朱言旦，魏東，劉深深，曾磊，＊，桂業(yè)偉

1.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，綿陽(yáng) 621000 2.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 計(jì)算空氣動(dòng)力研究所，綿陽(yáng) 621000

結(jié)構(gòu)熱試驗(yàn)是對(duì)飛行器相關(guān)材料和結(jié)構(gòu)進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間熱響應(yīng)考核的重要試驗(yàn)方法［1］，而石英燈陣輻射加熱以其熱慣性小、便于控制、方便調(diào)整結(jié)構(gòu)、對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)適應(yīng)性強(qiáng)等特點(diǎn)在高超聲速飛行器結(jié)構(gòu)熱試驗(yàn)中獲得廣泛應(yīng)用［2］。

對(duì)于利用石英燈陣模擬均勻氣動(dòng)加熱，目前國(guó)內(nèi)外已進(jìn)行了大量的研究，發(fā)展了包括理論解析方法［3－5］、蒙特卡羅方法［6］及其相關(guān)簡(jiǎn)化方法［7］在內(nèi)的數(shù)值模擬方法，并開(kāi)展了相關(guān)試驗(yàn)研究。對(duì)于利用石英燈陣模擬大面積的非均勻氣動(dòng)加熱，目前一般做法是將試驗(yàn)區(qū)域進(jìn)行離散分區(qū)［8－9］，分區(qū)內(nèi)仍舊利用石英燈陣模擬均勻熱流，分區(qū)之間利用隔板等隔斷措施來(lái)避免分區(qū)之間的干擾以達(dá)到各分區(qū)之間非均勻熱流分布的效果。雖然分區(qū)模擬的方法可以很大程度上簡(jiǎn)化控制，并已 廣 泛 應(yīng) 用 于 材 料［10］、結(jié) 構(gòu)［11－12］甚 至 是 整機(jī)［13］的結(jié)構(gòu)熱考核試驗(yàn)中，但有限的分區(qū)導(dǎo)致石英燈陣得到的非均勻熱流分布呈區(qū)塊性非均勻分布，分區(qū)邊緣處熱流存在間斷，能夠達(dá)到的模擬加熱過(guò)程與實(shí)際飛行條件下加熱過(guò)程有較大差異，給試驗(yàn)過(guò)程帶來(lái)較大誤差。

同時(shí)航空航天技術(shù)的發(fā)展對(duì)飛行器綜合一體化熱／能量管理系統(tǒng)提出越來(lái)越高的需求，這就要求在結(jié)構(gòu)考核試驗(yàn)中同時(shí)實(shí)現(xiàn)表面熱流加載和進(jìn)入飛行器內(nèi)部熱量的精確控制，而傳統(tǒng)的分區(qū)模擬通常是極限考核，越來(lái)越難以滿足精細(xì)化模擬的需求。為了利用石英燈陣得到整體連續(xù)性、光順性、局部分布特征更好的非均勻熱流分布，朱言旦等提出了一種通過(guò)異化調(diào)控各石英燈功率來(lái)實(shí)現(xiàn)非均勻氣動(dòng)加熱的非分區(qū)模擬方法［14］，該方法基于遺傳算法通過(guò)反向設(shè)計(jì)優(yōu)化石英燈陣中各燈的功率實(shí)現(xiàn)非均勻氣動(dòng)加熱的石英燈陣非分區(qū)整場(chǎng)模擬，并對(duì)大面積二維非均勻氣動(dòng)加熱進(jìn)行了模擬，初步驗(yàn)證了該非分區(qū)模擬非均勻氣動(dòng)加熱方法的可行性，但對(duì)于梯度較大的位置熱流模擬結(jié)果偏差較大。

利用石英燈陣進(jìn)行非均勻氣動(dòng)加熱非分區(qū)模擬試驗(yàn)時(shí)，通常需要根據(jù)試驗(yàn)表面的溫度實(shí)時(shí)計(jì)算燈陣各燈功率，而基于遺傳算法的功率優(yōu)化算法很難滿足實(shí)時(shí)性的需求，為進(jìn)一步探索并改進(jìn)非分區(qū)模擬非均勻氣動(dòng)加熱的方法以滿足快速設(shè)計(jì)需求，并且對(duì)大梯度熱流模擬提出可能的改進(jìn)方向，本文建立了對(duì)石英燈陣功率進(jìn)行異化調(diào)控的線性分析方法，對(duì)石英燈陣直接模擬非均勻氣動(dòng)加熱的優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了研究。

