王貴春，孫瑜祥，張杰，吉喆，王亞欣

車隊(duì)作用下曲線連續(xù)梁橋動力響應(yīng)分析

王貴春，孫瑜祥，張杰，吉喆，王亞欣

(鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

以橋面不平順為激勵，對某曲線連續(xù)梁橋進(jìn)行數(shù)值分析，研究其在車隊(duì)作用下的動力響應(yīng)。采用傅里葉逆變換法模擬橋面不平順，使用正態(tài)分布函數(shù)模擬隨機(jī)車流，利用ANSYS編寫迭代計(jì)算的APDL命令流求解車橋系統(tǒng)振動微分方程，針對不同工況分析橋梁動力響應(yīng)。研究結(jié)果表明：就所研究工況，多車過橋比單車過橋引起的橋梁靜位移小，而沖擊效應(yīng)大；路面不平度增加使橋梁豎向和扭轉(zhuǎn)振動響應(yīng)增大，但對橫向振動影響很弱；曲率半徑減小使橋梁豎向和橫向振動更強(qiáng)烈，并使橋梁的靜扭轉(zhuǎn)角增大；曲率半徑小于150 m時，對橋梁動力響應(yīng)的影響顯著。

曲線橋；汽車-橋梁耦合振動；數(shù)值模擬；動力響應(yīng)

汽車?橋梁耦合振動一直是受到科研工作者廣泛關(guān)注并致力研究的課題。車輛和橋梁之間的動力相互作用使車橋系統(tǒng)的動力響應(yīng)求解變得復(fù)雜。通常的做法是建立車、橋子系統(tǒng)的振動微分方程并進(jìn)行聯(lián)立迭代求解。從早期對勻速移動常量力作用下簡支梁振動問題的分析，到現(xiàn)今有限元軟件和數(shù)值模擬方法的廣泛運(yùn)用，車橋耦合振動問題的研究經(jīng)歷了長時期的發(fā)展。車輛和橋梁模型的模擬越來越精確，考慮的因素越來越多，橋梁橋型也從一開始的簡支梁橋發(fā)展成各種橋型。隨著大型立交系統(tǒng)的建設(shè)，曲線梁橋近年來發(fā)展迅速。曲線梁橋易發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動，急需就相關(guān)問題做進(jìn)一步研究。Tan等[1]在對等截面曲線梁的研究中考慮橋梁慣性力和瞬態(tài)荷載。美國聯(lián)邦公路管理局組建的研究組對曲線梁進(jìn)行了一系列理論和試驗(yàn)研究，基于其研究成果以及Maryland大學(xué)的相關(guān)工作，形成了曲線梁應(yīng)力設(shè)計(jì)準(zhǔn)則和鋼彎梁的臨時設(shè)計(jì)規(guī)程[2]。HUANG等[3?4]采用具有11個自由度的非線性模型模擬移動車輛，以國家規(guī)范中的功率譜密度函數(shù)模擬4個橋面等級進(jìn)行車橋耦合振動分析，用有限元法研究了多梁式I型梁和曲線薄壁箱梁在車輛荷載作用下的動力響應(yīng)特征。黃新藝[5]基于剪力柔性梁格理論提出適用于曲線梁橋動力分析的三梁式模型，對一座曲線梁橋動力響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值模擬計(jì)算，同時進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，得出很多有價值的結(jié)論。在以往的研究中，雖然有對車流作用下車橋耦合振動的分析，但對曲線梁橋的研究，鮮有多車輛荷載作用情況的報道。黃新藝[5]的研究包括了縱向車輛數(shù)對振動的影響，最大車輛數(shù)為3輛，是作為特殊工況來研究的。安忠海[6]在對曲線鋼—混凝土組合梁橋的研究中加入“行車數(shù)量”這一影響因素，但只對比了1輛車和2輛車作用下的橋梁響應(yīng)。上述研究不能完全體現(xiàn)出多車輛作用下曲線梁橋車橋耦合振動規(guī)律。在此，本文以某曲線連續(xù)梁橋?yàn)檠芯繉ο螅治鲈诙嘬囕v作用下的橋梁動力響應(yīng)。

