的換乘富余時間是否大于0。換乘走行時間一般受車站設(shè)計限制難以調(diào)整，而列車到站時刻和換入線路列車的出發(fā)時刻是可變的，決定于列車運行圖。在運行圖編制中，列車停站時間和區(qū)間運行時間一般取固定標(biāo)尺。因此，本文假設(shè)各線列車的停站時間和區(qū)間運行時間固定不變，僅對各線路列車在首站的出發(fā)時刻進(jìn)行調(diào)整。圖3中，推遲線在S1站的發(fā)車時刻或提前′線在S2站的發(fā)車時刻，可以增大S站換乘富余時間，使乘客成功抵達(dá)D站。

圖2 2次換乘示意圖

圖3 2線交叉換乘示意圖

在運營結(jié)束前時段，線網(wǎng)OD可達(dá)性隨著時間的推移下降至0。從乘客角度出發(fā)，運營結(jié)束前時段內(nèi)關(guān)鍵OD可達(dá)性下降地越慢，線網(wǎng)的可達(dá)性越好，乘客抵達(dá)目的地的成功率越高。因此，本文將運營結(jié)束前時段劃分為多個極小的間隔，通過調(diào)整末班車時刻表使各間隔起始時刻的關(guān)鍵OD可達(dá)數(shù)之和最大。為了更加準(zhǔn)確地刻畫運營結(jié)束前時段關(guān)鍵OD可達(dá)對數(shù)，以及反映更為真實細(xì)致的線網(wǎng)關(guān)鍵OD可達(dá)性的下降過程，模型以末班車時刻表的最小單位為時間間隔。

盡管調(diào)整末班車首站發(fā)車時刻可以提高運營結(jié)束前時段的關(guān)鍵OD可達(dá)性，但首站發(fā)車時刻延遲會導(dǎo)致收車時刻延后，增加車站電費、員工工資等運營成本。為此，末班車時刻表優(yōu)化應(yīng)綜合考慮乘客需求和運營成本。本文以運營結(jié)束前時段內(nèi)各間隔起始時刻的關(guān)鍵OD可達(dá)對數(shù)之和與各列車收車延遲罰值的差值最大為目標(biāo)，優(yōu)化各線路末班車在首站的發(fā)車時刻。為了保證時刻表的可行性，本文在對時刻表進(jìn)行優(yōu)化時考慮車站發(fā)車間隔約束、發(fā)到間隔約束、最晚發(fā)車時刻約束等。

運營商所允許的最晚發(fā)車時刻對末班車時刻表優(yōu)化有直接的影響。本文案例將進(jìn)行最晚發(fā)車時刻靈敏度分析，對比不同最晚發(fā)車時刻下線網(wǎng)關(guān)鍵OD可達(dá)性和罰值，分析最晚發(fā)車時刻對目標(biāo)函數(shù)的影響，可以為運營商制定末班車時刻表提供 依據(jù)。

2 模型

2.1 變量定義

2.2 模型假設(shè)

1) 列車區(qū)間運行時間和停站時間固定不變。

2) 運營結(jié)束前時段的時刻表已知，且除末班車之外，其他列車時刻表固定不變。

3) 假設(shè)不同乘客的換乘走行時間相同。在運營結(jié)束前時段，乘客異質(zhì)性較小，走行時間波動較小。

4) 各線路末班車發(fā)車時刻可在一定范圍內(nèi)調(diào)整，但不晚于事前設(shè)定的最晚發(fā)車時刻。

5) 關(guān)鍵OD對由運營商根據(jù)客流需求和行政要求來決定，本文視為已知。

2.3 優(yōu)化目標(biāo)

模型優(yōu)化目標(biāo)為，運營結(jié)束前時段內(nèi)各間隔起始時刻的關(guān)鍵OD可達(dá)對數(shù)之和與各列車收車延遲罰值的差值最大，如式(1)所示。

列車收車延遲量t為優(yōu)化時刻表和初始時刻表中線路發(fā)車時刻的差值。當(dāng)優(yōu)化時刻表發(fā)車時刻提前時，列車收車延遲量t為0，如式(2)所示。

一個OD出行路徑中可能需要多次換乘，只有同一出行路徑的多次換乘均成功才能使OD可達(dá)。換乘過程能否成功取決于換乘站的換乘富余時間。換乘富余時間為換入線路列車的出發(fā)時刻與換出線路列車到站時刻、乘客換乘走行時間之差，如式(4)所示。