1 理論方法

1.1 石英燈陣熱流分布理論解析方法及驗(yàn)證

求解石英燈陣熱流分布的方法有理論解析方法（THE）、蒙特卡羅方法（MCM）及其相關(guān)簡(jiǎn)化方法等，文獻(xiàn)［15］對(duì)不同方法進(jìn)行了對(duì)比分析，結(jié)果表明，理論解析方法和蒙特卡羅方法均可較好地進(jìn)行簡(jiǎn)單燈陣（平直石英燈＋平面反射屏）的優(yōu)化設(shè)計(jì)，但理論解析方法具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)。因此，為簡(jiǎn)化計(jì)算，本文采用理論解析方法進(jìn)行計(jì)算分析。理論解析方法［3］將單個(gè)石英燈簡(jiǎn)化為一個(gè)表面均勻的黑體，通過(guò)理論推導(dǎo)獲得單個(gè)石英燈熱流分布。以單個(gè)石英燈中心在平板測(cè)試面上的投影位置為原點(diǎn)，石英燈軸向?yàn)閤軸，垂向?yàn)閥軸建立坐標(biāo)系，如圖1所示，則單個(gè)石英燈在平板接收面上的輻照熱流可以表示為

式中：qs（x，y）為平板上坐標(biāo)為（x，y）處的輻照熱流；Q0為單個(gè)石英燈發(fā)射功率；H 為單個(gè)石英燈中心距平板的距離；L為單個(gè)石英燈有效加熱長(zhǎng)度，此處取為燈絲發(fā)熱長(zhǎng)度。

石英燈陣熱流分布由單燈熱流分布疊加獲得。文獻(xiàn)［14］指出，在石英燈陣高度和間距較小時(shí)，線性疊加和直接模擬結(jié)果會(huì)有明顯差異。本文的研究對(duì)象為如圖1所示的由10支石英燈均勻并排排列組成的石英燈陣，石英燈有效加熱長(zhǎng)度為200mm，外徑為10mm，間隔為20mm，石英燈陣高度為20mm。對(duì)于一維排列的石英燈陣，沿石英燈軸向的熱流分布不可控，故以石英燈垂直方向的熱流分布表征石英燈陣的熱流分布。每支石英燈加載功率為1 000W，蒙特卡羅方法中光束模擬量為1 000W－1。疊加計(jì)算結(jié)果與蒙特卡羅方法直接模擬結(jié)果對(duì)比如圖2所示。理論解析方法疊加得到的石英燈陣熱流分布結(jié)果與蒙特卡羅直接模擬結(jié)果符合良好，中間較為均勻的區(qū)域偏差在2.5%以內(nèi)，而通常蒙特卡羅方法計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果偏差在5%以內(nèi)，因此可以利用理論解析方法進(jìn)行石英燈陣功率優(yōu)化配置分析。

Fig.1 Quartz lamp array

Fig.2 Comparison of THE and MCM computational results

1.2 石英燈陣功率優(yōu)化的快速線性分析方法

石英燈陣功率優(yōu)化問(wèn)題本質(zhì)上是一個(gè)已知試驗(yàn)面上的熱流分布求解石英燈陣各燈功率的輻射反問(wèn)題。由式（1）分析可知，基于理論解析方法的石英燈陣熱流與功率之間存在線性關(guān)系，文獻(xiàn)［16］的計(jì)算和試驗(yàn)結(jié)果也獲得了同樣的規(guī)律。因此，對(duì)于由n支石英燈組成的石英燈陣，如果共有m個(gè)熱流測(cè)點(diǎn)，則可以列出如下方程組：