1 計(jì)算模型及求解方法

將車輛模型簡化為三維多剛度體系，用有限元法模擬橋梁結(jié)構(gòu)，假設(shè)橋面與車輪間為點(diǎn)接觸，且車輛與橋面間沒有相對橫向位移[7]。

1.1 計(jì)算模型

1.1.1 橋梁模型的建立

選取一座三跨曲線連續(xù)梁橋作為研究對象，橋跨為40 m+50 m+40 m，主梁橫截面和橋跨布置如圖1和圖2所示。

圖1 箱梁橫截面示意圖

圖2 橋跨分布示意圖

1.1.2 車輛模型的建立

建立三軸9自由度空間整車模型[8]，車體考慮浮沉、側(cè)傾和俯仰3個自由度，車輪僅考慮豎向位移的自由度。車體三維模型如圖3所示，其中m為車體質(zhì)量；m1~m6為6個車輪(包括車懸架)的質(zhì)量；k1~k6和c1~c6分別為車懸架剛度和阻尼；k1~k6和c1~c6分別為輪胎剛度和阻尼；z1~z6為6個車輪質(zhì)心處豎向位移；z表示車體質(zhì)心處豎向位移；表示車體質(zhì)心處俯仰角位移；表示車體質(zhì)心處側(cè)傾角位移。

車輛參數(shù)：m為24 990 kg；m1和m2為335 kg；m3~ m6為670 kg；k1和k2為718 kN/m；k3~k6為1 652 kN/m；c1~c6為2.4×105kg/s；k1和k2為2 680 kN/m；k3~k6為4 809 kN/m；c1~c6為2 340 kg/s。

1.1.3 橋面不平順的模擬

橋面不平順的模擬方法較多，包括三角級數(shù)法、白噪聲法等。其中傅里葉逆變換法思路明確，便于操作，且利用這種方法得到的路面不平度，其對應(yīng)的功率譜密度可以與給定的功率譜密度一致[9]，因此，選取傅里葉逆變換法進(jìn)行橋面不平順的數(shù)值模擬。路面不平度的功率譜密度可用下式 擬合：

式中：n為空間頻率；n0為參考空間頻率，取0.1 m?1；Gx(n0)為參考空間頻率下的路面功率譜密度，稱為路面不平度系數(shù)。ω為頻率指數(shù)，它決定路面功率譜密度的頻率結(jié)構(gòu)，其值為2。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)意義上的汽車主要頻率范圍選擇合適的有效空間頻率范圍。對一段長度為的路面進(jìn)行離散采樣。設(shè)樣本數(shù)為，x(=0,1,…,?1)為路面不平度的采樣數(shù)據(jù)，為虛數(shù)單位，則x的離散傅里葉變換為：

式中：xm即為橋面不平順的數(shù)值。圖4為利用上述方法模擬出的B級橋面不平順樣本函數(shù)。

1.2 振動微分方程

根據(jù)前文所述車輛模型和橋梁模型建立車輛和橋梁振動微分方程[9]。

車輛和橋梁動力耦合作用通過車輪與橋面接觸點(diǎn)處的位移協(xié)調(diào)條件和作用力的平衡條件實(shí)現(xiàn)。

1) 位移協(xié)調(diào)條件：假設(shè)輪胎與路面始終保持緊密接觸且不脫離，則路面與車輪的相對豎向位移為

式中：z為路面在其與第個車輪接觸點(diǎn)處的豎向位移；z為第個車輪的豎向位移；r()為第個車輪與路面接觸點(diǎn)處的路面不平順值。

2) 力的平衡條件：輪胎與路面接觸點(diǎn)的相互作用力遵循牛頓第三定律，即車輛和路面之間的作用力大小相等、方向相反：

1.3 振動微分方程的求解及收斂控制

對上述振動微分方程使用Newmark-β法進(jìn)行分離迭代求解，利用有限元軟件ANSYS的前、后處理和求解能力，使用APDL語言進(jìn)行二次開發(fā)，編寫命令流進(jìn)行求解。采用位移收斂準(zhǔn)則控制計(jì)算過程，即