列車在中間站的到發(fā)時刻可以由首站發(fā)車時刻、區(qū)間運行時間和停站時間確定，如式(5)和(6)所示。

由于站間運行時間、停站時間固定，因此末班車在首站發(fā)車時刻延遲量等于收車時刻延遲量。

2.4 約束條件

為保證區(qū)間行車安全，末班車與次末班車的發(fā)車間隔應(yīng)大于等于最小發(fā)車間隔；為保證車站作業(yè)安全，在同一車站，末班車到站時刻與次末班車的發(fā)車時刻的間隔應(yīng)大于等于最小發(fā)到間隔。

考慮到列車在車輛段的夜間作業(yè)要求，應(yīng)避免線路過晚結(jié)束運營。由于列車運行過程中停站時間、運行時間固定，末班車在線路終點站的到站時刻取決于末班車的發(fā)車時刻。因此，當(dāng)末班車發(fā)車時刻早于最晚發(fā)車時刻時，末班車可在最晚運營時刻前到達(dá)終點站。

由于推遲末班車的發(fā)車時刻會使運營公司收車時刻變晚，增加運營公司的成本。因此，為避免優(yōu)化時刻表給運營公司帶來較大損失，優(yōu)化時刻表各線路收車總延遲時間應(yīng)小于運營公司設(shè)定的最大值。

3 求解算法

末班車時刻表優(yōu)化問題為NP難問題[2]，上述模型決策變量個數(shù)為，具有決策變量多、解的空間范圍大的特點(為線網(wǎng)中線路數(shù))。

3.1 遺傳算法

3.2 最短路算法

模型中的式(3)需要計算指定時刻下，線網(wǎng)中指定的O和D之間是否可達(dá)。CHEN等[9]提出了地鐵運營結(jié)束前時段最短路算法，能夠得到乘客從起點站成功到達(dá)終點站可行的最晚出發(fā)方案。通過比較最晚出發(fā)時刻和指定時刻，即可確定某一時刻指定O和D之間是否可達(dá)。算法的具體內(nèi)容如下。

算法具體步驟如下。其中，表示起點站，表示終點站，(,,)表示(,)方向倒數(shù)第輛車在站的出發(fā)時刻，(,)表示節(jié)點指向的弧，(,)表示(,)的標(biāo)記值，(,)表示(,)的父代路徑，是所有從重要節(jié)點出發(fā)的弧的集合。

圖4 遺傳算法流程圖

步驟1 初始化：將與在相同線路且指向的弧標(biāo)記，標(biāo)記值為該線路末班車在對應(yīng)站點上的出發(fā)時刻。其余弧的標(biāo)記值為0。

步驟3 更新永久標(biāo)記點：將集合HP中(,)最大的弧(*,)刪去，起始節(jié)點*永久標(biāo)號；

4 案例分析

本文以武漢地鐵為對象進(jìn)行案例分析。武漢地鐵網(wǎng)絡(luò)由5條線路組成，共有12個換乘站，134個車站。由于運營結(jié)束前時段主客流方向為出城方向，為簡化問題，案例結(jié)合實際客流數(shù)據(jù)，選擇線網(wǎng)中心的6個換乘站為關(guān)鍵起點站，線網(wǎng)外圍的29個站點為關(guān)鍵終點站，考慮174個關(guān)鍵OD對的可達(dá)性。線網(wǎng)如圖5所示，紅點表示起點站，綠點表示終點站。

圖5 武漢地鐵網(wǎng)絡(luò)示意圖

4.1 現(xiàn)行時刻表

現(xiàn)行時刻表末班車首站發(fā)車時刻如表1所示，大多數(shù)線路的發(fā)車時刻統(tǒng)一設(shè)置為22:30。

表1 現(xiàn)行時刻表末班車首站發(fā)車時刻

現(xiàn)行時刻表中，運營結(jié)束前時段關(guān)鍵OD可達(dá)對數(shù)之和為8 739，其關(guān)鍵OD可達(dá)對數(shù)隨時間變化如圖6所示?？梢钥闯?，現(xiàn)行時刻表下，22:20開始出現(xiàn)不可達(dá)的關(guān)鍵OD對，22:52開始可達(dá)性小于50%，所有關(guān)鍵OD均不可達(dá)時刻為23:14。

4.2 優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化時刻表末班車發(fā)車時刻如表2所示。優(yōu)化時刻表中，運營結(jié)束前時段關(guān)鍵OD可達(dá)對數(shù)之和為9 426，線路發(fā)車延遲時間之和為14 min。其關(guān)鍵OD可達(dá)對數(shù)隨時間變化如圖6和表3所示。優(yōu)化時刻表下，22:20開始出現(xiàn)不可達(dá)的關(guān)鍵OD對，22:57開始可達(dá)性小于50%，所有關(guān)鍵OD均不可達(dá)時刻為23:16。優(yōu)化時刻表的目標(biāo)函數(shù)值為9 202，目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化效果為5.80%。運營結(jié)束前時段關(guān)鍵OD可達(dá)對數(shù)之和為9 426，增加了7.86%。