式中：xj為第j支石英燈的功率；aijxj為第j支石英燈在第i個(gè)測(cè)點(diǎn)上的熱流；bi為第i個(gè)測(cè)點(diǎn)上的熱流。

將式（1）寫(xiě)成矩陣形式可得

式中：

為便于分析和求解，在式（6）兩邊分別左乘AT得

式（11）中，如果m≥n且系數(shù)矩陣B是滿秩的，則線性方程組有唯一解，可通過(guò)求解式（11）獲得石英燈陣各燈功率。

2 結(jié)果分析與討論

對(duì)于圖1所示的石英燈陣，給定每支燈的功率為1 000W，在y軸上±100mm范圍內(nèi)均勻設(shè)置11個(gè)測(cè)點(diǎn)，基于理論解析方法得到了該功率下的熱流分布及11個(gè)測(cè)點(diǎn)的熱流，對(duì)于采用理論解析方法計(jì)算得到的測(cè)點(diǎn)熱流值分別疊加±0%、±2.5%、±5.0%、±7.5%、±10.0%以內(nèi)的隨機(jī)偏差，由疊加偏差后的熱流分布通過(guò)快速線性分析方法計(jì)算得到了各燈的功率配置（P1～P10），如表1所示。可以看出，隨著熱流疊加偏差的增加，功率計(jì)算結(jié)果與預(yù)定功率偏差明顯增加。以不同狀態(tài)下的功率計(jì)算結(jié)果為加載功率，計(jì)算獲得石英燈陣的熱流分布如圖3所示?？梢钥闯?，隨著疊加偏差的增加，熱流分布結(jié)果與初始狀態(tài)的偏差逐漸增加，但偏差量在疊加的隨機(jī)偏差范圍之內(nèi)。

表1 不同熱流偏差下的功率計(jì)算結(jié)果Table 1 Power computational results with different heat flux errors

在數(shù)值分析中，將矩陣的范數(shù)和其逆矩陣的范數(shù)之積稱(chēng)為這個(gè)矩陣的條件數(shù)，條件數(shù)表示了矩陣計(jì)算對(duì)于誤差的敏感性，條件數(shù)越大矩陣計(jì)算對(duì)誤差越敏感，小的輸入誤差會(huì)帶來(lái)越大的結(jié)果偏差。計(jì)算得到不同測(cè)點(diǎn)范圍和測(cè)點(diǎn)數(shù)目時(shí)系數(shù)矩陣的條件數(shù)（2范數(shù)），如圖4所示。不同測(cè)點(diǎn)范圍和測(cè)點(diǎn)數(shù)目時(shí)，系數(shù)矩陣的條件數(shù)一直保持在較大的水平，說(shuō)明石英燈陣功率優(yōu)化問(wèn)題的功率優(yōu)化結(jié)果對(duì)熱流的輸入比較敏感，如果缺少有效的抑制手段，可能會(huì)對(duì)石英燈功率的裕度提出較高要求。對(duì)于相同的測(cè)點(diǎn)范圍，不同測(cè)點(diǎn)數(shù)目時(shí)條件數(shù)變化較大，但隨著測(cè)點(diǎn)數(shù)目的增加呈現(xiàn)收斂的趨勢(shì)。對(duì)于相同的測(cè)點(diǎn)數(shù)目，不同測(cè)點(diǎn)范圍時(shí)條件數(shù)變化較大。整體上看，當(dāng)測(cè)點(diǎn)范圍基本等于燈陣尺度時(shí)，條件數(shù)相對(duì)較小且隨測(cè)點(diǎn)數(shù)目的增加變化幅度不大。綜上所述，測(cè)點(diǎn)范圍和測(cè)點(diǎn)數(shù)目對(duì)條件數(shù)影響較大，因此可以通過(guò)優(yōu)化分析選擇合適的測(cè)點(diǎn)范圍和測(cè)點(diǎn)數(shù)量得到相對(duì)穩(wěn)定的系數(shù)矩陣。