2 數(shù)值分析

用上述方法計(jì)算橋梁的動力響應(yīng)，車重為30 t，車速為10 m/s，橋梁結(jié)構(gòu)阻尼比為0.02，車輛荷載無偏心。多車過橋時，使用正態(tài)分布函數(shù)模擬隨機(jī)車流。統(tǒng)計(jì)信息表明，車輛間距具有隨機(jī)特性，服從對數(shù)正態(tài)分布規(guī)律。設(shè)是車輛間距，=ln， 則有

引入沖擊系數(shù)的概念：沖擊系數(shù)是指汽車通過橋梁時對橋梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的動力效應(yīng)增大系數(shù)，即汽車荷載的動力影響[10]。沖擊系數(shù)的表達(dá)式如下：

2.1 路面不平度的影響

路面不平度是車橋耦合振動的重要影響因素，在此分別對單車、多車過橋時路面不平度對橋梁動力響應(yīng)的影響進(jìn)行分析和對比。

2.1.1 路面不平度對橋梁豎向振動的影響

多車、單車過橋時中跨跨中豎向位移時程曲線如圖5~6所示。

圖5 多車作用下中跨跨中豎向位移時程曲線

對照圖5和圖6可知，與單車過橋時的情況不同，多車過橋時，豎向位移響應(yīng)呈現(xiàn)出一定的周期性，這個周期和各個車輛運(yùn)行至橋跨跨中的時間有關(guān)。各周期內(nèi)的位移幅值出現(xiàn)在某輛車行駛到該跨跨中前后。

圖7為中跨和邊跨跨中豎向位移幅值。由圖7可知，多車運(yùn)行時，中跨跨中的豎向位移幅值反而小于單車運(yùn)行時的情況。這是因?yàn)榍昂筌囕v作用使橋梁中跨產(chǎn)生的正位移抵消了中跨上車輛作用產(chǎn)生的負(fù)位移，從而造成多車運(yùn)行時橋梁的靜位移小于單車運(yùn)行時的情況，并影響到總體豎向位移。而對于邊跨的情況，多車作用造成的靜位移減小不像中跨的情況那么明顯，而多車作用造成的動力效應(yīng)較為明顯，因而多車作用時其總位移值大于單車作用的情況。

圖6 單車作用下中跨跨中豎向位移時程曲線

圖7 豎向位移幅值曲線

圖8為中跨和邊跨跨中豎向位移沖擊系數(shù)。由圖8可知，不論是中跨還是邊跨，多車運(yùn)行時豎向振動位移沖擊系數(shù)大于單車運(yùn)行的情況。以B級路面不平順為例，在中跨跨中，單車運(yùn)行時豎向振動位移沖擊系數(shù)為0.154，多車運(yùn)行時為0.329，比單車運(yùn)行時增大113.63%。這說明多車運(yùn)行時，不同車輛造成的振動效應(yīng)疊加，會使車橋耦合振動的動力響應(yīng)增大。

圖8 豎向位移沖擊系數(shù)曲線

需要注意的是，關(guān)于中跨與邊跨豎向振動幅度受車輛運(yùn)行方式的影響，需要考慮橋梁跨度和車輛間距等因素的作用。隨著橋跨與車距組合的變化，振動的疊加效果可能會出現(xiàn)多種不同的情況。在某些情況下，多車運(yùn)行時的橋梁豎向振動可能比單車運(yùn)行時的振動強(qiáng)烈得多。除了振動位移幅值的變化外，橋梁各跨跨中豎向振動位移時程曲線的形式也可能會出現(xiàn)一些變化。