從圖6可以看出，優(yōu)化時刻表下的線網(wǎng)可達(dá)性明顯高于現(xiàn)行時刻表。即優(yōu)化后的時刻表，網(wǎng)絡(luò)可達(dá)性下降速度相比原時刻表更慢，乘客在同一時刻下可到達(dá)的站點相比原時刻表的更多，表明模型的優(yōu)化效果好。

表2 優(yōu)化時刻表末班車首站發(fā)車時刻

表3 現(xiàn)行、優(yōu)化時刻表的關(guān)鍵OD可達(dá)性對比

圖6 現(xiàn)行、優(yōu)化時刻表可達(dá)性對比

4.3 最晚發(fā)車時刻靈敏度分析

末班車最晚發(fā)車時刻約束的上限T會直接影響時刻表的優(yōu)化效果。分析該參數(shù)對時刻表優(yōu)化效果的影響，可以為運營公司選擇各線路的收車時刻提供依據(jù)。

仍以武漢地鐵網(wǎng)絡(luò)為對象，且關(guān)鍵OD的選擇、運營結(jié)束前時段的范圍、現(xiàn)行時刻表以及目標(biāo)函數(shù)的計算方法與前文案例相同，通過調(diào)整運營商所允許的最晚發(fā)車時刻T，分析不同T取值下目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化效果，結(jié)果如表4所示。其中，? T的含義為，與現(xiàn)行時刻表的最晚發(fā)車時刻22:32相比，優(yōu)化時刻表最晚發(fā)車時刻變化量。

表4 最晚發(fā)車時刻靈敏度分析

可以看出，隨著地鐵網(wǎng)絡(luò)末班車最晚發(fā)車時刻的推遲，目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化效果逐漸增強。但二者并不是嚴(yán)格正相關(guān)的，當(dāng)最晚發(fā)車時刻推遲到22:34，目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化效果不再增加。這是因為過度推遲末班車發(fā)車時刻會給運營公司帶來較大的損失，抵消了推遲發(fā)車時刻所增加的關(guān)鍵OD可達(dá)對數(shù)。因此，末班車最晚發(fā)車時刻存在最優(yōu)值，可以通過參數(shù)靈敏度分析進(jìn)行確定。

5 結(jié)論

1) 模型通過對各線路末班車發(fā)車時刻的調(diào)整，可以降低運營結(jié)束前時段線網(wǎng)可達(dá)性的下降速度，有效提高時段內(nèi)線網(wǎng)關(guān)鍵OD的可達(dá)性。

2) 推遲末班車的收車時刻可以提高運營結(jié)束前時段的線網(wǎng)關(guān)鍵OD可達(dá)性，但二者并不是嚴(yán)格正相關(guān)的。在實際應(yīng)用中，運營公司可以進(jìn)行靈敏度分析，來合理選擇各線路末班車收車時刻。

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Timetable synchronization of last trains in urban rail systems to maximize network accessibility

WEN Fang, BAI Yun, LI Ninghai, CHEN Yao, CHEN Shaokuan, XIN Junpeng

(School of Traffic and Transportation, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)

In urban rail transit, the accessibility of the key ODs gradually decreases during the period before the service closure. Promoting the accessibility of the key ODs (origin and destination) in metro network before the service closure benefits to improving the service level. A programming model was proposed to optimize the departure time of the last trains on different metro lines. The objective was to maximize the number of accessible key ODs in metro network, while the timetable adjustment kept minimal. To solve the proposed model, the shortest path algorithm was applied to compute the accessibility of each OD, and the genetic algorithm was employed to find the optimal departure time of the last train for each line. The case studies on Wuhan metro network indicates that, under the premise that the total delay time of each line was less than 15 minutes, the number of accessible key ODs before the service closure increased by 7.86% with the optimized timetable, in comparison with the practical timetable, and without any delay on service closure time, the number of accessible key ODs before the service closure still grew by 1.37%. Finally, the sensitivity analysis was carried out to investigate the influence of different service closure time on the accessibility of the key ODs in the network, which provided a basis for the rational selection on the service closure time of different metro lines.

urban railway transit; last train; timetable; departure time; OD accessibility

U239.5

A

1672 ? 7029(2019)06? 1569 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.06.029

2018?08?24

國家自然科學(xué)基金資助項目(71621001, 71571016)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目(2018JBM025)

柏赟(1985?)，男，湖南祁陽人，副教授，博士，從事城市軌道交通運輸組織研究；E?mail：yunbai@bjtu.edu.cn

(編輯 蔣學(xué)東)