Fig.3 Optimized heat flux results with different heat flux errors

為驗(yàn)證線性分析方法（LM）進(jìn)行石英燈陣功率配置優(yōu)化得到給定熱流分布的有效性，選定了3個(gè)典型熱流狀態(tài)進(jìn)行分析，并同時(shí)采用遺傳算法（GA）進(jìn)行結(jié)果對(duì)比。其中，Case 1以實(shí)現(xiàn)100kW／m2的均勻熱流為目標(biāo)，Case 2以實(shí)現(xiàn)20～90kW／m2的線性變化熱流為目標(biāo)，Case 3以實(shí)現(xiàn)30kW／m2階躍到80kW／m2的階躍熱流為目標(biāo)。燈陣熱流分布優(yōu)化設(shè)計(jì)的遺傳算法流程［14］如圖5所示。文中遺傳算法采用64位二進(jìn)制編碼，交叉及變異概率分別取為0.8和0.005，目標(biāo)函數(shù)如式（14）所示，各參考點(diǎn)權(quán)重相同。選取種群規(guī)模為500，優(yōu)勢(shì)群體10%，進(jìn)化到5 000代時(shí)停止。

Fig.4 Variation of condition number with test point number

Fig.5 Process of optimization design method for quartz lamp array heat flux distribution［14］

式中：x為長(zhǎng)度為n的優(yōu)化參數(shù)向量，此處為燈陣中各燈功率，約束條件為xi∈ ［0，Pmax］，Pmax為石英燈允許加載的最大功率；m為測(cè)點(diǎn)數(shù)目；wi為測(cè)點(diǎn)i的權(quán)重；q′i為測(cè)點(diǎn)i的目標(biāo)熱流；qi為測(cè)點(diǎn)i的計(jì)算熱流，qi是x的函數(shù)。

在配有Intel i7處理器的計(jì)算機(jī)進(jìn)行單機(jī)計(jì)算，采用線性分析方法求解一個(gè)狀態(tài)耗時(shí)約7.4×10－6s，采用遺傳算法求解一個(gè)狀態(tài)耗時(shí)約296.3s。不同狀態(tài)下各石英燈功率計(jì)算結(jié)果如表2所示?？梢钥闯觯捎镁€性分析方法與遺傳算法求解的結(jié)果基本趨勢(shì)具有一致性。Case 3中線性分析方法的結(jié)果個(gè)別石英燈的功率為0W，對(duì)應(yīng)位置遺傳算法得到的功率值也比較小，這說(shuō)明該位置的石英燈可能是不必要的，或者說(shuō)該位置的石英燈間距可以適當(dāng)增大?？紤]石英燈功率、數(shù)量和位置的綜合優(yōu)化問(wèn)題已超出線性分析方法的范圍，本文暫不予進(jìn)行更多討論，但這也給后續(xù)更為復(fù)雜熱流的模擬優(yōu)化提供了一條具有參考性的方向。

將表2中的優(yōu)化功率分別作為石英燈陣的功率進(jìn)行計(jì)算獲得不同狀態(tài)下的石英燈陣熱流分布，如圖6所示，圖中refer表示優(yōu)化目標(biāo)熱流。對(duì)于Case 1，線性分析方法與遺傳算法求解的熱流優(yōu)化結(jié)果基本一致，中間區(qū)域基本模擬了100kW／m2的均勻熱流，兩端有較大的波動(dòng)偏差。從圖2可以看出，石英燈陣兩端熱流衰減迅速，為了使兩端熱流盡量滿足100kW／m2的均勻熱流，兩端的石英燈優(yōu)化功率會(huì)偏大，又由于石英燈陣的不連續(xù)性，熱流分布本身會(huì)有波動(dòng)形起伏，這就導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果兩端存在較大的波動(dòng)偏差。而且，應(yīng)該注意到的是，遺傳算法優(yōu)化得到的熱流分布具有明顯的不對(duì)稱(chēng)性，說(shuō)明其并沒(méi)有收斂到全局最優(yōu)解，這也可以在一定程度上反映出該優(yōu)化問(wèn)題對(duì)輸入的敏感性。對(duì)于Case 2，線性分析方法與遺傳算法求解的熱流優(yōu)化結(jié)果基本一致，中間區(qū)域基本模擬了20～90kW／m2的線性變化熱流，兩端有較大的波動(dòng)偏差，與Case 1的規(guī)律基本一致。對(duì)于Case 3，線性分析方法與遺傳算法的熱流優(yōu)化結(jié)果和規(guī)律較為一致，基本得到了高低熱流平臺(tái)，但都有較大的波動(dòng)，中間過(guò)渡區(qū)域比預(yù)定過(guò)渡趨勢(shì)緩和很多，說(shuō)明利用石英燈陣模擬大梯度的熱流分布具有一定的難度。