此外，由圖7和圖8可知，隨著路面不平度的增加，橋梁豎向振動位移幅值和沖擊系數(shù)都迅速增大。以沖擊系數(shù)為例，多車運(yùn)行時，在A級路面不平順下，中跨跨中豎向振動位移沖擊系數(shù)為0.252，而B，C和D 3個不平順等級對應(yīng)的沖擊系數(shù)分別比前一級增大57.94%，112.31%和62.96%，增大非常明顯。

2.1.2 路面不平度對橋梁扭轉(zhuǎn)振動的影響

圖9為多車作用下中跨跨中扭轉(zhuǎn)角時程曲線。

圖9 多車作用下中跨跨中扭轉(zhuǎn)角時程曲線

由圖9可以看到，多車過橋時，橋跨跨中的扭轉(zhuǎn)角響應(yīng)隨時間變化的規(guī)律與豎向位移的情況 相似。

各個路面等級對應(yīng)的中跨和邊跨跨中扭轉(zhuǎn)角幅值及其沖擊系數(shù)變化情況如圖10~11所示。

圖10 扭轉(zhuǎn)角幅值曲線

圖11 扭轉(zhuǎn)角沖擊系數(shù)曲線

由圖10可知，扭轉(zhuǎn)振動響應(yīng)，數(shù)值上的變化規(guī)律與豎向振動也是相似的，都表現(xiàn)為多車運(yùn)行時動力響應(yīng)比單車的情況強(qiáng)，靜力響應(yīng)比單車的情況弱。在中跨，多車作用時的扭轉(zhuǎn)角幅值略小于單車作用的情況。在邊跨，多車作用時的扭轉(zhuǎn)角幅值大于單車作用的情況。由圖11可知，不論是中跨還是邊跨，多車運(yùn)行時扭轉(zhuǎn)振動角位移沖擊系數(shù)大于單車運(yùn)行的情況。

同樣，隨著路面不平度的增大，橋梁的扭轉(zhuǎn)振動也變得越來越強(qiáng)烈。

2.1.3 路面不平度對橋梁橫向振動的影響

圖12為多車作用下中跨跨中橫向位移時程 曲線。

圖12 多車作用下中跨跨中橫向位移時程曲線

由圖12可見，橫向振動位移時程曲線在形式與豎向振動的情況相似。但需要注意的是，它們的本質(zhì)是不同的，靜載作用下，橋梁存在豎向位移，但沒有橫向位移。圖13為橫向振動位移幅值隨橋面等級變化的情況。

圖13 橫向振動位移幅值曲線

由圖13可見，橋梁橫向振動同樣存在類似規(guī)律，即中跨多車運(yùn)行時振動位移幅值小于單車運(yùn)行的情況，邊跨多車作用下振動位移幅值略大于單車作用的情況。

此外，不論是從折線圖還是位移時程曲線都可以看出，隨著路面不平度的增大，橋梁的橫向振動響應(yīng)并沒有明確的變化趨勢，變化幅度也非常微弱，約是豎向振動的3.5%左右，可以認(rèn)為橋面不平順對曲線橋的橫向振動的影響很小。

2.2 橋梁曲率半徑的影響

曲率半徑是曲線橋的重要幾何參數(shù)，正是由于結(jié)構(gòu)初始曲率的存在，橋梁在不受偏心荷載作用時仍會出現(xiàn)扭矩和扭轉(zhuǎn)角。選取50~350 m范圍內(nèi)的一系列曲率半徑值對橋梁各項(xiàng)動力響應(yīng)進(jìn)行分析，同時計(jì)算同跨度的直線橋(即曲率半徑為∞)的動力響應(yīng)作為參照。鑒于前面已對單車運(yùn)行和多車運(yùn)行時橋梁動力響應(yīng)的差別進(jìn)行了研究，在此只討論多車運(yùn)行時橋梁動力響應(yīng)隨曲率半徑的變化規(guī)律。車速取10 m/s，路面不平度為B級。

2.2.1 曲率半徑對橋梁豎向振動的影響

圖14為中跨跨中豎向位移時程曲線，圖15為位移沖擊系數(shù)隨曲率半徑變化的情況。

圖14 中跨跨中豎向位移時程曲線

圖15 豎向位移沖擊系數(shù)曲線

由圖15可知，隨著曲率半徑的增大，橋梁豎向振動響應(yīng)總體呈現(xiàn)減小的趨勢，在曲率半徑小于150 m時變化幅度很大，曲率半徑大于150 m時變化幅度減緩。這說明當(dāng)曲率半徑增大到一定程度后對橋梁的動力響應(yīng)影響很弱。

2.2.2 曲率半徑對橋梁扭轉(zhuǎn)振動的影響

圖16為中跨跨中扭轉(zhuǎn)角位移時程曲線，圖17~18為扭轉(zhuǎn)角幅值和位移沖擊系數(shù)隨曲率半徑變化的情況。

圖16 中跨跨中扭轉(zhuǎn)角時程曲線

圖17 扭轉(zhuǎn)角幅值曲線

圖18 扭轉(zhuǎn)角沖擊系數(shù)曲線

由圖17~18可見，扭轉(zhuǎn)振動角位移幅值隨曲率半徑增大而減小的幅度很大，而振動扭轉(zhuǎn)角沖擊系數(shù)減小的幅度很小。這說明曲率半徑的減小會使橋梁靜扭轉(zhuǎn)角增大，但并不會造成更大的扭轉(zhuǎn)沖擊效應(yīng)。另外，扭轉(zhuǎn)角幅值和沖擊系數(shù)隨曲率半徑的變化也是在半徑小于150 m時較明顯，在半徑大于150 m時較微弱。

2.2.3 曲率半徑對橋梁橫向振動的影響

圖19~20為中跨跨中橫向位移時程曲線和位移幅值隨曲率半徑變化的情況。

圖19 多車作用下中跨跨中橫向位移時程曲線

圖20 橫向振動位移幅值曲線

由圖20可知，隨著曲率半徑的增大，橋梁橫向位移大幅度減小，在曲率半徑小于150 m時變化尤其明顯。曲率半徑為100 m時，中跨跨中橫向振動位移幅值為1.339×10?2 mm，曲率半徑為50 m時幅值為2.640×10?2 mm，增大了197.16%。在曲率半徑大于150 m時，其變化幅度也大于豎向振動位移幅值的變化幅度，曲率半徑為250 m時，中跨跨中橫向振動位移幅值為0.488×10?2 mm，曲率半徑為200 m時幅值為0.659×10?1 mm，增大了35.04%，可見曲率半徑對橋梁的橫向振動位移影響很大。

3 結(jié)論

1) 基于本文的研究工況，在橋面不平順的激勵下，當(dāng)相鄰橋跨有車輛運(yùn)行時，多車過橋比單車過橋時的橋梁靜位移減小，而沖擊效應(yīng)增大。

2) 隨著路面不平度的增大，橋梁豎向振動和扭轉(zhuǎn)振動的各項(xiàng)動力響應(yīng)均呈現(xiàn)明顯增加的趨勢。路面不平度對橋梁橫向振動的影響很弱。

3) 隨著曲率半徑減小，橋梁動力響應(yīng)增大。曲率半徑小于150 m時，其對動力響應(yīng)的影響顯著；大于150 m時，影響較弱。

4) 關(guān)于扭轉(zhuǎn)振動，橋梁扭轉(zhuǎn)角受曲率半徑的影響較為敏感，而沖擊系數(shù)受到的影響很小。

[1] Tan C P, Shore S. Dynamic response of a horizontally curved bridge[J]. Journal of the Structural Division, ASCE, 1968, 94: 761?781.