綜上所述，對(duì)于選定的3個(gè)典型化狀態(tài)，線性分析方法與遺傳算法求解的熱流優(yōu)化結(jié)果基本一致，一定程度上線性分析方法求解的熱流結(jié)果與比遺傳算法求解的熱流結(jié)果還要更符合目標(biāo)熱流，兩種方法計(jì)算結(jié)果的中間區(qū)域均與目標(biāo)結(jié)果符合較好，兩端則有較大偏差，石英燈陣在模擬大梯度熱流分布方面具有一定的困難。

表2 各燈功率計(jì)算結(jié)果對(duì)比（測(cè)點(diǎn)范圍：±100mm）Table 2 Comparison of calculation results for each lamp power（Test area：±100mm）

Fig.6 Comparison of optimized heat flux distributions（test area：±100mm）

由上面的分析可以知道，石英燈陣熱流分布的可控區(qū)域?yàn)橹虚g部分區(qū)域，因此，下面將縮小測(cè)點(diǎn)分布范圍到－75～75mm，保持其他條件不變，進(jìn)行計(jì)算分析。不同狀態(tài)下各石英燈功率計(jì)算結(jié)果如表3所示。縮小測(cè)點(diǎn)分布范圍后，線性分析方法與遺傳算法的結(jié)果基本趨勢(shì)是一樣的，但個(gè)別石英燈的功率依然有較大的差別。

從熱流結(jié)果來(lái)看（圖7），由于減小了測(cè)點(diǎn)分布范圍，即測(cè)點(diǎn)基本分布在熱流可控的區(qū)域，優(yōu)化熱流結(jié)果較之前有了較大的改善，遺傳算法優(yōu)化結(jié)果較線性分析方法優(yōu)化結(jié)果波動(dòng)較大，說(shuō)明對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，常規(guī)的遺傳算法很難收斂到全局最優(yōu)解，可以考慮采用多種群遺傳算法等全局尋優(yōu)能力更強(qiáng)的策略。對(duì)于Case 3，優(yōu)化結(jié)果在高低熱流平臺(tái)的優(yōu)化結(jié)果有較大改進(jìn)，但在大梯度區(qū)域依然存在較大的波動(dòng)偏差，說(shuō)明石英燈陣模擬大梯度熱流分布有其本身的缺陷，這跟熱輻射傳輸?shù)奈锢硪?guī)律是符合的。

表3 各燈功率計(jì)算結(jié)果對(duì)比（測(cè)點(diǎn)范圍：±75mm）Table 3 Comparison of calculation results for each lamp power（Test area：±75mm）

圖7 優(yōu)化后熱流分布對(duì)比（測(cè)點(diǎn)范圍：±75mm）Fig.7 Comparison of optimized heat flux distributions（test area：±75mm）

3 結(jié) 論

1）建立的石英燈陣功率優(yōu)化的快速線性分析方法基本可以對(duì)石英燈陣功率配置進(jìn)行快速優(yōu)化。對(duì)于比較平緩的熱流分布可以獲得較好的熱流模擬結(jié)果，對(duì)于大梯度熱流分布也能獲得與遺傳算法較為一致的熱流模擬結(jié)果和規(guī)律，具有較好的工程適用性。

2）模擬非均勻氣動(dòng)加熱的石英燈陣功率優(yōu)化問(wèn)題的功率優(yōu)化結(jié)果對(duì)熱流的輸入比較敏感。熱流測(cè)點(diǎn)的分布范圍和測(cè)點(diǎn)數(shù)量對(duì)問(wèn)題系數(shù)矩陣的條件數(shù)影響較大，但可以通過(guò)優(yōu)化選擇合適的測(cè)點(diǎn)范圍和測(cè)點(diǎn)數(shù)量得到相對(duì)穩(wěn)定的系數(shù)矩陣。

3）對(duì)于大梯度熱流分布以及更為復(fù)雜的熱流分布，可能需要結(jié)合石英燈陣的石英燈數(shù)量和位置進(jìn)行綜合優(yōu)化，后續(xù)將開(kāi)展相關(guān)研究以更好地適應(yīng)工程需要。