[2] American Association of State Highway and Transportation Officials. AASHTO LRFD bridge design specifications[S]. 2004.

[3] HUANG Dongzhou, WANG Tonlo, Shahawy M. Dynamic behavior of horizontally curved I-girder bridges[J]. Computers and Structures, 1995, 57(4): 703? 714.

[4] HUANG Dongzhou, WANG Tonlo, Shahawy M. Vibration of horizontally curved box girder bridges due to vehicles[J]. Computers and Structures, 1998, 60: 513? 528.

[5] 黃新藝. 混凝土連續(xù)曲線梁橋在車輛荷載下的動力響應(yīng)研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2008. HUANG Xinyi. Dynamic response research of continuous curved concrete bridges under moving vehicles[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2008.

[6] 安忠海. 車輛荷載作用下曲線鋼—混凝土組合箱梁橋的動力性能研究[D]. 西安: 長安大學(xué), 2008. AN Zhonghai. Study of the structural dynamic behavior of curved composite concrete steel box girder bridges based on the vehicle load[D]. Xi’an: Chang’an University, 2008.

[7] 王貴春, 李武生. 斜拉橋在多車輛作用下的動力響應(yīng)分析[J]. 橋梁建設(shè), 2014, 44(6): 81?87. WANG Guichun, LI Wusheng. Analysis of dynamic response of cable-stayed bridge under action of multiple vehicles[J]. Bridge Construction, 2014, 44(6): 81?87.

[8] 趙露薇. 大跨度公路鋼管混凝土拱橋車橋耦合振動分析[D]. 鄭州: 鄭州大學(xué), 2017. ZHAO Luwei. The analysis of vehicle-bridge coupling vibration of CFST[D]. Zhengzhou: Zhengzhou University, 2017.

[9] 劉獻(xiàn)棟, 鄧志黨. 基于逆變換的路面不平度仿真研究[J]. 中國公路學(xué)報, 2005, 18(1): 122?126. LIU Xiandong, DENG Zhidang. Study of simulation of road roughness based on inverse transform[J]. China Journal of Highway and Transport, 2005, 18(1): 122?126.

[10] JTG D60, 公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范[S]. JTG D60, General specifications for design of highway bridges and culverts[S].

The analysis on dynamic responses of curved continuous bridge due to vehicle flow

WANG Guichun, SUN Yuxiang, ZHANG Jie, JI Zhe, WANG Yaxin

(School of Civil Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China)

A curved continuous bridge was analyzed to research its dynamic responses due to vehicle flow on the basis of taking pavement roughness as excitation. Using the inverse Fourier transform method to simulate the value of road roughness, the iterative calculation command stream to solve differential coupled vibration equations of vehicle-bridge systems was compiled in APDL language in ANSYS computer software to analyze bridge dynamic responses separately for different working conditions. The results indicate that the static displacements due to vehicle flow are less than those due to single vehicle and the impact effects due to vehicle flow are more than those due to single vehicle in the view of research conditions; the increment of road roughness will make the vertical and torsional dynamic responses of bridge increase and it has little influences on lateral vibration; The decrement of the radius of curvature will make the vertical and horizontal vibration of the bridge be more severe and increase the static twist angle of the bridge, and the case is more especially significant when the radius is less than 150 m.

curved bridges; vehicle-bridge coupled vibration; numerical simulation; dynamic response

U441.3；448.21

A

1672 ? 7029(2019)06? 1476 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.06.017

2018?08?29

國家自然科學(xué)基金青年資金資助項(xiàng)目(51408554)

王貴春(1962?)，男，遼寧黑山人，教授，博士，從事橋梁結(jié)構(gòu)研究；E?mail：guichunwang@163.com

(編輯 陽麗霞)